2020届二轮复习（文）专题五第2讲　圆锥曲线的方程与性质课件（46张） 46页

第2讲　圆锥曲线的方程与性质 总纲目录 考点三　直线与圆锥曲线的位置关系 考点二　圆锥曲线的几何性质 考点一　圆锥曲线的定义及标准方程 考点一　圆锥曲线的定义及标准方程 1 .(2019课标全国Ⅱ,9,5分)若抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的焦点是椭圆   +   =1的一 个焦点,则 p =   (　　) A.2　    B.3　     C.4　    D.8 D 答案    D 　本题考查椭圆与抛物线的几何性质;考查运算求解能力;考查的核 心素养为数学运算. ∵抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的焦点坐标为   , ∴椭圆   +   =1的一个焦点坐标为   , ∴3 p - p =   ,解得 p =8. 思路分析    利用抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,建立关于 p 的方程,求解即 可. 2 .(2019课标全国Ⅲ,10,5分)已知 F 是双曲线 C :   -   =1的一个焦点,点 P 在 C 上, O 为坐标原点.若| OP |=| OF |,则△ OPF 的面积为   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.   B 答案    B 　本题主要考查双曲线的定义和标准方程,结合图形考查学生的数 据处理能力、运算求解能力,考查数形结合思想及数学运算的核心素养. 如图,记双曲线的右焦点为 F ,设左焦点为 F ',连接 PF ', PF ,   由题意得 F (3,0), F '(-3,0), ∵| OP |=| OF |=   | FF '|=3, ∴∠ F ' PF =90 ° ,设| PF '|= m ,| PF |= n , 则   故 mn =   =10. ∴ S △ OPF =   S △ PF ' F =   m · n =   ,故选B. 解题关键     由于题中条件只涉及一个焦点 F , 故合理作图标出左、右两焦点 F ', F , 并将双曲线的定义作为已知条件直接应用是解决本题的关键 , 利用平面几 何知识发现∠ F ' PF =90 ° 是解决本题的关键 . 3 .(2019课标全国Ⅰ,12,5分)已知椭圆 C 的焦点为 F 1 (-1,0), F 2 (1,0),过 F 2 的直线与 C 交于 A , B 两点.若| AF 2 |=2| F 2 B |,| AB |=| BF 1 |,则 C 的方程为   (　　) A.   + y 2 =1　    B.   +   =1 C.   +   =1　    D.   +   =1 B 答案    B 　本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用;考查了 数学运算能力和方程的思想;考查的核心素养是数学运算,具有很好的创新意 识. 令| F 2 B |= x ( x >0),则| AF 2 |=2 x ,| AB |=3 x ,| BF 1 |=3 x , | AF 1 |=4 a -(| AB |+| BF 1 |)=4 a -6 x , 由椭圆的定义知| BF 1 |+| BF 2 |=2 a =4 x , 所以| AF 1 |=2 x . 在△ BF 1 F 2 中,由余弦定理得| BF 1 | 2 =| F 2 B | 2 +| F 1 F 2 | 2 -2| F 2 B |·| F 1 F 2 |cos∠ BF 2 F 1 , 即9 x 2 = x 2 +2 2 -4 x cos∠ BF 2 F 1 ①, 在△ AF 1 F 2 中,由余弦定理得| AF 1 | 2 =| AF 2 | 2 +| F 1 F 2 | 2 -2| AF 2 |·| F 1 F 2 |cos∠ AF 2 F 1 , 即4 x 2 =4 x 2 +2 2 -8 x cos∠ AF 2 F 1 ②, 由①②得 x =   , 所以2 a =4 x =2   , a =   , b 2 = a 2 - c 2 =2. 故椭圆的方程为   +   =1.故选B. 思路分析     由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义,通过解三角形建立方程求 a 的值,又 b 2 = a 2 -1,故可得椭圆的方程. 疑难突破     利用余弦定理灵活解三角形是难点突破口 . 灵活利用椭圆的定义 是解题的关键 . 总结提升 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算” (1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程. (2)计算:即利用待定系数法求出方程中的 a 2 , b 2 或 p .另外,当焦点位置无法确定 时,抛物线方程常设为 y 2 =2 ax 或 x 2 =2 ay ( a ≠ 0),椭圆方程常设为 mx 2 + ny 2 =1( m > 0, n >0,且 m ≠ n ),双曲线方程常设为 mx 2 - ny 2 =1( mn >0). [提能]     椭圆和双曲线的定义主要应用于两方面:一是利用定义求它们的标 准方程;二是利用定义求弦长、离心率及焦点三角形的周长、面积(或最值) 等. 1 .(2019湖北四地七校考试联盟联考,4)已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的左、右 焦点分别为 F 1 , F 2 ,离心率为   ,过 F 2 的直线与椭圆 C 交于 A , B 两点.若△ F 1 AB 的周 长为8,则椭圆 C 的方程为   (　　) A.   +   =1　    B.   +   =1 C.   + y 2 =1　    D.   +   =1 A 答案    A　 由椭圆的定义可知,△ F 1 AB 的周长为4 a , ∴4 a =8, a =2,又椭圆 C 的离心率为   , 即   =   ,∴ c =1,则 b 2 = a 2 - c 2 =3, 故椭圆 C 的方程为   +   =1,故选A. 2 .(2019河北石家庄一模,11)已知双曲线   -   =1的左、右焦点分别是 F 1 , F 2 ,若 双曲线右支上存在一点 M ,使(   +   )·   =0( O 为坐标原点),且|   |= t |   |, 则实数 t 的值为   (　　) A.   　    B.2 C.2   　    D.3 D 答案    D　 ∵(   +   )·   =0, ∴(   +   )·(   -   )=0,∴|   | 2 -|   | 2 =0, ∴|   |=|   |= c , ∴ MF 2 ⊥ MF 1 .∵| F 1 F 2 |=2 c =4   , ∴| MF 1 | 2 +| MF 2 | 2 =(4   ) 2 .又| MF 1 |-| MF 2 |=2 a =4   ,∴| MF 1 |=6   ,| MF 2 |=2   ,∴ t =   =3.故选D. 3 .(2019河北廊坊省级示范校三联)设 F 1 , F 2 分别为双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0) 的左、右焦点,过 F 1 的直线交双曲线 C 的左支于 A , B 两点,且| AF 2 |=3,| BF 2 |=5,| AB | =4,则△ BF 1 F 2 的面积为 　　　     . 答案        解析 　∵| AF 2 |=3,| BF 2 |=5, | AF 2 |-| AF 1 |=2 a ,| BF 2 |-| BF 1 |=2 a , ∴| AF 2 |+| BF 2 |-| AB |=4 a =3+5-4=4, ∴ a =1,∴| BF 1 |=5-2 a =3, 又| AF 2 | 2 +| AB | 2 =| BF 2 | 2 , ∴∠ F 2 AB =90 ° , ∴sin B =   , ∴   =   × 5 × 3 × sin B =   × 5 × 3 ×   =   . 疑难突破     根据双曲线的定义可得到| BF 1 |=3,再根据△ F 2 AB 是直角三角形求 得sin B ,最后利用三角形面积公式即可得到答案. 考点二　圆锥曲线的几何性质 1 .(2018课标全国Ⅱ,11,5分)已知 F 1 , F 2 是椭圆 C 的两个焦点, P 是 C 上的一点.若 PF 1 ⊥ PF 2 ,且∠ PF 2 F 1 =60 ° ,则 C 的离心率为   (　　) A.1-   　    B.2-   　    C.   　    D.   -1 D 答案    D 　本题主要考查椭圆的定义和几何性质. 不妨设椭圆 C 的方程为   +   =1( a > b >0). 在Rt△ F 1 PF 2 中, 因为∠ PF 2 F 1 =60 ° ,| F 1 F 2 |=2 c , 所以| PF 2 |= c ,| PF 1 |=   c . 由椭圆的定义得| PF 1 |+| PF 2 |=2 a , 即   c + c =2 a , 所以椭圆 C 的离心率 e =   =   =   -1.故选D.   疑难突破 　利用椭圆的定义 | PF 1 |+| PF 2 |=2 a , 结合题意得到 a 与 c 的等量关系是 求解的关键 , 也是难点的突破口 . 2 .(2019课标全国Ⅱ,12,5分)设 F 为双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的右焦点, O 为坐 标原点,以 OF 为直径的圆与圆 x 2 + y 2 = a 2 交于 P , Q 两点.若| PQ |=| OF |,则 C 的离心 率为   (　　) A.   　    B.   　    C.2　    D.   A 答案    A 　本题考查了双曲线的几何性质以及圆的性质;考查了运算求解能 力;考查的核心素养为数学运算. 如图,连接 OP ,∵| PQ |=| OF |= c , ∴ PQ 过以 OF 为直径的圆的圆心   . 易得 P   . 又∵| OP |= a , ∴ a 2 =   +   =   , ∴   =2, ∴ e =   =   .故选A.   解题关键     由| PQ |=| OF |= c ,可知 PQ 过以 OF 为直径的圆的圆心,进而得到 P 是解答本题的关键. 3 .(2019课标全国Ⅲ,15,5分)设 F 1 , F 2 为椭圆 C :   +   =1的两个焦点, M 为 C 上一 点且在第一象限.若△ MF 1 F 2 为等腰三角形,则 M 的坐标为 　　　     . 答案 　(3,   ) 解析 　本题考查椭圆的定义与几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形 结合的思想方法;考查了数学运算的核心素养. 不妨设 F 1 , F 2 分别是椭圆 C 的左、右焦点,由 M 点在第一象限,△ MF 1 F 2 是等腰三 角形,知| F 1 M |=| F 1 F 2 |,又由椭圆方程   +   =1,知| F 1 F 2 |=8,| F 1 M |+| F 2 M |=2 × 6=12. 所以| F 1 M |=| F 1 F 2 |=8,| F 2 M |=4. 设 M ( x 0 , y 0 )( x 0 >0, y 0 >0), 则   解得 x 0 =3, y 0 =   ,即 M (3,   ). 总结提升 椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率(或离心率的范围),关键是根据已知条件确定 a , b , c 的等量关系(或不等关系),然后把 b 用含 a , c 的式子代换,求   的值(或范围). 1 .(2019湖南长沙模拟)已知双曲线   -   =1( m >0)的一个焦点在直线 x + y =5上, 则双曲线的渐近线方程为   (　　) A. y = ±   x 　    B. y = ±   x C. y = ±   x 　    D. y = ±   x B 答案    B 　由双曲线   -   =1( m >0)的焦点在 y 轴上,且在直线 x + y =5上,而直线 x + y =5与 y 轴的交点坐标为(0,5),即 c =5,则 m +9=25,解得 m =16, 则双曲线的方程为   -   =1, 则双曲线的渐近线方程为 y = ±   x .故选B. 2 .(2018福建福州模拟)过椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的右焦点作 x 轴的垂线,交 C 于 A , B 两点,直线 l 过 C 的左焦点和上顶点.若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点, 则 C 的离心率的取值范围是   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   A 答案    A 　由题设知,直线 l :   +   =1,即 bx - cy + bc =0,以 AB 为直径的圆的圆心为 ( c ,0),根据题意,将 x = c 代入椭圆 C 的方程,得 y = ±   ,则以 AB 为直径的圆的半径 r =   .又圆与直线 l 有公共点,所以   ≤   ,化简得2 c ≤ b ,平方整理得 a 2 = b 2 + c 2 ≥ 5 c 2 ,所以 e =   ≤   .又0< e <1,所以0< e ≤   .故选A. 考点三　直线与圆锥曲线的位置关系 命题角度一　位置关系的判断与应用 (2016课标全国Ⅰ,20,12分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l : y = t ( t ≠ 0)交 y 轴于点 M , 交抛物线 C : y 2 =2 px ( p >0)于点 P , M 关于点 P 的对称点为 N ,连接 ON 并延长交 C 于 点 H . (1)求   ; (2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由. 解析 　(1)由已知得 M (0, t ), P   . 又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N   , ON 的方程为 y =   x ,代入 y 2 =2 px 整理得 px 2 -2 t 2 x =0, 解得 x 1 =0, x 2 =   . 因此 H   . 所以 N 为 OH 的中点,即   =2. (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点. 理由如下: 直线 MH 的方程为 y - t =   x ,即 x =   ( y - t ). 代入 y 2 =2 px 得 y 2 -4 ty +4 t 2 =0, 解得 y 1 = y 2 =2 t ,即直线 MH 与 C 只有一个公共点, 所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点. 总结提升 直线与圆锥曲线相切,如果直线不与抛物线的对称轴平行或重合、不与双曲 线的渐近线平行,那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时,只要把直线方 程、圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的一元二次方程,使其判别式 等于零即可. 命题角度二　直线与圆锥曲线的相交弦问题 (2018课标全国Ⅲ,20,12分)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C :   +   =1交于 A , B 两 点,线段 AB 的中点为 M (1, m )( m >0). (1)证明: k <-   ; (2)设 F 为 C 的右焦点, P 为 C 上一点,且   +   +   =0.证明:2|   |=|   |+|   |. 证明 　(1)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则   +   =1,   +   =1. 两式相减,并由   = k 得   +   · k =0. 由题设知   =1,   = m ,于是 k =-   . 由题设得0< m <   ,故 k <-   . (2)由题意得 F (1,0).设 P ( x 3 , y 3 ), 则( x 3 -1, y 3 )+( x 1 -1, y 1 )+( x 2 -1, y 2 )=(0,0). 由(1)及题设得 x 3 =3-( x 1 + x 2 )=1, y 3 =-( y 1 + y 2 )=-2 m <0. 又点 P 在 C 上,所以 m =   , 从而 P   ,|   |=   . 于是|   |=   =   =2-   . 同理|   |=2-   . 所以|   |+|   |=4-   ( x 1 + x 2 )=3. 故2|   |=|   |+|   |. 总结提升 解决直线与椭圆的位置关系问题,经常利用设而不求的方法,解题要点如下: (1)设直线与椭圆的交点坐标为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ); (2)联立直线的方程与椭圆的方程; (3)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程; (4)利用根与系数的关系设而不求; (5)把题干中的条件转化为含有 x 1 + x 2 , x 1 x 2 或 y 1 + y 2 , y 1 y 2 的式子,进而求解即可. 提醒     对于中点弦问题,常利用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在利 用根与系数的关系时,要注意使用条件 Δ >0,在利用点差法时,要检验直线与圆 锥曲线是否相交. 1 .设 A , B 为曲线 C : y =   上两点, A 与 B 的横坐标之和为4. (1)求直线 AB 的斜率; (2)设 M 为曲线 C 上一点, C 在 M 处的切线与直线 AB 平行,且 AM ⊥ BM ,求直线 AB 的方程. 解析 　(1)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). 则 x 1 ≠ x 2 , y 1 =   , y 2 =   , x 1 + x 2 =4, 于是直线 AB 的斜率 k =   =   =1. (2)由 y =   ,得 y '=   . 设 M ( x 3 , y 3 ),由题设及(1)知   =1,解得 x 3 =2, 于是 M (2,1). 设直线 AB 的方程为 y = x + m , 故线段 AB 的中点为 N (2,2+ m ),| MN |=| m +1|. 将 y = x + m 代入 y =   ,得 x 2 -4 x -4 m =0. 当 Δ =16( m +1)>0,即 m >-1时, x 1,2 =2 ± 2   . 易知| AB |=2| MN |, 即4   =2( m +1),解得 m =7( m =-1舍去). 所以直线 AB 的方程为 x - y +7=0. 2 .(2019合肥第二次质量检测)已知直线 l : x - y +1=0与焦点为 F 的抛物线 C : y 2 =2 px ( p >0)相切. (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 的直线 m 与抛物线 C 交于 A , B 两点,求 A , B 两点到直线 l 的距离之和的 最小值. 解析 　(1)由   消去 x ,得 y 2 -2 py +2 p =0, ∵直线 l : x - y +1=0与抛物线 C 相切,∴ Δ =4 p 2 -8 p =0,解得 p =2或 p =0(舍去).∴抛物 线 C 的方程为 y 2 =4 x . (2)由于直线 m 的斜率不为0,所以可设直线 m 的方程为 ty = x -1, 由   消去 x ,得 y 2 -4 ty -4=0, Δ 1 =16 t 2 +16>0, 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), ∴ y 1 + y 2 =4 t ,∴ x 1 + x 2 =4 t 2 +2, ∴线段 AB 的中点 M 的坐标为(2 t 2 +1,2 t ). 设点 A 到直线 l 的距离为 d A ,点 B 到直线 l 的距离为 d B ,点 M 到直线 l 的距离为 d ,则 d A + d B =2 d =2 ×   =2   | t 2 - t +1|=2     ,∴当 t =   时,可使 A , B 两点到直 线 l 的距离之和最小,距离之和的最小值为   .