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- 2021-04-15 发布
专题04 函数及其表示
【高频考点解读】
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数
3．了解简单的分段函数，并能简单应用
【热点题型】
热点题型一 求函数的定义域
例1、 (1)函数f(x)＝的定义域为( )
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
答案：（1）C（2） B
【提分秘籍】
1．求函数定义域的类型及方法
(1)已知函数的解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解。
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解。
(3)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域。
2．求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化。
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集。
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接。
【举一反三】
若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为__________。
解析：由题意，得2－1≥0对x∈R恒成立。
即2≥20对x∈R恒成立。
亦即x2＋2ax－a≥0对x∈R恒成立。
故Δ＝4a2＋4a≤0，得－1≤a≤0。
所以，a的取值范围是[－1,0]。
答案：[－1,0]
热点题型二 求函数的值域
例2、求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝x－；
(3)y＝＋(x＞1)；(4)y＝。
解析：(1)解法一：y＝1－，
∵x2＋1≥1，∴0＜≤1，
∴－2≤－＜0，∴y∈[－1,1)。
解法二：由y＝可得x2＝－，
∵x2≥0，∴≤0，∴y∈[－1,1)。
(4)∵＝∈，
∴y∈[2，＋∞)。
【提分秘籍】 求函数值域的基本方法
(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域。
(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域。
(3)换元法：形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋的函数用三角函数代换求值域。
(4)分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数可用此法求值域。
(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域。
(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
【举一反三】
求下列函数的值域：
(1)y＝； (2)y＝；
(3)y＝x＋4；(4)y＝(x＞1)。
解析：(1)y＝＝3＋≠3，
值域为{y|y≠3}。
(2)y＝，
∵2(x－1)2＋1≥1，∴y∈(0,5]。
(3)令＝t≥0，∴y＝－t2＋4t＋1，
∵t≥0，∴y∈(－∞，5]。
(4)令x－1＝t＞0，x2＝t2＋2t＋1，
∴y＝t＋＋2≥4，当且仅当t＝1时取等号。
∴y∈[4，＋∞)。
热点题型三 求函数的解析式
例3．(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝lgx，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式。
解析：(1)由于f＝x2＋＝2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2，或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)。
(2)令＋1＝t得x＝，
代入得f(t)＝lg，又x＞0，所以t＞1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x＞1)。
(3)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17。
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
因此应有解得
故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7。
(4)∵2f(x)＋f＝3x，①
∴将x用替换，得2f＋f(x)＝，②
由①②解得f(x)＝2x－(x≠0)，
即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)。
【提分秘籍】求函数解析式的常用方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。
【举一反三】
已知函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝，则f(x)＝________。
热点题型四 分段函数及其应用
例4、 (1)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为__________。
(2)已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是________。
答案：（1）－ （2）(－1，－1)
解析：(1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1。
此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a。
由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，
解得a＝－。不合题意，舍去。
当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，
此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a。
由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，
解得a＝－。综上可知，a的值为－。
(2)画出f(x)＝的图象，如图。由图象可知，若f(1－x2)＞f(2x)，则
即得x∈(－1，－1)。
【提分秘籍】解决分段函数求值问题的策略
(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。
(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。
(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。
【举一反三】
已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于( )
A. B. C．2 D．9
解析：f(x)＝
∵0＜1，∴f(0)＝20＋1＝2。
∵f(0)＝2≥1，∴f(f(0))＝22＋2a＝4a，
∴a＝2。
答案：C
【高考风向标】
【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= （ ）
（A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2
【答案】D
【解析】当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.
【2016高考江苏卷】函数y=的定义域是 ▲ .
【答案】
【解析】要使函数有意义，必须，即，．故答案应填：，
【2015高考浙江，理7】存在函数满足，对任意都有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D.
（2014·安徽卷）设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝( )
A. B.
C．0 D．－
【答案】A
【解析】由已知可得，f＝f＋sin＝f＋sin＋sin ＝f＋sin＋sin＋sin＝2sin ＋sin＝sin＝.
（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
【答案】A
【解析】由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.
（2014·福建卷）已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
【答案】D
（2014·江西卷）函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0，1] B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
【答案】C
【解析】由x2－x>0，得x>1或x<0.
（2014·山东卷）函数f(x)＝的定义域为( )
A. B．(2，＋∞)
C. ∪(2，＋∞) D. ∪[2，＋∞)
【答案】C
【解析】根据题意得，解得故选C.
【高考冲刺】
1．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B
的函数的是( )
解析：对于B，C两图可以找到一个x与两个y对应的情形，对于A图，当x＝2时，在B中找不到与之对应的元素．
答案：D
2．已知a，b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，若f是M到N的映射，f(x)＝x，则a＋b的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
解析：由f(x)＝x，知f(1)＝a＝1.
∴f()＝f(b)＝0，∴b＝0.
∴a＋b＝1＋0＝1.
答案：C
3．图中的图象所表示的函数的解析式为( )
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
解析：当x∈[0,1]时，y＝x＝－(1－x)＝－|x－1|；当x∈[1,2]时，y＝(x－2)＝－x＋3＝－(x－1)＝－|x－1|.因此，图中所示的图象所表示的函数的解析式为y＝－|x－1|.
答案：B
4．函数y＝的定义域为( )
A．{x|x≥1} B．{x|x≥1或x＝0}
C．{x|x≥0} D．{x|x＝0}
解析：由题意得|x|(x－1)≥0，∴x－1≥0或|x|＝0.
∴x≥1或x＝0.
答案：B
5．设函数f(x)＝－，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0} B．{－1,0}
C．{－1,0,1} D．{－2,0}
解析：∵f(x)＝1－－＝－，
又2x>0，∴－0且a≠1)，那么函数f(x)＝[g(x)－]＋[g(－x)－]的值域为( )
A．{－1,0,1} B．{0,1}
C．{1，－1} D．{－1,0}
解析：∵g(x)＝，
∴0时，f＝－3b－b＝－4b，
即－4b＝4，得到b＝<，舍去。
综上，b＝。故选D。
答案 D
18．设函数f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________。
【解析】 因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，则a的取值范围为(－∞，2]。
【答案】 (－∞，2]
19．设集合A＝{x|x∈N，且1≤x≤26}，B＝{a，b，c，…，z}，对应关系f：A→B如下表(即1到26按由小到大顺序排列的自然数与按照字母表顺序排列的26个英文小写字母之间的一一对应)：
x
1
2
3
4
5
…
25
26
f(x)
a
b
c
d
e
…
y
z
又知函数g(x)＝
若f[g(x1)]，f[g(20)]，f[g(x2)]，f[g(9)]所表示的字母依次排列恰好组成的英文单词为“exam”，求x1＋x2的值．
解：由题设知f[g(x1)]＝e，f[g(x2)]＝a，所以g(x1)＝5，g(x2)＝1.由log2(32－x)＝5，得x＝0(舍去)；由log2(32－x)＝1，得x＝30；由x＋4＝5，得x＝1；由x＋4＝1，得x＝－3(舍去)．所以x1＋x2＝1＋30＝31.
20．已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6，x∈R.
(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求实数a的值；
(2)若函数的值域为非负数集，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域．
解：f(x)＝x2－4ax＋2a＋6＝(x－2a)2＋2a＋6－4a2.
(1)∵函数值域为[0，＋∞)，∴2a＋6－4a2＝0.
解得a＝－1或a＝.
(2)∵函数值域为非负数集，∴2a＋6－4a2≥0.
即2a2－a－3≤0，解得－1≤a≤.
∴f(a)＝2－a|a＋3|＝2－a(a＋3)＝－(a＋)2＋.
∴f(a)在[－1，]上单调递减．
∴－≤f(a)≤4.即f(a)值域为[－，4]．