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- 2021-04-15 发布
安徽省芜湖市 2021 届新高考模拟化学试题（校模拟卷）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合
1 0 , 1,0,1
2
xA x B
x
，则 A BI 等于（ ）
A． 1 1x x B． 1,0,1 C． 1,0 D． 0,1
【答案】 C
【解析】
【分析】
先化简集合 A，再与集合 B 求交集 .
【详解】
因为 1 0 2 1
2
xA x x x
x
， 1,0,1B ，
所以 1,0A B .
故选： C
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题 .
2．用 1， 2，3，4，5 组成不含重复数字的五位数，要求数字 4 不出现在首位和末位，数字 1，3，5 中有
且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）
A． 48 B．60 C．72 D． 120
【答案】 A
【解析】
【分析】
对数字 2 分类讨论，结合数字 13 5，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论
【详解】
数字 2 出现在第 2 位时，数字 13 5，，中相邻的数字出现在第 3 4，位或者 4 5，位，
共有 2 2 2
3 2 2 12C A A 个
数字 2 出现在第 4 位时，同理也有 12个
数字 2 出现在第 3 位时，数字 13 5，，中相邻的数字出现在第 12，位或者 4 5，位，
共有 1 2 2 2
2 3 2 2 24C C A A 个
故满足条件的不同的五位数的个数是 48 个
故选 A
【点睛】
本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字 2 分类讨论，属于基础题。
3．下图所示函数图象经过何种变换可以得到 sin 2y x 的图象（ ）
A．向左平移 3
个单位 B．向右平移
3
个单位
C．向左平移 6
个单位 D．向右平移
6
个单位
【答案】 D
【解析】
【分析】
根据函数图像得到函数的一个解析式为 sin 2
3
f x x ，再根据平移法则得到答案 .
【详解】
设函数解析式为 sinf x A x b ，
根据图像： 1, 0A b ，
4 3 12 4
T
，故 T ，即 2，
sin 1
12 6
f ， 2 ,
3
k k Z ，取 0k ，得到 sin 2
3
f x x ，
函数向右平移
6
个单位得到 sin 2y x .
故选： D .
【点睛】
本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用 .
4．已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 1a ，且公比为 2，则 nS 与 na 的关系正确的是（ ）
A． 4 1n nS a B． 2 1n nS a
C． 2 1n nS a D． 4 3n nS a
【答案】 C
【解析】
【分析】
在等比数列中，由 1
1
n
n
a aS q
q 即可表示之间的关系 .
【详解】
由题可知，等比数列 na 中 1 1a ，且公比为 2，故
1 1 2 2 1
1 1 2
n n
nn
a a q a a
q
S
故选： C
【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题 .
5．等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 3a ， 5 35S ，则数列 na 的公差为（ ）
A． -2 B．2 C．4 D． 7
【答案】 B
【解析】
【分析】
在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得 3a ，再由等差数列通项公式求得公差 .
【详解】
在等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，则
1 5
5 3 3
5
5 35 7
2
a a
S a a
则 3 1 2 3 2 7 2a a d d d
故选： B
【点睛】
本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题 .
6．某四棱锥的三视图如图所示，记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） .
A． 2 2 S，且 2 3 S B． 2 2 S，且 2 3 S
C． 2 2 S，且 2 3 S D． 2 2 S ，且 2 3 S
【答案】 D
【解析】
【分析】
首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长 .
【详解】
根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：
所以： 2AB BC CD AD DE ，
2 2AE CE ， 2 2(2 2) 2 2 3BE .
故选： D.
.
【点睛】
本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 .
7． P 是正四面体 ABCD 的面 ABC 内一动点， E 为棱 AD 中点，记 DP 与平面 BCE 成角为定值 ，若
点 P 的轨迹为一段抛物线，则 tan （ ）
A． 2 B． 2
2
C． 2
4
D． 2 2
【答案】 B
【解析】
【分析】
设正四面体的棱长为 2 ，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面 BCE 的法向量，设 P 的坐标，
求出向量 DP
uuur ，求出线面所成角的正弦值，再由角 的范围 0,
2
，结合 为定值，得出 sin 为定值，
且 P 的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．
【详解】
由题意设四面体 ABCD 的棱长为 2 ，设 O 为 BC 的中点，
以 O为坐标原点，以 OA为 x 轴，以 OB 为 y 轴，过 O 垂直于面 ABC 的直线为 z 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系 O xyz ，
则可得 1OB OC ， 3 2 3
2
OA ，取 OA的三等分点 G 、 F 如图，
则 1 3
3 3
OG OA ， 2 2 3
3 3
AG OF OA ， 2 2 2 6
3
DG AD AG ， 1 6
2 3
EF DG ，
所以 0,1,0B 、 0, 1,0C 、 3,0,0A 、
3 2 6,0,
3 3
D 、 2 3 6,0,
3 3
E ，
由题意设 , ,0P x y ， 3 2 6, ,
3 3
DP x y
uuur
，
QV ABD 和 ACDV 都是等边三角形， E 为 AD 的中点， BE AD ， CE AD ，
BE CE EQ I ， AD 平面 BCE ，
2 3 2 6,0,
3 3
AD
uuur
为平面 BCE 的一个法向量，
因为 DP 与平面 BCE 所成角为定值 ，则 0,
2
，
由题意可得
2
2 2
2
2 3 3 2 6
3 3 3
sin cos ,
3 2 62
3 3
x
AD DP
AD DP
AD DP
x y
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
2
2
2 2 2 22 2
33 2 3 3
3 3 2 3 9 3 3 2 3 93 1 3 8
xx x x
x y x x y xx y
，
因为 P 的轨迹为一段抛物线且 tan 为定值，则 sin 也为定值，
2
22
2 3 3
3 93 2 3
x x
xy x
，可得 23 8 3y x ，此时 3sin
3
，则 6cos
3
， sin 2tan
cos 2
.
故选： B.
【点睛】
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
8．已知 2 3 6a b ，则 a ， b 不可能满足的关系是（）
A． a b ab B． 4a b C．
2 2
1 1 2a b D． 2 2
8a b
【答案】 C
【解析】
【分析】
根据 2 3 6a b 即可得出 21 l 3oga ， 31 l 2ogb ，根据 2 3log log 13 2 ， 33log log 22 2 ，即
可判断出结果．
【详解】
∵ 2 3 6a b ；
∴ 2 26log 1 og 3la ， 3 36log 1 og 2lb ；
∴ 2 332 log 2log 4a b ， 2 332 log og 42lab ，故 ,A B 正确；
2 3 2
2 2 2
3
2
1 1 log log 2log3 2 3 log 22a b ，故 C 错误；
∵
2 2
2 3 2
2 2
3log log2 log2 3 2 3 log 2a b
2 3 2 32 3 24 log log l2 3og log 82 ，故 D 正确
故 C．
【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式： 2a b ab 和不等式
2 2 2a b ab 的应用，属于中档题
9．已知集合 1,2,3, ,M nL （ *n N ），若集合 1 2,A a a M ，且对任意的 b M ，存在
, 1,0,1 使得 i jb a a ，其中 ,i ja a A ，1 2i j ，则称集合 A 为集合 M 的基底 .下列
集合中能作为集合 1,2,3,4,5,6M 的基底的是（ ）
A． 1,5 B． 3,5 C． 2,3 D． 2,4
【答案】 C
【解析】
【分析】
根据题目中的基底定义求解 .
【详解】
因为 1 1 2 1 3 ，
2 1 2 0 3，
3 0 2 1 3，
4 1 2 1 2，
5 1 2 1 3，
6 1 3 1 3，
所以 2,3 能作为集合 1,2,3,4,5,6M 的基底，
故选： C
【点睛】
本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题 .
10．《周易》是我国古代典籍，用 “卦 ”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、
巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中 “ ”表示一个阳爻， “ ”表示一个阴爻）
若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）
A．
3
56
B．
3
28
C．
3
14
D．
1
4
【答案】 C
【解析】
【分析】
分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一
个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解 .
【详解】
由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是 2
3 3C ；
仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是 1
3 3C ，于是所求
的概率 2
8
3 3 3
14
P
C ．
故选： C
【点睛】
本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题 .
11．在复平面内，复数 z=i 对应的点为 Z，将向量 OZ
uuur
绕原点 O 按逆时针方向旋转
6
，所得向量对应的复
数是（ ）
A． 1 3
2 2
i B． 3 1
2 2
i C． 1 3
2 2
i D． 3 1
2 2
i
【答案】 A
【解析】
【分析】
由复数 z 求得点 Z 的坐标，得到向量 OZ
uuur
的坐标，逆时针旋转
6
，得到向量 OB
uuur
的坐标，则对应的复数可
求 .
【详解】
解：∵复数 z=i（i 为虚数单位）在复平面中对应点 Z（0，1），
∴ OZ
uuur
＝(0，1)，将 OZ
uuur
绕原点 O 逆时针旋转
6
得到 OB
uuur
，
设 OB
uuur
＝(a，b)， 0, 0a b ，
则 3cos
6 2
OZ OB b OZ OB
uuur uuur uuur uuur
，
即 3
2
b ，
又 2 2 1a b ，
解得： 1 3,
2 2
a b ，
∴ 1 3,
2 2
OB
uuur
，
对应复数为 1 3
2 2
i .
故选： A.
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 .
12．盒中装有形状、大小完全相同的 5 张“刮刮卡 ”，其中只有 2 张“刮刮卡 ”有奖，现甲从盒中随机取出 2
张，则至少有一张有奖的概率为 ( )
A．
1
2
B．
3
5
C．
7
10
D．
4
5
【答案】 C
【解析】
【分析】
先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖
的概率，由对立事件的概率关系，即可求解 .
【详解】
从 5 张“刮刮卡 ”中随机取出 2 张，共有 2
5 10C 种情况，
2 张均没有奖的情况有
2
3 3C （种） ，故所求概率为
3 71
10 10
.
故选 :C.
【点睛】
本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题 .
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．在 ABCV 中， 角 A的平分线交 BC 于 D ， 3BD ， 2CD ，则 ABCV 面积的最大值为 __________．
【答案】 15
【解析】
【分析】
由角平分线定理得 AB BD
AC CD
,利用余弦定理和三角形面积公式， 借助三角恒等变化求出 ABCV 面积的最
大值 .
【详解】
画出图形：
因为 3BD ， 2CD ，由角平分线定理得 3
2
AB BD
AC CD
,
设 2 , 2 , 0,
2
AC x BAC ，则 3AB x
由余弦定理得： 2 2 24 9 2 3 2 cos25 x x x x
即 2
13
25
12cos2
x
21 75sin 23 2 sin 2 3 sin 2
2 13 12cos 2ABCS x x x
2
22 2
2
2tan7575 2sin cos 1 tan
1 tan13 12 cos sin 13 12
1 tan
2
150 tan 1511 25 tan 125tan 2 25tantan tan
150 150,
当且仅当 1 25tan
tan ，即
1tan
5
时取等号
所以 ABCV 面积的最大值为 15
故答案为： 15
【点睛】
此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目 .
14．若一组样本数据 7，9， x ，8，10 的平均数为 9，则该组样本数据的方差为 ______.
【答案】 1
【解析】
【分析】
根据题意，由平均数公式可得 7 9 8 10 9
5
x
，解得 x 的值，进而由方差公式计算，可得答案．
【详解】
根据题意，数据 7，9， x ，8，10 的平均数为 9，
则
7 9 8 10 9
5
x
，解得： 11x ，
则其方差 2 2 2 2 2 21[(7 9) (9 9) (11 9) (8 9) (10 9) ] 2
5
S .
故答案为： 1．
【点睛】
本题考平均数、方差的计算，考查运算求解能力，求解时注意求出 x 的值，属于基础题．
15．若实数 ,x y 满足约束条件 4
3
y x
x y
x
，设 3 2z= x y 的最大值与最小值分别为 ,m n ，则 m
n
_____．
【答案】 7
2
【解析】
【分析】
画出可行域，平移基准直线 3 2 0x y 到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得 m
n
的
比值 .
【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，当直线 3 2z x y 过点 3,1 时， z 取得最大值 7；过点 2,2 时， z
取得最小值 2，所以 7
2
m
n
.
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值 .这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的
约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后
通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值 .属于基础题 .
16．如图，为测量出高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从 A点测得 M 点的仰角
060MAN ， C 点的仰角 045CAB 以及 075MAC ；从 C 点测得 060MCA ．已知山高
100BC m ，则山高 MN __________ m ．
【答案】 1
【解析】
试题分析： 在 ABCV 中， 45 , 90 , 100BAC ABC BCQ , 100 100 2
sin 45
AC ，在 AMCV
中， 75 , 60 ,MAC MCAQ 45 ,AMC 由正弦定理可得 ,
sin sin
AM AC
ACM AMC
即
100 2 ,
sin 60 sin 45
AM 解得 100 3AM ,在 Rt AMNV 中， sinMN AM MAN 100 3 sin 60
150( )m ．
故答案为 1．
考点：正弦定理的应用．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 ( ) lnxf x e x x ax ， ( )f x 为 ( )f x 的导数，函数 ( )f x 在 0x x 处取得最小值．
（ 1）求证： 0 0ln 0x x ；
（ 2）若 0x x⋯ 时， ( ) 1f x ⋯ 恒成立，求 a 的取值范围．
【答案】 （1）见解析； （2） [1 , )e .
【解析】
【分析】
（ 1）对 ( )f x 求导， 令 ( ) ln 1xg x e x a ，求导研究单调性， 分析可得存在 0
1 1
2
t 使得 0 0g t ，
即
0
0
1 0te
t ，即得证；
（ 2）分 0
0
1 1 0x a
x
⋯ ， 0
0
1 1 0x a
x 两种情况讨论，当 0
0
1 1 0x a
x
⋯ 时，转化
n
2
0mi 0 0
0
1( )f x f x x x a
x 利用均值不等式即得证； 当 0
0
1 1 0x a
x ， ( )f x 有两个不同的零
点 1x ， 2x ，分析可得 ( )f x 的最小值为 2f x ，分 1a e， 1a e 讨论即得解 .
【详解】
（ 1）由题意 ( ) ln 1xf x e x a ，
令 ( ) ln 1xg x e x a ，则
1( ) xg x e
x
，知 ( )g x 为 (0, ) 的增函数，
因为 (1) 1 0g e ，
1 2 0
2
g e ，
所以，存在 0
1 1
2
t 使得 0 0g t ，即
0
0
1 0te
t ．
所以，当 00,x t 时 0( ) 0g x g t ， ( )g x 为减函数，
当 0,x t 时 0( ) 0g x g t ， ( )g x 为增函数，
故当 0x t 时， ( )g x 取得最小值，也就是 ( )f x 取得最小值．
故 0 0x t ，于是有
0
0
1 0xe
x ，即 0
0
1xe
x ，
所以有 0 0ln 0x x ，证毕．
（ 2）由（ 1）知， ( ) ln 1xf x e x a 的最小值为 0
0
1 1x a
x ，
①当 0
0
1 1 0x a
x
⋯ ，即 0
0
11a x
x⋯ 时， ( )f x 为 0 ,x 的增函数，
所以 0 2
0min 0 0 0 0 0
0
1( ) lnxf x f x e x x x a x x a
x ，
2
0 0 0 0
0 0 0
1 1 11 1x x x x
x x x
⋯ ，
由（ 1）中 0
1 1
2
x ，得 0
0
1 1 1x
x ，即 ( ) 1f x ．
故 0
0
11a x
x⋯ 满足题意．
②当 0
0
1 1 0x a
x ，即 0
0
11a x
x
时， ( )f x 有两个不同的零点 1x ， 2x ，
且 1 0 2x x x ，即 2 2
2 2 2ln 1 0 ln 1x xf x e x a a x e ，
若 0 2,x x x 时 2( ) 0f x f x ， ( )f x 为减函数， （*）
若 2 ,x x 时 2( ) 0f x f x ， ( )f x 为增函数，
所以 ( )f x 的最小值为 2f x ．
注意到 (1) 1f e a 时， 1a e，且此时 (1) 1 0f e a ，
（ⅰ）当 1a e 时， 2(1) 1 0f e a f x⋯ ，
所以 20 1x , ，即 21 0x ，
又 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ln ln ln 1 1x x x xf x e x x ax e x x x e x x e x
2
21 1 1xx e ，
而 2 1 0xe ，所以 2
21 1 1 1xx e ，即 2 1f x ．
由于在 0
1 1
2
x 下，恒有 0
0
1 x e
x
，所以 0
0
11 1e x
x
．
（ⅱ）当 1a e 时， 2(1) 1 0f e a f x ，
所以 2 01x x ，
所以由（ * ）知 21,x x 时， ( )f x 为减函数，
所以 ( ) (1) 1f x f e a ，不满足 0x x⋯ 时， ( ) 1f x ⋯ 恒成立，故舍去．
故 0
0
11 1e a x
x, 满足条件．
综上所述： a 的取值范围是 [1 , )e ．
【点睛】
本题考查了函数与导数综合， 考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题， 考查了学生综合分
析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题 .
18．已知 { }na ， { }nb 均为正项数列，其前 n 项和分别为 nS ， nT ，且 1
1
2
a ， 1 1b ， 2 2b ，当 2n ，
*n N 时， 1 1 2n nS a ，
2 2
1
1
1 1
2( ) 2n n
n n
n n
T Tb T
b b
.
（ 1）求数列 { }na ， { }nb 的通项公式；
（ 2）设 2
( 2)n n
n
n n
b ac
b b ，求数列 { }nc 的前 n 项和 nP .
【答案】 （1） 1
2n na ， nb n （2）
11
( 1) 2n nP
n
【解析】
【分析】
（ 1） 1 1 2 ( 2)n nS a n⋯ ，所 11 2n nS a ，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由
2 2
1
1 1
1 1
2
2 ( 2)n n
n n n n
n n
T T
b T T T n
b b
⋯ ，整理得
1 1 1
1
1 1 1 1
2 2 ( 2)n n n n n n n
n n
n n n n
T T T T b T T T T n
b b b b ⋯ ，得到 1 1( 2)n n n nb b b b n⋯ ，即可求解通
项公式；
（ 2）由 （1）可知， 2 1
( 2) 1 2( 1) 1 1 1
2 ( 1) 2 2 ( 1) 2n n n n n
n n nc
n n n n n n ，即可求得数列 { }nc 的前 n
项和 nP .
【详解】
（ 1）因为 1 1 2 ( 2)n nS a n⋯ ，所 11 2n nS a ，两式相减，整理得 1
1 ( 2)
2n na a n⋯ ，当 2n 时，
1 1 2
1 1 2
2
S a a ，解得 2 1
1 1
4 2
a a ，
所以数列 na 是首项和公比均为
1
2
的等比数列，即 1
2n na ，
因为
2 2
1
1 1
1 1
2
2 ( 2)
n n
n n n n
n n
T T
b T T T n
b b
⋯ ，
整理得 1 1 1
1
1 1 1 1
2 2 ( 2)n n n n n n n
n n
n n n n
T T T T b T T T T n
b b b b ⋯ ，
又因为 0nb ，所以 0nT ，所以
1 1
2 1( 2)n
n n
b n
b b
⋯ ，即 1 1 ( 2)n n n nb b b b n⋯ ，因为 1 21, 2b b ，
所以数列 nb 是以首项和公差均为 1 的等差数列，所以 nb n ；
（ 2）由（ 1）可知， 2 1
( 2) 1 2( 1) 1 1 1
2 ( 1) 2 2 ( 1) 2n n n n n
n n nc
n n n n n n ，
2 1
1 1 1 1 11
2 2 2 2 3 2 2 ( 1) 2n n nP
n n
，即
11
( 1) 2n nP
n .
【点睛】
此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项
求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式 .
19．设函数
11f x
x
（ ） ， lng x x（ ） ，
（Ⅰ）求曲线 2 1y f x（ ）在点（ 1,0）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 y f x g x（ ）（ ）在区间 1[ , ]e
e
上的取值范围．
【答案】 （1） 1y x （2） [0, 1]e
【解析】
分析： (1)先断定 (1,0) 在曲线 (2 1)y f x 上，从而需要求 '(2 1)f x ，令 1x ，求得结果，注意复合函
数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；
(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值 .
详解： （Ⅰ）当 1x ， 2 1 1 0y f f . 3/2
1' ' 2 1
2 1
y f x
x ，
当 1x ， ' ' 1 1y f ， 所以切线方程为 1y x .
（Ⅱ） 1 ln1 ln ln xy x x
x x
,
ln11 1 ln 2'
2
xxxy
x x x x x x x
,因为
1 ,x e
e
，所以 0x x .
令 ln1
2
xh x x ， 1' 0
2
xh x
x
，则 h x 在
1, e
e
单调递减，
因为 1 =0h ，所以 y f x g x 在
1 ,1
e
上增，在 1,e 单调递增 .
min 1 1 0y f g , max
1 1 1max , max 1,1y f g f e g e e
e e e
,
因为
11 1e
e
，所以 y f x g x 在区间
1 ,e
e
上的值域为 0, 1e .
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处
的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使
用 .
20．在平面四边形 ABCD 中，已知
3
4
ABC ， ,AB AD 1AB .
（ 1）若 5AC ，求 ABCV 的面积；
（ 2）若 2 5 , 4,
5
sin CAD AD 求 CD 的长 .
【答案】 （1） 1
2
；（ 2） 13 .
【解析】
【分析】
（ 1）在三角形 ABC 中，利用余弦定理列方程，解方程求得 BC 的长，进而由三角形的面积公式求得三角
形 ABC 的面积 .
（ 2）利用诱导公式求得 cos BAC ，进而求得 sin BAC ，利用两角差的正弦公式，求得 sin BCA ，
在三角形 ABC中利用正弦定理求得 AC ，在三角形 ACD 中利用余弦定理求得 CD 的长 .
【详解】
（ 1）在 ABCV 中， 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC
2 25 1 2 2 4 0BC BC BC BC ，
解得 2BC ，
1 1 2 11 2
2 2 2 2ABCS AB BC sin ABCV .
（ 2） 2 590 ,
5
BAD sin CADQ =
2 5 5cos sin ,
5 5
BAC CAD sin BAC=
2 2 5 5 10
4 2 5 5
2 (cos
1
)
02
Bsin BCA sin BAC C sin BACA
在 ABCV 中， AC AB
sin ABC sin BCA
，
sin 5
sin
AB ABCAC
BCA
.
2 2 2 52 5 16 2 5 4 13
5
CD AC AD AC AD cos CAD .
13CD
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题 .
21．已知等比数列 na 是递增数列，且 1 5 2 4
17 4
2
a a a a＝ ， ＝ ．
（ 1）求数列 na 的通项公式；
（ 2）若 *Nn nb na n＝ ，求数列 nb 的前 n 项和 nS ．
【答案】 (1) 22 n
na (2) 11 1 2
2n
nnS
【解析】
【分析】
（ 1）先利用等比数列的性质，可分别求出 1 5,a a 的值，从而可求出数列 na 的通项公式； （2）利用错位
相减求和法可求出数列 nb 的前 n 项和 nS ．
【详解】
解：（ 1）由 na 是递增等比数列， 1 5 2 4 1 5
17 4
2
a a a a a a， ，
联立 1 5
1 5
17
2
4
a a
a a
，解得
1
5
1=
2
=8
a
a
或
1
5
=8
1=
2
a
a
，
因为数列 na 是递增数列，所以只有
1
5
1=
2
=8
a
a
符合题意，
则
4 5
1
16aq
a ，结合 0q 可得 2q = ，
∴数列 na 的通项公式：
22 n
na ；
（ 2）由 *Nn nb na n＝ ，
∴ 22 n
nb n＝ ；∴ 1
1
2
S ；
那么 1 0 1 21 2 2 2 3 2 2 n
nS nL＝ ，①
则 20 1 2 13 22 1 2 2 2 1 2 2n n
nS n nL ，②
将②﹣①得：
1 0 2 2 1 1 1 11 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2
2 2
n n n n n
nS n n n ．
【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前 n 项和 .
22．在平面直角坐标系 xOy 中， 已知直线 l 的参数方程为
1 1
2 2
1
2
x t
y t
（ t 为参数） 和曲线
1 cos:
sin
xC
y
（ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（ 1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；
（ 2）在极坐标系中，已知点 M 是射线 1 :l ( [0, ])
2 与直线 l 的公共点，点 N 是 1l 与曲线 C 的公
共点，求
| |
| |
ON
OM 的最大值．
【答案】 （1） 2sin
4 2
， 2cos ；（2） max( ) 2 2 2ON
OM
【解析】
【分析】
（ 1）先将直线 l 和圆 C 的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程；
（ 2）写出点 M 和点 N 的极坐标，根据极径的定义分别表示出 ON 和 OM ，利用三角函数的性质求出
| |
| |
ON
OM
的最大值 .
【详解】
解：（ 1） 1:
2
l x y ，
1cos sin
2 ，
即极坐标方程为 2sin
4 2
，
2 2: ( 1) 1C x y ，极坐标方程 2cos ．
（ 2）由题可知
1
2( , )
sin cos
M ， (2cos , )N
| | 2cos
1| |
2
sin cos
N
M
ON
OM
4cos (sin cos )
2sin 2 2(cos2 1)
2 2 sin(2 ) 2
4 ，
当 8 时， max( ) 2 2 2ON
OM .
【点睛】
本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于
中档题 .
23．已知函数
ln 1x axf x
x
.
（ 1）若对任意 x 0，f（x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（ 2）若函数 f（x）有两个不同的零点 x1，x2（x1 x2），证明：
2 2
1 2
2 1
2x x
x x
.
【答案】 （1） 1a ；（ 2）证明见解析 .
【解析】
【分析】
（ 1）求出 'f x ，判断函数 f x 的单调性，求出函数 f x 的最大值，即求 a 的范围；
（ 2）由（ 1）可知， 1 20,1 , 1,x x .对 2x 分 2 1,2x 和 2 2,x 两种情况讨论，构造函数，
利用放缩法和基本不等式证明结论．
【详解】
（ 1）由 ln 1 ln 1x ax xf x a
x x x ，得 '
2
ln xf x
x
.
令 ' 0, 1f x x .
当 0 1x 时， ' 0f x ；当 1x 时，
' 0f x ；
f x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，
max 1 1f x f a .
Q 对任意 0, 0x f x 恒成立， 1 0, 1a a .
（ 2）证明：由（ 1）可知， f x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，
1 20,1 , 1,x x .
若 2 1,2x ，则 22 0,1x ，
令 ln 2ln 1 12 ,0 1
2 2
xxg x f x f x x
x x x x
2
'
22 2 2 2
ln 1 1ln 2 ln 2ln ln 0
2
xx xx xg x
x x x xx
g x 在 0,1 上单调递增， 1 0, 2g x g f x f x ，
1 1 22f x f x f x .
1 10,1 , 2 1,x xQ 又 2 1x ， f x 在 1, 上单调递减，
1 2 1 22 , 2x x x x .
若 2 2,x ，则 1 2 2x x 显然成立 .
综上， 1 2 2x x .
又
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 1 1 1 2
2 2 1 1
2 2 , 2 2x x x xx x x x x x
x x x x
以上两式左右两端分别相加，得
2 2
1 2
2 1 1 2
2 1
2x xx x x x
x x ，即
2 2
1 2
1 2
2 1
x x x x
x x ，
所以
2 2
1 2
2 1
2x x
x x .
【点睛】
本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题 .