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- 2021-04-15 发布
河南省信阳高级中学2017-2018学年高二下学期开学考试
理数试题
命题人：孙莉 审题人：熊成兵
一、选择题
1．若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2．命题，命题函数在上有零点，则是的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3．已知，则的终边经过点（ ）
A. B. C. D.
4．在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为，b，c，若，且b2=c，则的值为 ( )
A. B. C. 2 D. 4
5．已知F1、F2是双曲线M： 的焦点， 是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，设|PF1|·|PF2| = n，则（ ）
A. n = 12 B. n = 24 C. n = 36 D. 且且
6．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 015(x)等于( )
A. sin x B. －sin x C. cosx D. －cosx
7．是所在平面上的一点，满足，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8．已知定义在上的函数是奇函数且满足， ，数列满足（其中为的前项和），则（ ）
A. B. C. D.
9．设定义在上的函数的导函数为，且满足， ，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
10．已知抛物线： 的焦点为，过点分别作两条直线， ，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（ ）
A. 16 B. 20 C. 24 D. 32
11．设等差数列的前项和为，已知， ，则下列选项正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
12．已知曲线y＝x2+1在点P处的切线为l，若l也与函数的图象相切，则x0满足( ) （其中）
A. B. C. D.
二、填空题
13．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________.
14．已知， 满足约束条件则目标函数的最小值为__________．
15．如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°°，∠BCD=90°°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为__________．
16．若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.
三、计算题
17．（本小题10分）
设命题不等式的解集是；命题不等式的解集是,若“或”为真命题,试求实数的取值范围.
[]
18．（本小题12分）
如图，四面体中，分别是的中点，
（1）求证：平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．（本小题12分）
在中，角A,B,C所对应的边分别为,b，c且.
（1）求角A和角B的大小；
（2）若，将函数的图象向右平移个单位后又向上平移了个单位，得到函数的图象，求函数的解析式及单调递减区间.
20．（本小题12分）
已知正项等比数列{an}(n∈N)，首项a1＝3，前n项和为Sn，且S3＋a3、S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{nan}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．
21．（本小题12分）
已知点，圆，点是圆上一动点， 的垂直平分线与交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，过点且斜率不为0的直线与交于两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求面积的最大值.
22．（本小题12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，记函数的极小值为，若恒成立，求满足条件的最小整数.
参考答案
1．C 2．C 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A
【解析】由， 可得： ，构造函数，显然函数是奇函数且为增函数，所以， ，又所以所以，故
12．D
【解析】设，所以切线的方程为，整理为： ，同时直线也是函数的切线，设切点为
，所以切线方程为 ，整理为 ，直线方程是同一方程，那么 ， ，整理为 ，即 ，设 ， ，所以函数在是单调递增， ， ， ， ，即 ，所以 ，故选D.
13．
14．
15．
【解析】以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为．
依题意得CD⊥平面ABC，故球心到截面的距离为，
则球的半径为，所以球的体积为．
16．
【解析】， ，设 ，设 ，那么 ， 恒成立，所以是单调递减函数，当时， ，当时， ，函数单调递增，当 ， ，函数单调递减，所以 在时，取得最大值， ，即 ，解得： 或 ，写出区间为 ，故填： .
17．.
试题解析：由得,由题意得.∴命题p: .由的解集是,得无解,即对,
恒成立,∴,得.∴命题q: .
由“p或q”为真命题,得p、q中至少有一个真命题.
当p、q均为假命题,则,而.
∴实数a的值取值范围是.
18．（1）见解析（2）
解析：（1）证明：连结，因为分别是的中点，所以，又平面， 平面，所以平面.
（2）法一：连接，因为， ，所以，同理，又，而，所以，所以 ，又因为 ，所以 平面 .
以分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，则 .设平面的法向量，由， 则有，令，得 .又因为,所以，故直线与平面所成角的正弦值为： .
法二：设到平面的距离为，由,有，得 ，故直线与平面所成角的正弦值为：
19．（1）；（2），.
试题解析：（1）中，因为，
所以，所以，
因为，所以，所以，
即，即，所以，
综上可得.
（2）因为，所以，所以，
令，
故函数的单调递减区间为.
20．(1)an＝3×()n－1.(2)9.
试题解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，
∵S3＋a3、S5＋a5、S4＋a4成等差数列，
∴有2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4)
即2(a1＋a2＋a3＋a4＋2a5)＝(a1＋a2＋2a3)＋(a1＋a2＋a3＋2a4)，[]
化简得4a5＝a3，从而4q2＝1，解得q＝±，
∵an＞0，∴q＝，得an＝3×()n－1.
(2)由(1)知，nan＝3n×()n－1，Tn＝3×1＋3×2×()＋3×3×()2＋…＋3n()n－1;
Tn＝3×1×()＋3×2×()2＋…＋3(n－1)×()n－1＋3n()n
两式相减得：Tn＝3×1＋3×()＋3×()2＋…＋3×()n－1－3n()n
＝3×－3n()n＝6－，
∴Tn＝12－＜12.
又nan＝3n×()n－1＞0，∴{Tn}单调递增，
∴(Tn)min＝T1＝3，故有3≤Tn＜12.
∵对任意正整数n，都有Tn∈[a，b]，
∴a≤3，b≥12.
即a的最大值为3，b的最小值为12.
故(b－a)min＝12－3＝9.
21．(1) .(2) .
试题解析：
（1）由已知得，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，
设椭圆方程为，
则，
∴．
所以点的轨迹方程是．
（2）设直线，
由，消去y整理得，
∵直线与椭圆交于两点，
∴．
设， ，则，
∴，
由题意得，
∴直线，
令，则得，
∴直线过定点，
∴所以的面积
，当且仅当时等号成立.
因此面积的最大值是．
22．(1)答案见解析；(2)0.
试题解析：
（1）的定义域为，
①若，当时， ，
故在单调递减，
②若，由，得，
（ⅰ）若，当时， ，
当时， ，
故在单调递减，在， 单调递增
（ⅱ）若， ， 在单调递增，
（ⅲ）若，当时， ，
当时， ，
故在单调递减，在， 单调递增
（2）由（1）得：若， 在单调递减，
在， 单调递增
所以时， 的极小值为
由恒成立，
即恒成立
设，
令，
当时，
所以在单调递减，
且，
所以， ，
且， ， ，
所以，
因为
得其中，
因为在上单调递增
所以
因为， ，所以