- 316.18 KB
- 2021-04-15 发布
— 文科数学（摸底）第 1页(共 8 页) —
2020 届高三摸底测试卷
文科数学
本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分. 考试时间 120 分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．
3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改
动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一．选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．已知集合 3{ | 0}, { | 2 }1
xM x N x y xx
，则 ( )M N R Ið
A. (1,2] B. [1,2] C. (2,3] D. [2,3]
2．复数 z 满足1 i 1 iz
，则| |z
A. 2i B. 2 C.i D.1
3．已知平面 内一条直线l 及平面 ，则“l ”是“ ”的
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4．如图是某光纤电缆的截面图，其构成为七个大小相同的小圆
外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，恰好
在小圆内的概率为
A. 7
9 B. 7
8 C. 2π
7 D. 7π
27
5．已知一组样本数据点 1 1 2 2 3 3 6 6( , ),( , ),( , ), ,( , )x y x y x y x y ，用最小二乘法求得其线性回归方程
为 2 4y x .若 1 2 3 6, , , ,x x x x 的平均数为1，则 1 2 3 6y y y y
A.10 B.12 C.13 D.14
6．公比不为1的等比数列{ }na 中，若 1 5 m na a a a ，则 mn 不可能．．．为
A.5 B. 6 C.8 D.9
— 文科数学（摸底）第 2页(共 8 页) —
7．已知二元一次不等式组
2 0,
2 0
2 2 0
x y
x y
x y
表示的平面区域为 D ，命题 p ：点 (0,1) 在区域 D 内；
命题 q ：点 (1,1) 在区域 D 内. 则下列命题中，真命题是
A. p q B. ( )p q C. ( )p q D. ( ) ( )p q
8．已知 ABC 中， 4, 3AB AC ，
3A ， BC 的中点为 M ，则 AM AB 等于
A.15
2 B.11 C.12 D.15
9．已知圆 2 2: 10 21 0C x y y 与双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的渐近线相切，则该双曲
线的离心率是
A. 2 B. 5
3 C. 5
2 D. 5
10．已知正实数 ,a b 满足 2
1( ) log2
a a ， 2
1( ) log3
b b ，则
A. 1a b B.1 b a C. 1b a D.1 a b
11．自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合
表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制．二进制以 2 为基数，只用 0 和1两个数
表示数，逢 2 进1，二进制数与十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如 10(521)
9 8 7 61 2 0 2 0 2 0 2 5 4 3 2 1 00 2 0 2 1 2 0 2 0 2 1 2 2(1000001001) ．
我国数学史上，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘
法口决： 8 8(7 7) (61) ， 8 8(7 6) (52) ， 8 8(7 5) (43) ，，则八进制下 8(6 5) 等于
A. 8(36) B. 8(37) C. 8(40) D. 8(41)
12．若函数 ( ) ( 1)e xf x x ax （ e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 a 的取值范围是
A. 1( ,0)e
B. ( ,0) C. 1( , )e
D. (0, )
二．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.
13．已知 1sin 5
，则 cos2 等于 ．
14．已知定义在 R 上的偶函数 ( )f x 满足 (2 ) ( ) 0f x f x ， (0) 3f ，则 (10)f 等于 ．
15．已知一个圆锥的轴截面是斜边长为 2 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 ．
16．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 33 nn Sa ，若对于任意 MSSNnm nm ,, 恒成立，
则实数 M 的最小值为_______．
— 文科数学（摸底）第 3页(共 8 页) —
三．解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17 21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17．(12 分)已知锐角 ABC 的内角 , ,A B C 的所对边分别为 , ,a b c ，其中 2 3c ，
2sin(2 ) 33C .
（Ⅰ）若 2 2a ，求角 A ；
（Ⅱ）求 ABC 面积的最大值．
— 文科数学（摸底）第 4页(共 8 页) —
18．(12 分)如图，已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，AB AC ， 1 2AB AC AA ，E 是 BC
的中点， F 是 1A E 上一点，且 1 2A F FE .
（Ⅰ）证明： AF 平面 1A BC ；
（Ⅱ）求三棱锥 1 1C A FC 的体积．
— 文科数学（摸底）第 5页(共 8 页) —
19．(12 分)某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一
等奖学金、专业二等奖学金及专业三等奖学金，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.
图（1）是统计了该校 2018 年500 名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这500
名学生在 2018 年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图．
（Ⅰ）求这500 名学生中获得专业三等奖学金的人数；
（Ⅱ）若周课外平均学习时间超过 35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列
2 2 联表并判断是否有 99.9% 的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”
学生有关？
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
0P k k 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
0k 2.71 3.84 6.64 7.88 10.83
— 文科数学（摸底）第 6页(共 8 页) —
20．(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 1,2 , 1,0Q F ，动点 P 满足| | | |PQ OF PF .
（Ⅰ）求动点 P 的轨迹 E 的方程；
（Ⅱ）过点 F 的直线与 E 交于 ,A B 两点，记直线 ,QA QB 的斜率分别为 1 2,k k ，求证： 1 2k k 为
定值．
— 文科数学（摸底）第 7页(共 8 页) —
21．(12 分)已知函数 ( ) exf x x a （ Ra ， e 为自然对数的底数）， 21( ) ( 1)2g x x ．
（Ⅰ）若直线 1y x 是函数 ( )f x 图像的一条切线，求 a 的值；
（Ⅱ）对于任意 3( , )2x ， ( ) ( )f x g x 恒成立，求 a 的取值范围．
— 文科数学（摸底）第 8页(共 8 页) —
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程] (10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2cos ,
2sin
x
y
（ [0,2 ), 为参数），在同一平面
直角坐标系中，经过伸缩变换 ' 2 ,
'
x x
y y
得到曲线 1C ，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系（ 为极径， 为极角）．
（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程和曲线 1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线 : 0OA 与曲线 1C 交于点 A ，射线 : 02OB 与曲线 1C 交
于点 B ，求 2 2
1 1
OA OB
的值．
23．[选修 4—5：不等式选讲] (10 分)
已知函数
2 1( ) | | | 1| ( 0)af x x x aa
， ( ) 4 | 1|g x x ．
（Ⅰ）当 1a 时，求不等式 3f x 的解集；
（Ⅱ）若关于 x 的不等式 ( ) ( )f x g x 的解集包含 1,2 ，求 a 的取值集合．