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- 2021-04-15 发布
一、考纲要求：
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.理解数形结合思想.
3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．
二、概念掌握和解题上注意点：
1.应用抛物线定义的两个关键点
(1）)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2）)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
2.求抛物线的标准方程的方法
(1）)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可.
(2）)抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.
3.研究抛物线的焦点坐标或准线方程，必须把抛物线化成标准方程，正确的求出p.
4.解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法
(1）)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
(2）)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用弦长公式.
(3）)涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法.
提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.
三、高考考题题例分析
例1.（2018课标卷I）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
例2.（2018课标卷II）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【答案】（1）y=x﹣1；（2）（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．
【解析】：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；
设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，
由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，
∴直线l的方程y=x﹣1；
方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，
∴θ=，则直线的斜率k=1，
∴直线l的方程y=x﹣1；
（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）
由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，
以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，
由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，
则D（3，2），
过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．
例7.(2017课标卷II)已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则。
【答案】6
【解析】试题分析：
点A，
例8.(2017北京卷)已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.
，
所以.
故A为线段BM的中点.
例9.(2017浙江卷)如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点
．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
试题解析：
（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是，因为|PA|==
|PQ|=，所以|PA||PQ|=
令，因为，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．
15．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.
【答案】2
16．已知直线l：y＝kx＋t与圆：x2＋(y＋1)2＝1相切，且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是________________．
【答案】t>0或t<－3
【解析】因为直线l与圆相切，所以＝1⇒k2＝t2＋2t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，
于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，
解得t>0或t<－3.
三、解答题
17.如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．
(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；
(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．
【答案】(1) y＝x－1；(2) x±2y－1＝0.
【解析】 (1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，
则由得
(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.
又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.
18．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程.
【答案】(1) y2＝4x；(2) x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【解析】 (1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，
得y2－2pmy＋4p＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，
则x1x2＝＝4，
因为·＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.
设AB的中点为M，
则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①
又|AB|＝|y1－y2|＝.②
由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，m＝±，
所以直线l的方程为
x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.
19.在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
【答案】(1)2；(2)见解析
【解析】(1)如图，由已知得M(0，t)，P.
20.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积.
【答案】(1) y2＝8x；(2) 24.
【解析】 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，
∴2p＝8，
∴抛物线方程为y2＝8x.
21．如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．
(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；
(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．
【答案】(1) y＝x－1；(2) x±2y－1＝0.
【解析】(1)由已知得抛物线的焦点为F(1，0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，
则由得
(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.
又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.
即x±2y－1＝0.
22．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(1)若＝2 ，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值.
【答案】(1) ±2；(2)4
【解析】 (1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得
y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
因为＝2 ，
所以y1＝－2y2.
联立上述三式，消去y1，y2得m＝±.
所以直线AB的斜率是±2.
(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，
所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.