2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（重庆卷） 11页

2013 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类） 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．命题“对任意 ，都有 ”的否定为（ ） A．对任意 ，都有 B．不存在 ，都有 C．存在 ，使得 D．存在 ，使得 3． 的最大值为（ ） A．9 B． C． D． 4．以下茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分） 甲组 乙组 9 0 9 2 1 5 8 7 4 2 4 已知甲组数据的中位数为 ，乙组数据的平均数为 ，则 的值分别为（ ） A． B． C． D． 5．某几何体的三视图如题 图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 6．若 ，则函数 的两个零点分别位于区间（ ） A． 和 内 B． 和 内 { }1,2,3,4U = { }= 1 2A ， { }= 2 3B ， ( )=U A B { }13 4，， { }3 4， { }3 { }4 x R∈ 2 0x ≥ x R∈ 2 0x < x R∈ 2 0x < 0x R∈ 2 0 0x ≥ 0x R∈ 2 0 0x < ( )( )3 6a a− + ( )6 3a− ≤ ≤ 9 2 3 3 2 2 x y 15 16.8 ,x y 2,5 5,5 5,8 8,8 ( )5 560 3 580 3 200 240 a b c< < ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f x x a x b x b x c x c x a= − − + − − + − − ( ),a b ( ),b c ( ),a−∞ ( ),a b C． 和 内 D． 和 内 7．已知圆 ，圆 ， 分别是圆 上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出 ，那么判断框内应填入的条件是（ ） A． B． C． D． 9． （ ） A． B． C． D． 10．在平面上， ， , .若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二．填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填写在答题卡相应位置上。 11．已知复数 （ 是虚数单位），则 12．已知 是等差数列， ，公差 ， 为其前 项和，若 成等比数列，则 13．从 名骨科． 名脑外科和 名内科医生中选派 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科．脑外科和内 科医生都至少有 人的选派方法种数是___________（用数字作答） 14．如图，在 中， , ,过 作 的外接圆的切线 ， , 与外接圆交于点 ，则 的长为__________ ( ),b c ( ),c +∞ ( ),a−∞ ( ),c +∞ ( ) ( )2 2 1 : 2 3 1C x y− + − = ( ) ( )2 2 2 : 3 4 9C x y− + − = ,M N 1 2,C C P x PM PN+ 5 2 4− 17 1− 6 2 2− 17 3s = 6k ≤ 7k ≤ 8k ≤ 9k ≤ 0 04cos50 tan 40− = 2 2 3 2 + 3 2 2 1− 1 2AB AB⊥  1 2 1OB OB= =  1 2AP AB AB= +   1 2OP < OA 50, 2      5 7,2 2      5 , 22      7 , 22      5 1 2 iz i = + i _________z = { }na 1 1a = 0d ≠ nS n 1 2 5, ,a a a 8 _____S = 3 4 5 5 1 ABC 090C∠ = 060 , 20A AB∠ = = C ABC CD BD CD⊥ BD E DE 15．在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。若极坐标方程为 的直线与曲线 （ 为参数）相交于 两点，则 16．若关于实数 的不等式 无解，则实数 的取值范围是_________ 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。 17．设 ，其中 ，曲线 在点 处的切线与 轴相交于点 。 （1）确定 的值； （2）求函数 的单调区间与极值。 18．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 个红球与 个白球的袋 中任意摸出 个球，再从装有 个蓝球与 个白球的袋中任意摸出 个球，根据摸出 个球中红球与蓝 球的个数，设一．二．三等奖如下： 奖级 摸出红．蓝球个数 获奖金额 一等奖 3 红 1 蓝 200 元 二等奖 3 红 0 蓝 50 元 三等奖 2 红 1 蓝 10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级。 （1）求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率； （2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 的分布列与期望 。 19．如图，四棱锥 中， , ， 为 的中点， 。 （1）求 的长； （2）求二面角 的正弦值。 xOy O x cos 4ρ θ = 2 3 x t y t  = = t ,A B ______AB = x 5 3x x a− + + < a ( ) ( )25 6lnf x a x x= − + a R∈ ( )y f x= ( )( )1, 1f y ( )0,6 a ( )f x 3 4 3 1 2 1 4 X ( )E X P ABCD− PA ABCD⊥ 底面 2, 4, 3BC CD AC ACB ACD π= = = ∠ = ∠ = F PC AF PB⊥ PA B AF D− − 20．在 中，内角 的对边分别是 ，且 。 （1）求 ； （2）设 ，求 的值。 21．如题（21）图，椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴上，离心率 ，过左焦点 作 轴的垂线交椭 圆于 两点， 。 （1）求该椭圆的标准方程； （2）取垂直于 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 ，过 作圆心为 的圆，使椭圆上的其余 点均在圆 外。若 ,求圆 的标准方程。 ABC , ,A B C , ,a b c 2 2 22a b ab c+ + = C ( ) ( ) 2 cos cos3 2 2cos cos ,5 cos 5 A BA B α α α + += = tanα O x 2 2e = 1F x ,A A′ 4AA′ = x ,P P′ ,P P′ Q Q PQ P Q′⊥ Q 22．对正整数 ，记 ， 。 （1）求集合 中元素的个数； （2）若 的子集 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 为“稀疏集”。求 的最大值，使 能分成两人上不相交的稀疏集的并。 n { }1,2,3, ,mI n=  ,m m m mP m I k I k  = ∈ ∈   7P mP A A n mP 参考答案 一、选择题 1．D 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．A 8．B 9．C 10．D 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 5 64 590 5 16 ( ],8−∞ (3) 2 6ln3f = + 18． 19． 20． 由题意得 21． 22．