2018-2019学年广东省广州市执信中学高一上学期期末数学试题（解析版） 16页

‎2018-2019学年广东省广州市执信中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．sin（﹣300°）的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据诱导公式转化成特殊角三角函数值解之．‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式及特殊角三角函数值，可按照“负角化正角，大角化小角”的原则化简求值．‎ ‎2．设a＝30.1，b＝lg5﹣lg2，，则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c ‎【答案】D ‎【解析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3．已知函数f（x），则下列结论正确的是（ ）‎ A．f（x）是周期函数 B．f（x）是奇函数 C．f（x）在（0，+∞）是增函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据分段函数的表达式即可判断函数的性质，注意运用定义和常见函数的性质．‎ ‎【详解】‎ 当时，函数具备周期性，当时，函数单调递减，函数不具备周期性，故A错误；‎ 若，，则，且，即函数为非奇非偶函数，故B错误；‎ 当时，函数单调递减，故C错误；‎ 当时，，当时，时，，时，，‎ 综上，，即的值域为，故D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的性质：奇偶性和单调性、周期性及函数的值域，属于基础题．‎ ‎4．函数y＝cos2α﹣sinα+1的值域是（ ）‎ A． B．[0，2] C． D．R ‎【答案】A ‎【解析】令，则函数化成，其中，然后根据二次函数在闭区间上的最值，即可求出函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，；当时，，‎ 因此，函数的值域是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出含有三角函数式的“类二次”函数，求函数的值域，着重考查了三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题．‎ ‎5．已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为（ ）‎ A． B．3 C．或3 D．1或 ‎【答案】B ‎【解析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再判断m是否满足条件．‎ ‎【详解】‎ 幂函数y=在（0，+∞）单调递增，‎ ‎∴m2﹣2m﹣2=1，‎ 解得m=3或m=﹣1；‎ 又m2+m﹣1＞0，‎ ‎∴m=3时满足条件，‎ 则实数m的值为3．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．‎ ‎6．函数如何平移可以得到函数图象（ ）‎ A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 ‎【答案】D ‎【解析】因为所以是由向右平移个单位得到的。‎ 故本题正确答案为 ‎7．已知向量与的夹角为120°，（1，0），||＝2，则||＝（ ）‎ A． B．2 C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，再利用即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由，得，‎ 又向量与向量的夹角为，，‎ ‎，‎ ‎，即.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的数量积运算，和向量的模的求法，属于基础题．‎ ‎8．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中，且三点共线，则下列结论不成立的是（ ）‎ A． B．‎ C．与共线 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB= m，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，,‎ 故A、B、C成立；而，， 即不成立，故选D.‎ ‎9．已知函数(且)，若，则在同一坐标系内的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：恒成立，又，所以，‎ ‎，．‎ 所以函数在上单调递减，函数在上也单调性递减，故B正确．‎ ‎【考点】指数函数，对数函数的图像，单调性．‎ ‎【思路点睛】本题主要考查指数函数，对数函数的图像和单调性，难度一般．根据指数函数值大于0可得，由对数的单调性可得底数的范围．由底数可判断指数函数的单调性和对数函数的单调性．因为为偶函数图像关于轴对称，所以只需判断在上的单调性即可，从而可选出正确选项．‎ ‎10．如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，，连接交于点，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，则：‎ ‎∵三点M，N，P共线。‎ ‎∴，‎ 解得：‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．‎ ‎(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ ‎11．若函数，在区间[，]上单调，则ω的最大值为（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用函数在区间上单调，求得周期的取值范围，进而利用不等关系即可求出的范围，从而得到的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由函数在区间上单调，‎ 所以，即，所以，故，‎ 所以的最大值是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数的单调性，考查计算能力和分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎12．已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（　　）‎ A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1） D．[﹣1，1）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由方程f（x）＝a，得到x1，x2关于x＝﹣1对称，且x3x4＝1；化简，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 作函数f（x）的图象如图所示，∵方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，‎ ‎∴x1，x2关于x＝﹣1对称，即x1+x2＝﹣2，0＜x3＜1＜x4，则|log2x3|＝|log2x4|，‎ 即﹣log2x3＝log2x4，则log2x3+log2x4＝0，即log2x3x4＝0，则x3x4＝1；‎ 当|log2x|＝1得x＝2或，则1＜x4≤2；≤x3＜1；‎ 故；‎ 则函数y＝﹣2x3+，在≤x3＜1上为减函数，则故当x3＝取得y取最大值y＝1，‎ 当x3＝1时，函数值y=﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题首先可以通过分式的分母不能为以及根式的被开方数大于等于来列出不等式组，然后通过计算得出结果。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，解得或者，‎ 故定义域为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域的相关性质，主要考查函数定义域的判断，考查计算能力，考查方程思想，是简单题。‎ ‎14．函数y＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为_____．‎ ‎【答案】y＝2sin（2x）．‎ ‎【解析】根据图象先求出，然后利用五点对应法进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由图象知，由五点对应法得，解得，‎ 即函数的解析式为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数解析式的求解，结合五点对应法是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎15．构造一个周期为π，值域为[，]，在[0，]上是减函数的偶函数f（x ‎）＝_____．‎ ‎【答案】cos2x+1．‎ ‎【解析】设，则由周期求得，再由，，可得的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设，则，所以，‎ 再由，且，可得，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的部分图象求解析式，属于基础题.‎ ‎16．如图，O为直线外一点，若、、、、…、中任意相邻两点的距离相等，设，，用、表示________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设为线段的中点,利用平行四边形法则求出，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设为线段的中点，则也为线段，的中点 由平行四边形法则可知 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的运算性质，利用平行四边形法则求解是解题的关键,属于中档题.‎ ‎17．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时.‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】由题意得：，所以时，.‎ ‎【考点】函数及其应用.‎ 三、解答题 ‎18．已知，且sinα+cosα．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得和的值，进而可得的值，从而求得；‎ ‎（2）由题意利用二倍角公式，即可得到要求的式子的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵已知，且sinα+cosα，平方可得2sinαcosα，‎ ‎∴sinα﹣cosα，解得sinα，cosα，‎ ‎∴tanα，故7．‎ ‎（2）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的正切公式的应用，属于基础题．‎ ‎19．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.‎ 详解：解：（1）因为，，所以．‎ 因为，所以，‎ 因此，．‎ ‎（2）因为为锐角，所以．‎ 又因为，所以，‎ 因此．‎ 因为，所以，‎ 因此，．‎ 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎20．已知函数f（x）sinωx•cosωx+sin2ωx．‎ ‎（1）若函数f（x）的图象关于直线x对称，且ω∈（0，2]，求函数f（x）单调增区间；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当x∈[0，]时，用五点作图法画出函数f（x）的图象．‎ ‎【答案】（1）函数的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z（2）作图见解析 ‎【解析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合函数的对称性求出的值，结合函数的单调性求解即可；‎ ‎（2）当时，利用五点法进行列表，然后作出图象即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f（x）sinωx•cosωx+sin2ωxsin2ωxcos2ωx＝sin（2ωx），‎ ‎∵函数f（x）的图象关于直线x对称，‎ ‎∴2ωkπ，k∈Z，‎ 得ω＝1k，k∈Z，‎ ‎∵ω∈（0，2]，‎ ‎∴当k＝0时，ω＝1，‎ 即f（x）＝sin（2x），‎ 由2kπ2x2kπ，k∈Z 得kπx≤kπ，k∈Z 即函数的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．‎ ‎（2）在（1）的条件下f（x）＝sin（2x），‎ 当x∈[0，]时，列表如下：‎ x ‎0‎ ‎2x ‎0‎ π f（x）‎ ‎0‎ 对应的图象如图：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式结合函数的单调性的性质以及利用五点法是解决本题的关键，考查学生的运算和转化能力，属于中档题．‎ ‎21．如图，在△ABC的边上做匀速运动的点D，E，F，当t＝0时分别从点A，B，C出发，各以定速度向点B，C，A前进，当t＝1时分别到达点B，C，A．‎ ‎（1）证明：在运动过程中，△DEF的重心保持不变；‎ ‎（2）若△ABC的面积为S，求△DEF的面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）解题的关键是得出同一时刻，、、分、、所成的比相同，进而设出坐标验证即可；‎ ‎（2）易知，，进而表示出 ‎，由二次函数的图象以及性质即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），△DEF的重心O（x0，y0），‎ 由题意，在同一时刻t，D、E、F分所成的比相同，设为λ，则，‎ 由定比分点坐标公式可得，D（txB+（1﹣t）xA，tyB+（1﹣t）yA），E（txC+（1﹣t）xB，tyC+（1﹣t）yB），F（txA+（1﹣t）xC，tyA+（1﹣t）yC），‎ 由三角形重心坐标公式有，，，‎ 把D、E、F的坐标代入x0，y0中，求得△DEF的重心坐标为，它与t无关，即在运动过程中，△DEF的重心保持不变；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴S△DFA：SABC＝（AD•AF）：（AB•AC）＝t（1﹣t），即S△DFA＝t（1﹣t）S，‎ 同理，S△EFC＝S△DEB＝t（1﹣t）S，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，S△DEF的面积取得最小值．‎ ‎22．对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a﹣x）＝b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．‎ ‎（1）判断函数f1（x）＝x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；‎ ‎（2）若函数f2（x）＝4x是“（a，b）型函数”，求出满足条件的一组实数对（a，b）；，‎ ‎（3）已知函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4）．当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣m（x﹣1）+1（m＞2），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4，试求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）f1（x）＝x不是“（a，b）型函数”，详见解析（2）满足条件的一组实数对（a，b）为（1，16）（3）2＜m≤3‎ ‎【解析】（1）根据是“型函数”的定义，判断中是否存在实数对 ‎，使得等式对定义域中的每一个都成立，即可得到答案；‎ ‎（2）根据函数是“型函数”，即可得到对定义域中的每一个都成立，即得，从而可以确定一组实数对，即可得到答案；‎ ‎（3）根据函数是“型函数”，对应的实数对为，可以得到，确定的对称轴为，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分别求出在和上的值域，列出不等式组，求解即可得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f1（x）＝x不是“（a，b）型函数”，‎ ‎∵f1（x）＝x，‎ ‎∴f1（a+x）＝a+x，f1（a﹣x）＝a﹣x，‎ ‎∴f1（a+x）•f1（a﹣x）＝（a+x）（a﹣x）＝b，‎ 即a2﹣x2＝b，‎ ‎∴不存在实数对（a，b）使得a2﹣x2＝b对定义域中的每一个x都成立，‎ ‎∴f1（x）＝x不是“（a，b）型函数”；‎ ‎（2）∵函数f2（x）＝4x是“（a，b）型函数”，‎ ‎∴4a+x•4a﹣x＝b，‎ ‎∴16a＝b，‎ ‎∴存在实数对，如a＝1，b＝16，使得f1（a+x）•f1（a﹣x）＝b对任意的x∈R都成立；‎ ‎∴满足条件的一组实数对（a，b）为（1，16）；‎ ‎（3）∵函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4），‎ ‎∴g（1+x）g（1﹣x）＝4，‎ ‎∴当x∈[1，2]时，g（x），其中2﹣x∈[0，1]，‎ 又∵x∈[0，1]时，g（x）＝x2+m（1﹣x）+1＝x2﹣mx+m+1，其对称轴方程为x，‎ 当m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，‎ ‎∴g（x）在[0，2]上的值域为[，m+1]，‎ 由题意，得，∴2＜m≤3；‎ ‎∴所求m的取值范围是2＜m≤3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数与方程的综合应用，函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化，解题的关键是将方程问题转化成函数的问题进行求解，属于中档题．‎