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- 2021-04-15 发布
1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下
【知识拓展】
1.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的.( √ )
(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象.( × )
(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( × )
(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.( × )
(5)把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.( × )
(6)若函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( √ )
1.(教材改编)y＝2sin(x－)的振幅，频率和初相分别为______________.
答案 2，，－
解析 由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
2.(教材改编)将y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)的图象，则f(x)＝________.
答案 sin x
解析 将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)＝2×sin x＝sin x的图象.
3.(2016·全国甲卷改编)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数的表达式为______________.
答案 y＝2sin
解析 由图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.
4.(2016·南通模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图象如图所示，f()＝－，则f(－)＝________.
答案 －
解析 由题图知，函数f(x)的周期
T＝2(－)＝，
所以f(－)＝f(－＋)＝f()＝－.
5.(教材改编) 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)＝sin(2x＋)，g(x)＝sin(2x＋)，h(x)＝cos(x－)的部分图象(如图)，则a，b，c对应的函数依次是______________.
答案 h(x)，f(x)，g(x)
解析 由于函数f(x)，g(x)，h(x)的最大值分别是，1，1，因此结合图形可知，曲线b为f(x)的图象；又g(x)，h(x)的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a，c分别是h(x)，g(x)的图象.
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.
解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
引申探究
在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，
并写出g(x)图象的对称中心.
解 由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，
因此g(x)＝5sin[2(x＋)－]
＝5sin(2x＋).
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
即y＝g(x)图象的对称中心为(－，0)，k∈Z.
思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
(2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是________________.
答案 y＝cos 2x
解析 由y＝sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin 2x，再向左平移个单位得y＝sin 2(x＋)，即y＝cos 2x.
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象，求A、ω、φ的值，并确定其函数解析式.
解 方法一 (逐一定参法)
由图象知振幅A＝3，
又T＝－(－)＝π，∴ω＝＝2.
由点(－，0)在图象上，令－×2＋φ＝0，
得φ＝，∴y＝3sin(2x＋).
方法二 (待定系数法)
由图象知A＝3，又图象过点(，0)和(，0)，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得
∴y＝3sin(2x＋).
方法三 (图象变换法)
由T＝π，点(－，0)，A＝3可知图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，∴y＝3sin 2(x＋)，
即y＝3sin(2x＋)，且ω＝2，φ＝.
思维升华 求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
(2016·徐州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则y＝f(x＋)取得最小值时x的集合为__________________.
答案 {x|x＝kπ－，k∈Z}
解析 根据所给图象，周期T＝4×(－)＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点(，0)，代入有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x＋)＝sin(2x＋)，当2
x＋＝－＋2kπ (k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f(x＋)取得最小值.
题型三 三角函数图象性质的应用
命题点1 三角函数模型的应用
例3 (2015·陕西改编) 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.
答案 8
解析 由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
命题点2 函数零点(方程根)问题
例4 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________.
答案 (－2，－1)
解析 方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin 2x
＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为
＝sin t，t∈有两个不同的实数根.
∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，的范围为(－1，－)，
故m的取值范围是(－2，－1).
引申探究
例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________.
答案 [－2，1)
解析 由例4知，的范围是，
∴－2≤m<1，
∴m的取值范围是[－2，1).
命题点3 图象与性质的综合应用
例5 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)当x∈[0，]时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值.
解 (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，
由－≤φ<，得k＝0，
所以φ＝－＝－.
综上，ω＝2，φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)，
当x∈[0，]时，－≤2x－≤，
∴当2x－＝，即x＝时，f(x)最大值＝；
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)最小值＝－.
思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
(3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，
利用换元法和数形结合思想进行解题.
已知函数f(x)＝cos(3x＋)，其中x∈[，m]，若f(x)的值域是[－1，－]，则m的取值范围是__________.
答案 [，]
解析 画出函数的图象.
由x∈[，m]，可知≤3x＋≤3m＋，
因为f()＝cos ＝－且f()＝cos π＝－1，要使f(x)的值域是[－1，－]，只要≤m≤，即m∈[，].
4.三角函数图象与性质的综合问题
典例 (14分)已知函数f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值.
思维点拨 (1)先将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期；
(2)将f(x)解析式中的x换成x－，得g(x)，然后利用整体思想求最值.
规范解答
解 (1)f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)＝cos x＋sin x [4分]
＝2sin(x＋)， [6分]
于是T＝＝2π. [7分]
(2)由已知得g(x)＝f(x－)＝2sin(x＋)， [9分]
∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，
∴sin(x＋)∈[－，1]， [12分]
∴g(x)＝2sin(x＋)∈[－1，2]. [13分]
故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1. [14分]
解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤
第一步：(化简)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；
第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝· (sin x·＋cos x·)；
第三步：(求性质)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.
1.(教材改编)函数y＝2sin(＋)的最小正周期是________.
答案 4π
解析 最小正周期T＝＝4π.
2.(2016·无锡期末)将函数f(x)＝2sin 2x的图象上每一点向右平移个单位长度，得函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝__________.
答案 2sin(2x－)
解析 函数f(x)＝2sin 2x的图象上每一点向右平移个单位长度，可得函数g(x)＝2sin 2(x－)＝2sin(2x－)的图象，故g(x)＝2sin(2x－).
3.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为________.
答案 π
解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)(ω>0).
由2sin(ωx＋)＝1，得sin(ωx＋)＝，
∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋π(k∈Z).
令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝π，
∴x1＝0，x2＝.
由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2.
故f(x)的最小正周期T＝＝π.
4.(2017·江苏通州中学月考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________.
答案 2，－
解析 由题中图象可知T＝－(－)⇒T＝⇒T＝π，则ω＝＝＝2.又图象过点(，2)，
∴f()＝2⇒2sin(＋φ)＝2⇒sin(＋φ)＝1.
∵－<φ<，∴<φ＋<，
∴＋φ＝，∴φ＝－.
5.函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为________.
答案 －
解析 由函数f(x)的图象向左平移个单位得g(x)＝sin的图象，
因为是奇函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，
又因为|φ|＜，所以φ＝－，
所以f(x)＝sin.
又x∈，所以2x－∈，
所以当x＝0时，f(x)取得最小值为－.
6.(2016·连云港模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则下列关于函数f(x)的图象说法正确的是________.
①关于直线x＝对称 ②关于直线x＝对称
③关于点对称 ④关于点对称
答案 ②
解析 由题意知＝π，∴ω＝2；
又由f(x)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[2＋φ]＝sin，此时关于原点对称，
∴－＋φ＝kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，
又|φ|＜，
∴φ＝－，
∴f(x)＝sin.
当x＝时，
2x－＝－，
∴①、③错误；
当x＝时，
2x－＝，
∴②正确，④错误.
7.(2016·苏北四市期末)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB＝5，则ω的值为________.
答案
解析 如图，过点A作垂直于x轴的直线AM，过点B作垂直于y轴的直线BM，直线AM和直线BM相交于点M，在Rt△AMB中，AM＝4，BM＝·＝，AB＝5，由勾股定理得AM2＋BM2＝AB2，
所以16＋()2＝25，＝3，ω＝.
8.(2016·南通质检)设函数y＝sin(ωx＋)(00，所以ωx＋∈(，ωπ＋)，又函数当且仅当x＝时取得最大值，
所以解得ω＝2.
9.(2016·扬州期末)已知函数f(x)＝sin(2x＋)(0≤x<π)，且f(α)＝f(β)＝(α≠β)，则α＋β＝________.
答案
解析 因为0≤x<π，所以2x＋∈[，)，所以由f(x)＝，得2x＋＝或，解得x＝或，由于f(α)＝f(β)＝(α≠β)，所以α＋β＝＋＝.
10.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是________安.
答案 －5
解析 由图象知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ).
∵图象过点，
∴10sin(100π×＋φ)＝10，
∴sin(＋φ)＝1，＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵0<φ<，∴φ＝.
∴I＝10sin，
当t＝秒时，I＝－5安.
11.(2016·江苏海安中学调研)若函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0，0)成中心对称，x0∈[0，]，则x0＝________.
答案 π
解析 两条相邻的对称轴之间的距离为＝，所以T＝π.而T＝，得ω＝2.因为f(x)的图象关于点(x0，0)成中心对称，所以sin(2x0＋)＝0.又因为x0∈[0，]，所以2x0＋∈[，π]，所以2x0＋＝π，即x0＝π.
12.(2016·江苏扬州中学月考)将y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)，使得平移后的图象仍过点(，)，则φ的最小值为________.
答案
解析 由题意得sin(－2φ)＝，
∴－2φ＋＝2kπ＋(k∈Z)或－2φ＋＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝－kπ＋ (k∈Z)或φ＝－kπ (k∈Z)，
又φ>0，∴φ的最小值为.
13.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝f()＝－f()，则f(x)的最小正周期为________.
答案 π
解析 记f(x)的最小正周期为T.
由题意知≥－＝，
由f()＝f()＝－f()，
且－＝，
可作出示意图如图所示(一种情况)：
∴x1＝(＋)×＝，
x2＝(＋)×＝，
∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.
14.设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝－×－sin 2ωx
＝cos 2ωx－sin 2ωx
＝－sin.
依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin.
当π≤x≤时，≤2x－≤.
所以－≤sin≤1.
所以－1≤f(x)≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.
*15.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值.
解 (1)由题图知A＝2，＝，
则＝4×，∴ω＝.
又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]
＝2sin(－＋φ)＝0，
∴sin(φ－)＝0，
∵0<φ<，∴－<φ－<，
∴φ－＝0，即φ＝，
∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin(x＋).
(2)由(1)可得
f(x－)＝2sin[(x－)＋]
＝2sin(x＋)，
∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×
＝2－2cos(3x＋)，
∵x∈[－，]，∴－≤3x＋≤，
∴当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4.