2018届二轮复习y＝Asin（ωx＋φ）的图象和性质及其综合应用 28页

第 三 节　 y ＝ A sin （ ωx ＋ φ ） 的图象和性质及 其综合应用 考点梳理 考纲速览 命题解密 热点预测 1. 求三角函数的解析式 . 2. 三角函数图象与性质的综合应用 . 3. 三角函数与其它知识的交汇性问题 . 1. 会利用 y ＝ A sin( ωx ＋ φ )( A ＞ 0 ， ω ＞ 0) 的图象与性质求参数的值或范围，确定函数解析式 . 2. 理解 函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ )( A ＞ 0 ， ω ＞ 0) 的最值 . 3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题 . 　　高考对本部分的考查主要为三角函数的值域和最值，考查参数 A 、 ω 、 φ 的值，及结合三角恒等变换考查函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的性质及应用 . 　　仍将以三角函数的图象及其变换、求三角函数的解析式为主要考点，重点考查数形结合的思想 . 知识点一 求三角函数的解析式 1. 确定 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ＋ b ( A ＞ 0 ， ω ＞ 0) 的步骤和方法 有界性 (3) 形如 y ＝ a sin 2 x ＋ b sin x ＋ c 或 y ＝ a cos 2 x ＋ b cos x ＋ c 的函数求最值时都可通过 _______ 来求解 . 配方法 知识点二 三角函数的综合应用 1. 函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 图象与性质的综合问题 (1) 函数图象的应用 三角函数的图象是数形结合解决三角问题的重要工具 . 三角函数的图象主要应用于解三角不等式、研究三角函数的性质和解三角方程等问题 . (2) 综合问题 ① 通常考查三角函数的性质 ( 周期、对称性、最值 ) 、同角三角函数之间的关系、三角函数诱导公式、二倍角的余弦公式，考查恒等变形、运算求解、推理运算能力 . ② 这类综合问题，一般题设中给出的三角函数表达式比较复杂，其图象、性质等不易直接判断求解，因而要先化简，多数情况下都可以将三角函数式化成 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ， y ＝ A cos( ωx ＋ φ ) 或 y ＝ A tan( ωx ＋ φ ) 三种标准形式之一，其中 A ＞ 0 ， ω ＞ 0 ，此外还有可能在上述标准形式后带有一个常数项，如 y ＝ A sin( ω x ＋ φ ) ＋ b 的形式 . ③ 解决此类问题要充分运用函数的图象和性质、三角恒等变换、最值、周期等相关知识点 . 2. 三角函数模型的简单应用 (1) 三角函数模型的实际应用和解题步骤 ① 三角函数模型的应用主要有 a. 根据图象建立解析式或根据解析式作出图象； b. 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型； c. 利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型 . ② 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知三角函数模型，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是合理建模 . (2) 三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题时有着广泛的应用 . 如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，三角函数模型的常见类型有： ① 航海类问题 . 涉及方位角概念，方位角指的是从指北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角 . 还涉及正、余弦定理 . ② 与三角函数图象有关的应用题 . ③ 引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题，即求最值 . ④ 三角函数在物理学中的应用 . 【 名师助学 】 1. 本部分知识可以概括为： (1) 三个步骤：确定三角函数解析式的三个步骤： ① 求 A ， b ； ② 求 ω ； ③ 求 φ . (2) 两种方法：求解参数 φ 值时的两种方法： ① 代入法； ② 五点法 . (3) 五种形式：求解三角函数值域 ( 或最值 ) 的五种类型及方法 . 2 . 由函数 y ＝ sin x ( x ∈ R) 的图象经过变换得到函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的图象 ， 在具体问题中 ， 可先平移变换后伸缩变换 ， 也可以先伸缩变换后平移变换 ， 但要注意：先伸缩 ， 后平移时要把 x 前面的系数提取出来 . 方法 1 三角函数性质的综合问题 [ 点评 ] 　 解决本题的关键是利用已知条件利用待定系数法求解函数的解析式 . 方法 2 三角函数模型的实际应用 用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是指用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题充分体现了新课标中 “ 数学建模 ” 的本质 . 【 例 2 】 青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长 580 米，宽 40 余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场 . 这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景色非常秀丽，海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越 . 已知海湾内海浪的高度 y ( 米 ) 是时间 t (0 ≤ t ≤ 24 ，单位：小时 ) 的函数，记作 y ＝ f ( t ). 下表是某日各时刻记录的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测， y ＝ f ( t ) 的曲线可近似地看成是函数 y ＝ A cos ω t ＋ b . (1) 根据以上数据，求函数 y ＝ A cos ω t ＋ b 的最小正周期 T ，振幅 A 及函数表达式； (2) 依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据 (1) 的结论，判断一天内的上午 8 ： 00 至晚上 20 ： 00 之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ [ 点评 ] 　 本题属三角函数模型的应用 ， 通常解决方法是转化为 y ＝ sin x ， y ＝ cos x 等基本初等函数 ， 可以解决图象、最值、单调性等问题 ， 体现了化归的思想方法 . 方法 3 利用三角函数的性质求解析式 (2) 已知函数图象求函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ )( A ＞ 0 ， ω ＞ 0) 的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定 A ，由周期确定 ω ，由适合解析式的点的坐标来确定 φ ，但由图象求得的 y ＝ A sin( ωx ＋ φ )( A ＞ 0 ， ω ＞ 0) 的解析式一般不唯一，只有限定 φ 的取值范围，才能得出唯一解，否则 φ 的值不确定，解析式也就不唯一 . (3) 将若干个点代入函数式，可以求得相关待定系数 A 、 ω 、 φ ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于 “ 五点 ” 中的哪一个位置点，并能正确代入式中 . [ 点评 ] 　 1. 第一步：根据图象确定第一平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点 . 第二步：将 “ ωx ＋ φ ” 作为一个整体 ， 找到对应的值 . 第三步：列方程组求解 . 第四步：写出所求的函数解析式 . 第五步：反思回顾 ， 查看关键点、易错点及答题规范 . 2 . (1) 求函数解析式要找准图象中的 “ 五点 ” ， 利用方程求解 ω ， φ ； (2) 讨论性质时将 ωx ＋ φ 视为一个整体 .