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- 2021-04-15 发布
扶余市第一中学 2018—2019 学年度上学期月考考试
高二数学（理）
本试卷分第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分。共 150 分，考试时间 120 分钟。
第 I 卷（选择题共 60 分）
注意事项：
1、答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1.命题“若 则 ”的逆否命题是( )
A.若 则 B.若 则
C.若 则 D.若 则
2. 设 ,则“ ”是“ ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要必要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 已知命题 :若 ,则 ;命题 :若 ,则 .在命题① ;②
;③ ;④ 中,真命题是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
4. 命题“对任意 ,都有 ”的否定为( )
A.对任意 ,都有 B.不存在 ,使得
C.存在 ,使得 D.存在 ,使得
5.平面内有两定点 及动点 ,设命题甲是:“ 是定值”,命题乙是:“点 的轨
迹是以 为焦点的椭圆”,那么( )
A.甲是乙成立的充分不必要条件 B.甲是乙成立的必要不充分条件
C.甲是乙成立的充要条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件
a b> 5 5a b− > −
a b< 5 5a b− < − 5 5a b− < − a b>
a b< 5 5a b− ≤ − 5 5a b− ≤ − a b≤
x R∈ 1
2x > 22 1 0x x+ − >
p x y> x y− < − q x y> 2 2x y> p q∧
p q∨ ( )p q∧ ¬ ( )p q¬ ∨
x R∈ 2 0x ≥
x R∈ 2 0x < x R∈ 2 0x <
0x R∈ 2
0 0x ≥ 0x R∈ 2
0 0x <
,A B P PA PB+ P
,A B
6. 若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
7．设 分别为双曲线 的左、右焦点,双曲线上存在一点 使得
,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D. []
8. 实数 满足 ,则曲线 与曲线 的( )
A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等
9. 已知 ,椭圆 的方程为 ,双曲线 的方程为 , 与 的
离心率之积为 ,则 的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
10. 已知点 为抛物线 上的动点,点 在 轴上的射影是 , 点坐标为 ,则
的最小值是( )
A. B. C. D.
11. 若等轴双曲线上有一点 到中心的距离为 ,则点 到两焦点的距离之积等于( )
A. B. C. D.
12. 过双曲线 的焦点作弦 ,若 ，则直线 的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.30°或 150° D.60°或 120°
第 II 卷
二 填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
2 2
2 2 1x y
a b
− = 3
2y x= ± 2y x= ± 1
2y x= ± 2
2y x= ±
1 2,F F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > P
( )2 2
1 2 3PF PF b ab− = −
2 15 4 17
k 0 9k< <
2 2
125 9
x y
k
− =−
2 2
125 9
x y
k
− =−
0a b> > 1C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 2C
2 2
2 2 1x y
a b
− = 1C 2C
3
2 2C
2 0x y± = 2 0x y± = 2 0x y± = 2 0x y± =
P 2 2y x= P y M A 7 ,42
PA PM+
11
2 4 9
2 5
P d P
d 2d 2d 22d
2 2
19 18
x y− = MN 48MN = MN
13. 抛物线 上的两点 到焦点的距离之和是 ,则线段 的中点到 轴的距离是
__________
14．设 、 分别是椭圆 的左、右焦点,若点 在椭圆上,且 ,则
__________
15．已知以双曲线 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为 ,则双
曲线 的离心率为__________
16．已知点 在椭圆 上,则 的取值范围是
三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本题满分 10 分)
设 :实数 满足 ( ), 实数 满足 .
①若 且“ ”为真,求实数 的取值范围;
②若 是 的必要不充分要条件,求实数 的取值范围.
18. (本题满分 12 分)
如图, 为圆 上一动点,点 坐标为 , 线段 的垂直
平分线交直线 于点 ,求点 的轨迹方程.
19. (本题满分 12 分)
已知椭圆 : 的离心率 ,且椭圆经过点 .
①求椭圆 的方程;
②求椭圆以 为中点的弦所在直线的方程.
2 2y x= ,A B 5 AB y
1F 2F
2 2
116 7
x y+ = P 1 2 0PF PF⋅ =
1 2PF PF+ =
C 60
C
( ),m n 2 28 3 24x y+ = 2 4m +
p x 2 24 3 0x ax a− + < 0a > :q x
2
2
6 0{
2 8 0
x x
x x
− − ≤
+ − >
1,a = p ∧ q x
p¬ q¬ a
P ( )2 2: 2 36B x y+ + = A ( )2,0 AP
B P Q Q
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> > 1
2e = ( )2, 3 N −
C
( )1,2M −
20.（本题满分 12 分）
已知双曲线 ，过点 P（1,1）能否作一条直线 ,与双曲线交于 A,B 两点，且点 P 是
线段 AB 的中点？如果能，求出直线的方程；如果不能，请说明理由.
21 (本题满分 12 分)
已知抛物线的顶点在原点,过点 且焦点在 轴
①求抛物线方程
②直线 过定点 ,与该抛物线相交所得弦长为 ,求直线 的方程
22 (本题满分 12 分)
已知椭圆 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数,且
过点
1)求椭圆 的方程
2）过 作两条直线 与圆 相切且分别交椭圆于 两
点.
①求证:直线 的斜率为定值;
②求 面积的最大值(其中 为坐标原点).
12
2
2 =− yx l
( )4,4A − x
l ( )1,0B − 8 l
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > >
2 2
14 12
x y− =
31, 2P
C
P 1 2,l l 2 2 2 3( 1) (0 )2x y r r− + = < < ,M N
MN
MON∆ O
高二数学月考考试参考答案（理）
1~12 DACDB BDAAC BD
13. 2 14. 6 15. 16.
17． 1.由 得 ,
得 ,则 .
由 解得 .
即 .
若 ,则 ,
若 为真,则 同时为真,
即 ,解得 ,
∴实数 的取值范围 .
2.若 是 的充分不必要条件,即 是 的充分不必要条件,
∴ ,即 ,
解得
18. ∵直线 的垂直平分线交直线 于点 ,
∴ ,
∴ ,
∴点 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆,且 , .
∴点 的轨迹方程为
6
2 4 2 3,4 2 3 − +
2 24 3 0( 0)x ax a a− + ( )( )3 0x a x a− − <
3 , 0a x a a< : 3 , 0p a x a a<
2
2
6 0{
2 8 0
x x
x x
− − ≤
+ − > 2 3x< ≤
: 2 3q x< ≤
1a = :1 3p x< <
p q∧ ,p q
2 3{1 3
x
x
− < ≤
< < 2 3x< <
x ( )2, 3
p¬ q¬ q p
3 3{ 2
a
a
>
≤
1{ 2
a
a
>
≤
1 2a< ≤
AP B P Q
AQ PQ=
6AQ BQ PQ BQ+ = + =
Q A B 2a=6 2 4c =
Q
2 2
19 5
x y+ =
19. 1.由椭圆经过点 ,得 ,
又∵ ,解得 , .
∴椭圆 的方程为 .
2.显然 在椭圆内,设 , 是以 为中点的弦的两个端点,
则 , .
相减得 .
整理得 .
则所求直线的方程为 ,即 .
20. 设过点 的直线方程为 或
(1) 当 存 在 时 ， 有 ， ， 得
① 当直线与双曲线相交于两个不同点，必有
又方程①的两个不同的根是两交点 A、B 的横坐标
，又 为线段 AB 的中点 ，即
但 因此当 时方程①无实数解
所以不存在[]
（2）当 时，直线经过点 P 但不满足条件。
综上所述，符合条件的直线 L 不存在。
( )2, 3 N − ( )22
2 2
32 1a b
−+ =
1
2
ce a
= = 2 16a = 2 12b =
C
2 2
116 12
x y+ =
M ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y M
2 2
1 1 116 12
x y+ =
2 2
2 2 116 12
x y+ =
( )( ) ( )( )2 1 2 1 2 1 2 1 016 12
x x x x y y y y− + − ++ =
1 2
1 2
12 3
16 8AB
x xk y y
⋅ += − =⋅ +
( )32 18y x− = + 3 8 19 0x y− + =
P ( )1,1 ( ) 11 +−= xky 1=x
k ( ) 11 +−= xky 12
2
2 =− yx
( ) ( ) 032222 2222 =−+−−+− kkxkkxk
( ) ( )( )
2
3,0322422 2222
kkkkkk −+−−−−=∆
( )
2
2
21 2
2
k
kkxx −
−=+∴ P ( )1,1 12
21 =+∴ xx 2,12 2
2
==−
−
kk
kk
02 ∆= 使k 2=k
1=x
21. 1.设抛物线方程为 抛物线过点 , ,得 则
2.①当直线 的斜率不存在时,直线 与抛物线交于 ,弦长为 ,不合
题意;
②当直线 的斜率存在时,设斜率为 ,直线为 , 消 得
,
弦长 解得 得 ,
所以直线 方程为 或
22. 1.可得 ,设椭圆的半焦距为 ,所以
因为 过点 ,所以 ,
又 ,解得
所以椭圆方程为 .
2.①显然两直线 的斜率存在,设为 ,
由于直线 与圆 相切,则有
直线 的方程为 , 联立方程组
消去 ,得
因为 为直线与椭圆的交点,所以 ,
同理,当 与椭圆相交时, ,
2 2y px= − ( )4,4− ( )24 2 4p= − − 2p = 2 4y x= −
l : 1l x = − ( ) ( )1, 2 , 1,2− − − 4
l k ( )1y k x= + ( )
2
1
4
y k x
y x
= + = −
y
( )2 2 2 22 4 0k x k x k+ + + =
( )22 4
2
2
2 4 4
1 8
k k
k k
+ −
= + = 2 1k = 1k = ±
l 1y x= + 1y x= − −
1
2e = c 2a c=
C 3(1, )2P 2 2
1 9 14a b
+ =
2 2 2c b a+ = 2 3a b= =
2 2
14 3
x y+ =
1 2,l l 1 2,k k ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
1 2,l l 2 2 2 3( 1) (0 )2x y r r− + = < < 1 2k k= −
1l ( )1
3 12y k x− = −
1 1
2 2
3
2{
14 3
y k x k
x y
= − +
+ =
，
，
y ( ) ( ) ( )22 2
1 1 1 14 3 12 8 3 2 12 0x k k k x k+ + − + − − =
,P M
( )1 1
1 2
1
8 121 4 3
k kx k
−+ = +
2l
( )1 1
2 2
1
8 121 4 3
k kx k
++ = +
所以 ,而 ,
所以直线 的斜率
②设直线 的方程为 ,联立方程组
消去 得 ,
所以
原点 到直线的距离
面积为 ,
当且仅当 时取得等号.经检验,存在 使得过点 的两条直线与圆
相切,
且与椭圆有两个交点 .所以 面积的最大值为 .
1
1 2 2
1
24
4 3
kx x k
−− = + ( ) 1
1 2 1 1 2 1 2
1
122 4 3
ky y k x x k k
−− = + − = +
MN 1 2
1 2
1
2
y yk x x
−= =−
MN 1
2y x m= +
2 2
1
2{
14 3
y x m
x y
= +
+ =
，
，
y 2 2 3 0x mx m+ + − =
2 2 2 21 151 ( ) 4( 3) 42 2MN m m m= + ⋅ − − = −
O 2
5
md =
OMN∆
2 2
2 2 221 15 3 3 44 (4 ) 32 2 2 2 25
m m mS m m m
+ −= ⋅ − ⋅ = − ≤ =
2 2m = 3(0 )2r r< < 3(1, )2P
2 2 2( 1)x y r− + =
,M N OMN∆ 3