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- 2021-04-15 发布
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河北省邯郸市2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则化简即可.
【详解】
. 故答案为B.
【点睛】
本题考查了复数的乘方、减法运算，考查了学生的运算能力，属于基础题.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题，写出该命题的否定命题即可．
【详解】
解：根据全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定为“，”故答案为A.
【点睛】
本题考查了全称命题的否定是特称命题的应用问题，是基础题目．
3．在建立两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，结合它们的相关指数判断，其中拟合效果最好的为（ ）
A．模型1的相关指数为0.3 B．模型2的相关指数为0.25
C．模型3的相关指数为0.7 D．模型4的相关指数为0.85
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相关指数的大小作出判断即可得到答案．
【详解】
由于当相关指数的值越大时，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，
所以选项D中的拟合效果最好．
故选D．
【点睛】
本题考查回归分析中相关指数的意义，解题的关键是熟悉相关指数与拟合度间的关系，属于基础题．
4．矩形的对角线互相垂直，正方形是矩形，所以正方形的对角线互相垂直.在以上三段论的推理中（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论错误
【答案】A
【解析】
【分析】
分别对大前提、小前提以及结论进行研究真假.
【详解】
大前提: 矩形的对角线互相垂直,是错误的；
小前提：正方形是矩形，是正确的；
结论：正方形的对角线互相垂直，是正确的；
综上选A.
【点睛】
本题考查三段论，考查基本分析判断能力，属基础题.
5．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求渐近线的斜率，再求e即可
【详解】
依题意可得，则，所以.
故选：C
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，渐近线，熟记性质，准确计算是关键，是基础题
6．假设有两个变量与的列联表如下表：
对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【解析】
【分析】
当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，检验四个选项中所给的ad与bc的差距，只有第二个选项差距大，得到结果．
【详解】
解：根据观测值求解的公式可以知道，
当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，
检验四个选项中所给的ad与bc的差距：
显然中最大. 故答案为B.
【点睛】
本题考查独立性检验，得出ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大是解决问题的关键，属基础题．
7．用反证法证明命题：“若，且，则，全为0”时，应假设为（ ）
A．，不全为0 B．且
C．，中至少有一个为0 D．，中只有一个为0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据反证法的步骤中对命题否定的方法作出假设即可．
【详解】
由于“全为”的否定是“不全为”，
所以在用反证法证明时，作的假设为“，不全为0”．
故选A．
【点睛】
本题考查反证法证题的步骤，解题的关键是掌握一些常见的“结论词”和“反设词”，属于简单题．
8．设，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合即可求得z=2x+y的最大值．
【详解】
解：由x，y满足约束条件
作出约束条件表示的可行域，解得A(-1,9)由图可知，当直线过点时，取得最大值7. 故答案为C.
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
9．已知函数在处取得极值10，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数在处取得极值10，得，由此求得的值，再验证是否符合题意即可.
【详解】
函数在处取得极值10，
所以，
且，
解得或，
当时，，
根据极值的定义知道，此时函数无极值；
当时，，
令得或，符合题意；
所以，
故选D.
【点睛】
该题考查的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题，注意其对应的条件为函数值以及函数在对应点处的导数的值，构造出方程组，求得结果，属于简单题目.
10．一名法官在审理一起盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分述如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，乙说：“我没有作案，是丙偷的”，丙说：“在甲和乙中有一个人是罪犯”，丁说：“乙说的是事实”，经调查核实，这四人中只有一人是罪犯，并且得知有两人说的是真话，两人说的是假话，由此可判断罪犯是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】由题意可以看出乙、丁两人的观点是一致的，
∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假．
若乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，显然这两个结论是相互矛盾的，
∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话．
由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．选B．
11．的内角，，所对的边分别是，，.已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由余弦定理化简已知等式可得，由余弦定理，基本不等式可求
【详解】
因为，所以，整理得，
则 .故答案为D.
【点睛】
本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
12．已知是定义在上的增函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意， B．当且仅当，
C．对于任意， D．当且仅当，
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得及可得，构造函数，可得是定义在上的增函数，又，可证得和和时都有，进而得到结论．
【详解】
因为是定义在上的增函数，所以在上恒成立，
又，
所以．
令，则，
所以是定义在上的增函数，
又因为，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，由于在上为增函数，则．
所以对于任意，.
故选C．
【点睛】
本题考查函数单调性的应用，解题的关键是根据题意构造出函数，然后根据函数的单调性进行分析、判断，属于中档题．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．在复平面内，复数对应的点的坐标为__________
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以复数对应的点的坐标为.
考点：复数的运算
14．观察下列不等式：
，
，
，
…
照此规律，第五个不等式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由上述不等式，归纳出表达式的左侧与右侧分子与分母的特征写出一个正整数n（n≥2）有关的一般性结论；
【详解】
因为，所以观察前三个不等式知，等式右边分数分母分别为，，，分子分别为4，6，8，因此其第五个不等式为.
【点睛】
本题考查归纳推理以及数学归纳法的证明方法的应用，考查逻辑推理能力.
15．在中，，，且 ，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先由同角三角函数基本关系，将 转化为，再由正弦定理，将其化为，结合余弦定理可求出角，再由正弦定理即可求出结果.
【详解】
， ，即.由正弦定理，得，所以，，，则.
故答案为
【点睛】
本题考查解三角形，考查正弦、余弦定理的应用，需要考生灵活掌握正、余弦定理，属于常考题型.
16．已知为抛物线：的焦点，曲线是以为圆心，为半径的圆，直线与曲线，从左至右依次相交于，则___．
【答案】
【解析】
【分析】
由直线过焦点F，得|RS|＝|SF|﹣＝+﹣＝+，|PQ|＝|PF|﹣＝+﹣＝+ ，求出S，P的纵坐标代入即可.
【详解】
，因为直线与曲线，从左至右依次相交于，所以， .由直线过抛物线：的焦点F，所以|RS|＝|SF|﹣＝+﹣＝+，|PQ|＝|PF|﹣＝+﹣＝+， = .
故答案为：
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题．
评卷人
得分
三、解答题
17．设复数（其中），．
（Ⅰ）若是实数，求的值；
（Ⅱ）若是纯虚数，求．
【答案】（Ⅰ）22＋4i（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用复数z1＋z2是实数，求得a＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果；
（Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得，利用复数是纯虚数的条件求得的值，之后应用复数模的公式求得结果
【详解】
（Ⅰ）∵z1＋z2＝5＋（a－4）i是实数，
∴a＝4，z1＝2＋4i，
∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；
（Ⅱ）∵是纯虚数，
∴，
故．
【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.
18．为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：
（1）求，；
（2）能否有的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
附：
.
【答案】（1）20,48；（2）没有.
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样中在各层中的抽样比相等求得，然后可得样本容量．（2）由题意得到列联表，根据公式求出后结合临界值表中的数据可得结论．
【详解】
（1）由已知可得该校有女生400人，
根据题意可得，解得，
所以.
（2）由题意得列联表如下：
超过1小时的人数
不超过1小时的人数
合计
男
20
8
28
女
12
8
20
合计
32
16
48
根据表中的数据得，
所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关．
【点睛】
在独立性检验中，求出后查表时要根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的值与求得的相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性，所以其有关联的可能性为．
19．设数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，得（，且），两式相减得，得是以为公比的等比数列，且，即可得结果；
（2）由= ， 得 ，由裂项相消法求和即可.
【详解】
（1）因为，所以（，且），
则（，且）.
即（，且）.
因为，所以，即.
所以是以为首项，为公比的等比数列.
故.
（2），所以.
所以，
故 .
【点睛】
本题考查了求等比数列的通项公式和裂项相消法求数列和的问题，属于基础题.
20．已知直线与椭圆交于 两点，与直线交于点
（1）证明：与C相切；
（2）设线段 的中点为 ，且,求的方程.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）将直线和椭圆的方程联立消元后根据所得方程的判别式为0可证得结论成立；（2）由并结合弦长公式可得关于的方程，解方程可得的值，进而得到所求直线方程．
【详解】
（1）证明：由消去整理得，
∵，
∴与相切．
（注：消去得到关于的一元二次方程，根据判别式等于0一样得分）
（2）解：由，得的坐标为.
由消去整理得，
因为直线与椭圆交于两点，
所以，解得．
设，，，
则，，
所以．
∵，
即，
∴，
即，
解得，满足．
∴，
∴直线的方程为．
【点睛】
本题体现了代数方法在解决解析几何问题中的应用，通过代数运算达到解决位置关系和数量关系的目的．由于在解题中会遇到大量的计算，所以在解题中要注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以达到简化运算的目的．
21．已知函数f（x）＝x2lnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设h（x）＝（x＞0），根据函数的单调性求出f（x）min＞h（x）max，从而证明结论．
【详解】
（1）f′（x）＝x（2lnx+1），
令f′（x）＝0，解得：x＝，
令f′（x）＞0，解得：x＞，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，
故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；
（2）证明：由（1）知当x＝时，f（x）的最小值是﹣，
设h（x）＝﹣（x＞0），则h′（x）＝﹣，
h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
故h（x）max＝h（2）＝﹣，
∵﹣﹣（﹣）＝＞0，
∴f（x）min＞h（x）max，
故lnx＞﹣．
【点睛】
利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，，求.
【答案】（1）,；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）由直线l的参数方程能求出l的普通方程. 由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．
(2) 将,代人，得由此能求出出|PA|•|PB|的值．
【详解】
（1）直线的普通方程为.
由，得，
则，故曲线的直角坐标方程为.
（2）将,代人，得，
则，
故.
【点睛】
本题考查直线的普通方程和曲线的直线坐标方程的求法，考查两段积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，且 ，证明：.
【答案】（1）； （2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)分类讨论三种情况下的解集
(2)先求出的最小值为，代入后运用基本不等式证明不等式成立
【详解】
（1）由，得，
则或或，
解得：，故不等式的解集为.
（2）证明：因为 ，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，故.
【点睛】
本题考查了含有绝对值的不等式解法，需要对其分类讨论，然后再求解，在证明不等式时运用了基本不等式的用法，需要掌握此类题目的解法