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- 2021-04-15 发布
宁夏育才中学孔德学区 2018-2019-2 高二年级月考一
数 学（理科） 试卷
(试卷满分 150 分，考试时间为 150 分钟) 命题人：
一、选择题（本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计 60 分 ）
1. 若用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则如图框图
表示的证明方法是（ ）
A.合情推理 B.综合法 C.分析法 D.反证法
2. ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知物体的运动方程为 （是时间，是位移），则物体在时刻 时的速度为（ ）
A. B. C. D.
4. 下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果 与 是两条平行直线的同旁内角，则
B.某校高三 班有 人， 班有 人， 班有 人，由此得高三所有班人数超过 人
C.由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
D.在数列 中， ， ，由此归纳出 的通项公式
5. 设函数 ，则（ ）
A. 为 的极大值点 B. 为 的极小值点
C. 为 的极大值点 D. 为 的极小值点
6. 已知函数 ，则 与 的大小关系是( )
A. B. C. D.不能确定
7. 上 可 导 函 数 图 象 如 图 所 示 ， 则 不 等 式 的 解 集 为
（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数 （为常数），在区间 上有最大值 ，那么此函数在
区间 上的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数 ，对任意 , 恒成立，则（ ）
A.函数 有最大值也有最小值 B.函数 只有最小值
C.函数 只有最大值 D.函数 没有最大值也没有最小值
10. 已知函数 的定义域为 ，部分对应值如表，
的导函数 的图象如图所示．当 时，函数 的零点的个数为（ ）
A. B. C. D.
11. 关于函数 ，则下列四个结论：
① 的解集为 ② 的极小值为 ，极大值为
③ 没有最小值，也没有最大值 ④ 没有最小值，有最大值，
其中正确结论为（ ）
A.①②④ B.①②③ C.①③ D.②④
12. 已知可导函数 的导函数为 ， ，若对任意的 ，都有 ，则不
等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ）
13. ________．
14. 有 、 、 三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条．
盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”；
盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”；
盒子上的纸条写的是“苹果不在 盒内”．如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果
究竟在哪个盒子里________．
15. 已知 ，则函数 的极小值等于________．
16. 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价为 p 元，销量 Q(单位：件)
与零售价 p(单位：元)有如下关系：
Q＝8300－170p－p2，则该商品零售价定为________元时利润最大。
三、解答题（共计 70 分）
17、已知函数 f(x)＝ 123 xxx 求其在点(1,2)处的切线与函数
g(x)＝x2 围成的图形的面积．
18、已知 a，b，c，d∈（0，＋∞）.求证 ac＋bd ≤ 2222 dcba
19、已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在 x＝－4
3
处取得极值．
(1)确定 a 的值；
(2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性．
20、已知数列{an}满足关系式 a1＝a（a>0），an＝ 2an－1
1＋an－1
（n≥2，n∈N*），
（1）用 a 表示 a2，a3，a4；
（2）猜想 an 的表达式（用 a 和 n 表示），并用数学归纳法证明你的结论.
21、．已知函数 f(x)＝ax3＋bx＋c 在点 x＝2 处取得极值 c－16.
(1)求 a，b 的值；
(2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在[－3,3]上的最小值．
22、已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝1
2
ax＋b.
(1)若 f(x)与 g(x)在 x＝1 处相切，求 g(x)的表达式；
(2)若φ(x)＝
1
)1(m
x
x －f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数 m 的取值范围．
宁夏育才中学孔德学区 2018-2019-2 高二年级月考一
数 学（理科）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D A B A A B B D A A
二、填空题
13、 14、B 15、-2 16、30
17、已知函数 f(x)＝ 求其在点(1,2)处的切线与函数 g(x)＝x2 围成的图形的面
积．
解析：∵(1,2)为曲线 f(x)＝ 上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为 k，则
k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2
∴在点(1,2)处的切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x 2 分
由
y＝x2，
y＝2x 可得交点 A(2,4)． 4 分
∴y＝2x 与函数 g(x)＝x2 围成的图形的面积
7 分
S＝ ＝
1
x3
2
0＝4－
8
3＝
4
3 10 分
18、已知 a，b，c，d∈（0，＋∞）.
求证 ac＋bd≤.
证明：方法一：（分析法）
欲证 ac＋bd≤，
只需证（ac＋bd）2≤（a2＋b2）（c2＋d2），
即证 a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2，
即证 2abcd≤a2d2＋b2c2，即证 0≤（bc－ad）2，
而 a，b，c，d∈（0，＋∞），0≤（bc－ad）2 显然成立，
故原不等式成立.
方法二：（综合法）
（a2＋b2）（c2＋d2）＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2≥a2c2＋b2d2＋2abcd＝（ac＋bd）2，
所以≥ac＋bd.
19、已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在 x＝－
4
3处取得极值．
(1)确定 a 的值；
(2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性．
[解] (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x， 2 分
因为 f(x)在 x＝－
4
3处取得极值，
所以 f′
4
3＝0，即 3a·
16
9 ＋2·
4
3＝
16a
3 －
8
3＝0，解得 a＝
1
2. 5 分
(2)由(1)得 g(x)＝
1
x3＋x2ex，
故 g′(x)＝
3
x2＋2xex＋
1
x3＋x2ex
＝
5
x2＋2xex
＝
1
2x(x＋1)(x＋4)ex. 8 分
令 g′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝－1 或 x＝－4.
当 x<－4 时， g′(x)<0，故 g(x)为减函数；
当－40，故 g(x)为增函数；
当－10 时，g′(x)>0，故 g(x)为增函数．
综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.
12 分
20、已知数列{an}满足关系式 a1＝a（a>0），an＝
2an－1
1＋an－1（n≥2，n∈N*），
（1）用 a 表示 a2，a3，a4；
（2）猜想 an 的表达式（用 a 和 n 表示），并用数学归纳法证明你的结论.
解：（1）a2＝
2a
1＋a，
a3＝
2a2
1＋a2＝
2a
1＋a＝
4a
1＋3a，
a4＝
2a3
1＋a3＝
4a
1＋3a＝
8a
1＋7a. 3 分
（2）因为 a1＝a＝
20a
1＋（20－1）a，
a2＝
21a
1＋（21－1）a，…，
猜想 an＝
2n－1a
1＋（2n－1－1）a. 6 分
下面用数学归纳法证明：
①当 n＝1 时，
因为 a1＝a＝
20a
1＋（20－1）a，所以当 n＝1 时结论正确.
②假设当 n＝k（k≥1，k∈N*）时结论正确，
即 ak＝
2k－1a
1＋（2k－1－1）a，所以当 n＝k＋1 时，
ak＋1＝
2ak
1＋ak＝
2k－1a
1＋（2k－1－1）a
＝
2ka
1＋（2k－1－1）a＋2k－1a
＝
2ka
1＋2×2k－1a－a＝
2（k＋1）－1a
1＋[2（k＋1）－1－1]a，
所以当 n＝k＋1 时结论也正确.
根据①与②可知命题对一切 n∈N*都正确. 12 分
21、已知函数 f(x)＝ax3＋bx＋c 在点 x＝2 处取得极值 c－16.
(1)求 a，b 的值；
(2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解] (1)因为 f(x)＝ax3＋bx＋c，
故 f′(x)＝3ax2＋b. 2 分
由于 f(x)在点 x＝2 处取得极值 c－16，
故有
f′(2)＝0，
f(2)＝c－16，即
12a＋b＝0，
8a＋2b＋c＝c－16，
化简得
12a＋b＝0，
4a＋b＝－8，解得
a＝1，
b＝－12. 5 分
(2)由(1)知 f(x)＝x3－12x＋c，
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝2.
当 x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，
故 f(x)在(－∞，－2)上为增函数； 7 分
当 x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，
故 f(x)在(－2,2)上为减函数； 8 分
当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，
故 f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，
f(－2)＝16＋c，
f(x)在 x＝2 处取得极小值 f(2)＝c－16.
由题设条件知 16＋c＝28，解得 c＝12. 10 分
此时 f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，
f(2)＝－16＋c＝－4，
因此 f(x)在[－3,3]上的最小值为 f(2)＝－4.12 分
22、已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝
1
2ax＋b.
(1)若 f(x)与 g(x)在 x＝1 处相切，求 g(x)的表达式；
(2)若φ(x)＝
m(x－1)
x＋1 －f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数 m 的取值范围．
[解] (1)由已知得 f′(x)＝
1
x，∴f′(1)＝1＝
1
2a，a＝2.
又∵g(1)＝0＝
1
2a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1. 5 分
(2)∵φ(x)＝
m(x－1)
x＋1 －f(x)＝
m(x－1)
x＋1 －ln x 在[1，＋∞)上是减函数，
∴φ′(x)＝
－x2＋(2m－2)x－1
x(x＋1)2 ≤0 在[1，＋∞)上恒成立，
即 x2－(2m－2)x＋1≥0 在[1，＋∞)上恒成立，
则 2m－2≤x＋
1
x，x∈[1，＋∞). 9 分
∵x＋
1
x∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.
故实数 m 的取值范围是(－∞，2]. 12 分