2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（三） 6页

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（三）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和为，且满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）由题意得：，解得，‎ 故的通项公式为，．‎ ‎（2）由（1）得：，‎ ‎，······①‎ ‎，······②‎ ‎①－②得：，‎ 故．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎【解析】（1），函数的单调递增区间为：；‎ ‎（2），，，‎ ‎．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是菱形，．交于点．‎ ‎（1）证明：平面⊥平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎【解析】（1）底面是菱形，，‎ 又，，，平面，‎ 平面，又平面，平面平面．‎ ‎（2）不妨设，则，作于，连结，‎ 由（1）知，平面，故，‎ 则即二面角的平面角，‎ 在中，，，，，‎ ‎．‎ ‎（另解：也可以以为原点建立空间坐标系，并注意，建系过程未说明扣2分．）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线上点处的切线方程为．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设和为抛物线上的两个动点，其中且，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值．‎ ‎【解析】（1）设点，由得，求导，‎ 因为直线的斜率为，所以且，解得，‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（说明：也可将抛物线方程与直线方程联立，由解得）‎ ‎（2）设线段中点，则，，‎ ‎，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 即，过定点．‎ 联立，‎ 得，‎ ‎，‎ 设到的距离，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 的最大值为．‎ ‎（另解：可以令，，构造函数，求导亦可）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数有两个零点，．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎∴，‎ ‎∴在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎∴满足函数有两个零点．‎ ‎（2）令 由（1）知在，，‎ 令，，‎ ‎，‎ 在单调递增，‎ ‎，，‎ 令的零点为，，，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，所以．‎