【数学】2020届一轮复习人教A版圆的极坐标方程课时作业 4页

‎2020届一轮复习人教A版 圆的极坐标方程 课时作业 一、选择题 ‎1．极坐标方程ρ＝sin θ＋cos θ表示的曲线是(　　)‎ A．直线　　　　　　　 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 解析：选B　极坐标方程ρ＝sin θ＋cos θ即ρ2＝ρ·(sin θ＋cos θ)，化为直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，配方得2＋2＝，表示的曲线是以为圆心，为半径的圆．故选B.‎ ‎2．如图，极坐标方程ρ＝2sin的图形是(　　)‎ 解析：选C　圆ρ＝2sin是由圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方程旋转而得，圆心的极坐标为，故选C.‎ ‎3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　)‎ A. B. C．(1,0) D．(1，π)‎ 解析：选B　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.故选B.‎ ‎4．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为(　　)‎ A．2 B. C. D. 解析：选D　极坐标系中的点化为平面直角坐标系中的点为(1，)，极坐标系中的圆 ρ＝2cos θ化为平面直角坐标系中的圆为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)．所求两点间的距离为＝.故选D.‎ 二、填空题 ‎5．把圆的普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．‎ 解析：圆的方程x2＋(y－2)2＝4化为一般方程为x2＋y2－4y＝0，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.‎ 答案：ρ＝4sin θ ‎6．曲线C的极坐标方程为ρ＝3sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．‎ 解析：由ρ＝3sin θ，得ρ2＝3ρsin θ，‎ 故x2＋y2＝3y，即所求方程为x2＋y2－3y＝0.‎ 答案：x2＋y2－3y＝0‎ ‎7．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A，B两点，则|AB|＝________.‎ 解析：由题意知，直线方程为x＝3，‎ 曲线方程为(x－2)2＋y2＝4，‎ 将x＝3代入圆的方程，‎ 得y＝±，则|AB|＝2.‎ 答案：2 三、解答题 ‎8．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．‎ ‎(1)x2＋y2＋2x＝0；‎ ‎(2)ρ＝cos θ－2sin θ；‎ ‎(3)ρ2＝cos2θ.‎ 解：(1)∵x2＋y2＋2x＝0，‎ ‎∴ρ2＋2ρcos θ＝0，∴ρ＝－2cos θ.‎ ‎(2)∵ρ＝cos θ－2sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ，‎ ‎∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.‎ ‎(3)∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcos θ)2‎ ‎∴(x2＋y2)2＝x2，即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.‎ ‎9．过极点O作圆C：ρ＝8cos θ的弦ON，求弦ON的中点M的轨迹方程．‎ 解：法一(代入法)：设点M(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．‎ 因为点N在圆ρ＝8cos θ上，所以ρ1＝8cos θ1.‎ 因为点M是ON的中点，所以ρ1＝2ρ，θ1＝θ，所以2ρ＝8cos θ，所以ρ＝4cos θ.‎ 所以点M的轨迹方程是ρ＝4cos θ.‎ 法二(定义法)：如图，圆C的圆心C(4,0)，半径r＝|OC|＝4，连接CM.‎ 因为M为弦ON的中点，所以CM⊥ON.‎ 故M在以OC为直径的圆上，所以动点M的轨迹方程是ρ＝4cos θ.‎ ‎10．若圆C的方程是ρ＝2asin θ，求：‎ ‎(1)关于极轴对称的圆的极坐标方程；‎ ‎(2)关于直线θ＝对称的圆的极坐标方程．‎ 解：法一：设所求圆上任意一点M的极坐标为(ρ，θ)．‎ ‎(1)点M(ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)，‎ 代入圆C的方程ρ＝2asin θ，得ρ＝2asin(－θ)，‎ 即ρ＝－2asin θ为所求．‎ ‎(2)点M(ρ，θ)关于直线θ＝对称的点为，代入圆C的方程ρ＝2asin θ，得ρ＝2asin，‎ 即ρ＝－2acos θ为所求．‎ 法二：由圆的极坐标方程ρ＝2asin θ得ρ2＝2ρasin θ，‎ 利用公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ＝，‎ 化为直角坐标方程为x2＋y2＝2ay，‎ 即x2＋(y－a)2＝a2，故圆心为C(0，a)，半径为|a|.‎ ‎(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0，－a)，‎ 圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，‎ 即x2＋y2＝－2ay，所以ρ2＝－2ρasin θ，‎ 故ρ＝－2asin θ为所求．‎ ‎(2)由θ＝得tan θ＝－1，‎ 故直线θ＝的直角坐标方程为y＝－x.‎ 圆x2＋(y－a)2＝a2关于直线y＝－x对称的圆的方程为(－y)2＋(－x－a)2＝a2，即(x＋a)2＋y2＝a2，于是x2＋y2＝－2ax，所以ρ2＝－2ρacos θ.‎ 故此圆的极坐标方程为ρ＝－2acos θ.‎