数学文卷·2018届辽宁省凌源市实验中学、凌源二中高三12月联考（2017 9页

‎2017-2018学年度上学期高三学年12月验收考试 数学试卷（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.若为虚数单位，则复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．， ‎ ‎4.等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.若实数，满足不等式组，，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.将函数（）的图象向左平移个单位长度后得到函数图象的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的值为（ ）‎ A． B．或 C． D． ‎ ‎8.已知双曲线：（，）的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知函数，则的大致图象为（ ）‎ ‎11.已知抛物线，直线过抛物线焦点，且与抛物线交于，两点，以线段为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（ ）‎ A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 ‎ ‎12.已知函数，，若对任意，均存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，若向量与垂直，则 ．‎ ‎14.定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最小值为 ．‎ ‎15.已知在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 ．‎ ‎16.设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知在数列中，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，求．‎ ‎18.“糖尿病”已经成为日渐多发的一种疾病，其具有危害性大且难以完全治愈的特征．为了更好的抑制“糖尿病”多发的势头，某社区卫生医疗机构针对所服务居民开展了免费测血糖活动，将随机抽取的10名居民均分为，两组（组：4.3,5.1,4.6,4.1,4.9；组：5.1,4.9,4.0,4.0,4.5）．‎ ‎（1）通过提供的数据请判断哪一组居民的血糖值更低；‎ ‎（2）现从组的5名居民中随机选取2名，求这2名中至少有1名的血糖值低于4.5的概率．‎ ‎19.如图1，在平面多边形中，四边形为正方形，，，沿着将图形折成图2，其中，，为的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求四棱锥的体积．‎ ‎20.已知以点（，且）为圆心的圆与轴交于点，，与轴交于点，，其中为坐标原点．‎ ‎（1）求证：的面积为定值；‎ ‎（2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．‎ ‎21.已知函数，．‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）当时，若存在使得成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），曲线：（为参数）．‎ ‎（1）写出曲线，的普通方程；‎ ‎（2）若点在曲线上，求点到直线：距离的最大值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数（）．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于不等式的解集为，求的取值范围．‎ ‎2017-2018学年度上学期高三学年12月验收考试数学试卷（文科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，所以当时，，所以，‎ 所以数列的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列．‎ 又，，‎ 所以当为奇数时，；当为偶数时，，‎ 所以 ‎（2）因为，，，所以．‎ 讨论：‎ 当为奇数时，；‎ 当为偶数时，.‎ ‎18.解：（1）组5名居民血糖值的平均数，‎ 组5名居民血糖值的平均数，‎ 从计算结果看，组居民的血糖值更低．‎ ‎（2）从组5名居民中随机选取2名，基本事件总数为10，‎ 这2名居民中至少有1名的血糖值低于4.5对立事件是这2名居民的视力都不低于4.5，这2名居民的血糖值都不低于4.5，包含的基本事件有，，，‎ 所以这2名居民的血糖值都不低于4.5的概率．‎ ‎19.（1）证明：由题可知，，，且，，平面，‎ 所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 因为，是的中点，所以．‎ 又，，平面，所以平面，‎ 又因为平面，所以．‎ ‎（2）解：，其中．‎ 因为，且，所以，‎ 所以．‎ ‎20.（1）证明：因为圆过原点，所以，‎ 设圆的方程是，‎ 令，得，；‎ 令，得，，‎ 所以．‎ 即的面积为定值．‎ ‎（2）解：因为，，‎ 所以垂直平分线段．‎ 因为，所以，‎ 所以，解得或．‎ 当时，圆心的坐标为，，此时点到直线的距离，圆与直线相交于两点；‎ 当时，圆心的坐标为，，此时点到直线的距离，圆与直线不相交，所以不符合题意，舍去．‎ 所以所求圆的方程为．‎ ‎21.解：（1）当时，，所以．‎ 所以当时，，‎ 所以的单调递增区间为，不存在单调递减区间．‎ ‎（2）据题意，得在上有解，‎ 设，‎ 则，所以当，时，，‎ 所以在区间上是增函数，所以当时，，‎ 解得，所以的取值范围是．‎ ‎22.解：（1）曲线的普通方程为，‎ 曲线的普通方程为．‎ ‎（2）设点，则 点到直线的距离，所以．‎ ‎23.解：（1）当时，．‎ 所以，即为，‎ 所以，所以，‎ 即所求不等式解集为．‎ ‎（2）“关于不等式（）的解集为”等价于“对任意实数和，”，‎ 因为，，‎ 所以，即，又，所以．‎