【数学】2020届一轮复习人教B版随机事件的概率、古典概型、几何概型作业 4页

一、 选择题 ‎1.(2018·全国卷II高考理科·T8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【命题意图】本题考查了概率的有关概念以及数学建模能力.‎ ‎【解析】选C.不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,其中和为30的有7+23,11+19,13+17.所以随机选取两个数,和为30的概率为=.‎ ‎2.(2018·全国卷II高考文科·T5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为 (　　)‎ A.0.6 ‎‎ ‎B.‎0.5 ‎ C.0.4 D.0.3‎ ‎【命题意图】本题考查古典概型的有关知识,难度较小.‎ ‎【解析】选D.用1,2代表两名男同学,A,B,C代表三名女同学,则选中的两人可以为12,‎1A,1B,‎1C,‎2A,2B,‎2C,AB,AC,BC共10种,全是女同学有AB,AC,BC共3种,‎ 所以概率P==0.3.‎ ‎3.(2018·全国Ⅲ高考文科·T5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 (　　)‎ A.0.3 ‎B.‎0.4 ‎ C.0.6 D.0.7‎ ‎【命题意图】考查统计与概率知识中的事件的运算,意在考查对立事件、概率的加法公式,培养学生的实际应用能力、逻辑推理能力,‎ 体现了数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析的数学素养.‎ ‎【解析】选B.方法一:画Venn图,如图 设只用非现金支付(不用现金支付)的概率为x,则0.45+0.15+x=1,解得x=0.4,‎ 所以不用现金支付的概率为0.4.‎ 方法二:记“用现金支付”为事件A,“用非现金支付”为事件B,则“只用非现金支付(不用现金支付)”为事件B-(A∩B),‎ 由已知,P(A)=0.45+0.15=0.6,P(A∩B)=0.15,‎ 又P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.6+P(B)-0.15=1,所以P(B)=0.55,‎ P(B-(A∩B))=P(B)-P(A∩B)=0.55-0.15=0.4.‎ ‎4.(2018·全国卷I高考理科·T10)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC,△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则 (　　)‎ A.p1=p2 B.p1=p‎3 ‎ C.p2=p3 D.p1=p2+p3‎ ‎【解析】选A.方法一:取AB=AC=2,则BC=2,‎ 所以区域Ⅰ的面积为SⅠ=×2×2=2,区域Ⅲ的面积为SⅢ=·π()2-2=π-2,区域Ⅱ的面积为SⅡ=π·12-SⅢ=2,故p1=p2.‎ 方法二:设AC=b,AB=c,BC=a,则有b2+c2=a2,‎ 从而可以求得△ABC的面积为SⅠ=bc,‎ 黑色部分的面积为SⅡ=·+·-‎ ‎=+bc ‎=·+bc=bc,‎ 其余部分的面积为SⅢ=·-bc=-bc,‎ 所以有SⅠ=SⅡ,根据面积型几何概型的概率公式,可以得到p1=p2.‎ 二、填空题 ‎5.(2018·江苏高考·T6)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为　　　　. ‎ ‎【解析】假设3名女生为a,b,c,2名男生为d,e,恰好选中2名女生的情况有:选a和b;a和c;b和c三种,总情况有a和b;a和c;a和d;a和e;b和c;b和d;b和e;c和d;c和e;d和e这10种.两者相比即为答案.‎ 答案:‎ 三、解答题 ‎6.(本小题满分13分)(2018·天津高考文科·T15)‎ 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.‎ ‎(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?‎ ‎(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.‎ ‎(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;‎ ‎(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.‎ ‎【命题意图】‎ 本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.‎ ‎【解题指南】(Ⅰ)利用分层抽样原则,直接求解;(Ⅱ)(i)依据题设条件逐个列举;(ii)利用古典概型的概率公式,结合题设条件求解.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.‎ ‎(Ⅱ)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,‎ G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.‎ ‎(ii)由(Ⅰ),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.‎ 所以,事件M发生的概率为P(M)=.‎