2019-2020学年江苏省盐城市盐城中学高一上学期12月月考数学试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年江苏省盐城市盐城中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 解：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎2．函数的最小正周期是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：直接利用周期公式求解即可.‎ 详解：∵，，‎ ‎∴．故选D 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于简单题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.‎ ‎3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】运用奇函数的定义，设，则，运用已知解析式，可得所求解析式．‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数在上为奇函数，所以，‎ 当时，，‎ 当时，则，可得，‎ 由，可得，；‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇函数的解析式的求法，考查转化思想和方程思想，属于基础题．‎ ‎4．函数（且）的图象恒过点（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的图象恒过定点，利用对数的运算性质，得出定点的坐标，‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数（且）的图象恒过定点,‎ 令,则，,∴定点的坐标为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是对数函数的单调性及特殊点，其中熟练掌握对数的运算性质，是解答的关键，属于基础题．‎ ‎5．的值为（ ）‎ A．1 B．－1 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】结合同角平方关系和诱导公式对已知式子进行化简即可求值．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角平方关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．‎ ‎6．设函数,（ ）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】.故选C.‎ ‎7．已知，求的值为（ ）‎ A．2 B．8 C．10 D．14‎ ‎【答案】D ‎【解析】对原等式两边同时3次方，再利用有理数指数幂的运算性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 两边同时3次方得：，‎ 化简得：，‎ 又，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．‎ ‎8．可向右平移个单位得到，则可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：把的图象可向右平移个单位，可以得到的图象与的图象相同，‎ 则，解得 故满足条件的为 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎9．对于函数，有使，且，，则为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．0或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的解析式可得，，，以及时的函数值的符号，即可判断函数零点的位置，从而求得的值．‎ ‎【详解】‎ 解：由函数的解析式，定义域为的连续函数，‎ 可得，，，当时，，‎ 故函数在和上各存在唯一零点，所以或，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．‎ ‎10．函数图象的一个对称中心为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦函数的对称性质可知，，从而可得函数的图象的对称中心为，再赋值即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 令，，解得：，.‎ 所以函数的图象的对称中心为，.‎ 当时，就是函数的图象的一个对称中心，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数的对称性，求得其对称中心为，.是关键，考查赋值法的应用，属于基础题．‎ ‎11．中，若，则为（ ）‎ A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】直接利用三角函数关系式的变换和余弦函数的性质的应用及三角形内角和定理的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：在中，，所以，由于，则为锐角.‎ 所以，，‎ 由于函数在上为偶函数，且在上单调递减，‎ ‎，所以.即，所以，故.‎ 或，整理得：，所以该三角形为钝角三角形.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎12．函数在区间上的值域是，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数中含有正弦和余弦两个元，则必然消元，再利用函数的图象解题即可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：，令，‎ 可得，，由题意函数值域是，‎ 由二次函数在的函数图象可知，，‎ 即时，，如图：可得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．‎ ‎【详解】‎ 根据扇形的弧长公式可得，‎ 根据扇形的面积公式可得，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题．‎ ‎14．函数最大值为5，最小值为－1，则振幅为______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据正弦函数的图象和性质，建立方程即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 当时，函数取得最大值，‎ 当时，函数取得最小值，‎ 即；‎ 解得，，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦函数的性质，利用余弦函数的单调性和最值是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎15．设函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解、、、、则等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据一元二次方程的根的情况，可判断必为方程的解，可得到，再分和两种情况讨论，求得方程的根，即可的值.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，可画函数图象如下所示：‎ 又因为关于的方程恰有5个不同的实数解 根据对称性，由图可知一定是方程的解，‎ 当时，，则由得.‎ ‎∴，.‎ 当时，，由，‎ 得，‎ 解得，或，解得、.‎ 当时，，由得 ‎，解得，或，解得、.‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 这是一道比较难的对数函数综合题，解题时按照题设条件分别根据、和三种情况求出关于的方程的5个不同的实数解、、、、，然后再求出的值，属于难题．‎ ‎16．已知函数若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】含参的定义域，必然要对函数讨论，显然是一个零点，不等于0时，只需有一个根即可，通过图象法，得出结论．‎ ‎【详解】‎ 函数恰有2个不同的零点，若，因为，故是一个零点；‎ 若，，当，即，时，则有无数个解，故；‎ 当，有一解，令，，‎ 观察的图象，在时，只有一解，应在，的线段之间，‎ 故，解得，‎ 当时，，，不成立，故，‎ 综上，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点与方程的根的问题，难点在于定义域含参的讨论，本题难度较大，综合性强．‎ 三、解答题 ‎17．已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由已知结合诱导公式可求，‎ ‎（2）结合已知及同角平方关系可求，然后利用诱导公式及同角平方关系可求．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎（2）∵，‎ 又，∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．‎ ‎18．已知，是方程的两根.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）根据方程的根与系数关系可求，，然后结合同角平方关系可求，‎ ‎（2）结合（1）可求，，结合同角基本关系即可求，‎ ‎（3）利用将式子化为齐次式，再利用同角三角函数的基本关系，将弦化切，代入可求．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意可知，，，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎（2）方程的两根分别为，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 则，‎ ‎（3）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数关系式和万能公式的应用，属于基本知识的考查．‎ ‎19．若 的最小值为 .‎ ‎（1）求 的表达式；‎ ‎（2）求能使 的值，并求当 取此值时，的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）的最大值为 ‎【解析】试题分析：（1）通过同角三角函数关系将化简，再对函数配方，然后讨论对称轴与区间的位置关系，从而求出的最小值；（2）由，则根据的解析式可知只能在内解方程，从而求出的值，即可求出的最大值.‎ 试题解析：（1） ‎ 若，即，则当时，有最小值，；‎ 若，即，则当时，有最小值，‎ 若，即，则当时，有最小值，‎ 所以；‎ ‎（2）若，由所求的解析式知或 由或（舍）；由（舍）‎ 此时，得，所以时，，此时的最大值为.‎ ‎20．已知函数（，）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求图象的对称轴方程；‎ ‎（3）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2），；（3）‎ ‎【解析】（1）由题意可先求周期，进而可求，代入，可求，即可求解，‎ ‎（2）结合正弦函数的对称轴方程即可求解，‎ ‎（3）由已知可转化为，结合正弦函数的性质可求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∵，∴，‎ ‎，‎ ‎（2）由可得，，，‎ 即对称轴，，‎ ‎（3）∵，∴，‎ ‎∵恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，故的范围 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用正弦函数的性质求解函数解析式，还考查了正弦函数的对称性，值域及恒成立问题与最值的相互转化，属于中档试题．‎ ‎21．为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。‎ ‎（1）若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？‎ ‎（2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a的取值范围。‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）0．‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为：当a＝1时，‎ y＝y1+y2；‎ ‎①当0＜t＜1时，y＝﹣t4＝﹣（）2，所以ymax＝f（）；‎ ‎②当1≤t≤3时，∵，所以ymax＝7﹣2 （当t 时取到），因为 ，故ymax＝f（）．‎ ‎（2）由题意y ‎①⇒⇒，又0＜t＜1，得出a≤1；‎ ‎②⇒⇒由于1≤t≤3得到，令，则，‎ 所以，综上得到以0．‎ ‎22．若函数在其定义域内给定区间上存在实数.满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.‎ ‎（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由 ‎（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围.‎ ‎（3）设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对.‎ ‎【答案】（1）是区间上的“平均值函数”，理由见解析；（2）；（3）或 ‎【解析】（1）根据条件可知，故满足；‎ ‎（2）由条件可知，‎ 则有，解出，再结合范围可求出范围；‎ ‎（3）根据条件表示出（1），化简整理可得，结合的范围可求出的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，存在成立，‎ 则是区间上的“平均值函数”；‎ ‎（2）由题意知存在，，知，即，‎ 则，因为，所以，‎ 而在有解，不妨令，‎ 解得或，则，解得；‎ ‎（3）由题意的，则，且，‎ 由题意可知，即，所以，‎ 因为，所以，则，又因为，则，或，则当时，；当时，成立，‎ 所以或是满足条件的实数对.‎ ‎【点睛】‎ 本题是新定义问题，根据条件逐一进行判断即可，属于中档题．‎