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- 2021-04-15 发布
河北省沧州市任丘市第一中学2019-2020学年高一下学期
期中检测数学试题
一､单选题(共12题，每题5分)
1.已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，因此，，故选A.
2.下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，，则
【答案】D
【解析】对于A选项，若且，则，该选项错误；
对于B选项，取，，，，则，均满足，但，B选项错误；
对于C选项，取，，则满足，但，C选项错误；
对于D选项，由不等式的性质可知该选项正确，故选D.
3.直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】因为直线与直线平行，
所以，故选：A.
4.若是等比数列的前项和，，，成等差数列，且，则（ ）
A. B. C. 4 D. 12
【答案】C
【解析】设数列的公比为，
当时，，则，，，此时 不成等差数列，
不符合题意，舍去；
当时，∵成等差数列，∴，
即，
即，解得或（舍去）或（舍去），
∴，，∴，故选C.
5.不论为何值，直线恒过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】恒过定点，恒过定点，由解得即直线恒过定点.
6.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【详解】∵cos2=，2cos2﹣1=cosA，
∴cosA=，即，
∴△ABC是直角三角形．
故选A．
7.直线上的点到圆上点的最近距离为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】将圆化为标准形式可得
可得圆心为，半径，
而圆心到直线距离为，
因此圆上点到直线的最短距离为，
故选：C.
8.在 中，内角 ，， 所对的边分别是 ，，，已知 ，且 ，，则 的面积是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】∵，
∴．
①当时，为直角三角形，且．
∵，，
∴．
∴．
②当时，则有，
由正弦定理得．
由余弦定理得，
即，
解得．
∴．
综上可得 的面积是 或 ．
故选D．
9.设，，，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】∵，，，
∴，
∴，当且仅当即，时等号成立，
∴，
故选：D．
10.已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设的最大角为，最小角为，可得出，，
由题意得出，，所以，，
即，即，
将，代入得，解得，，，
则，故选B.
11.设集合，集合若中恰含有一个整数 ，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+3）＞0，
解得：x＜﹣3或x＞1，即A={x|x＜﹣3或x＞1}，如图为图中红色的实线部分，
函数y=f（x）=x2﹣2ax﹣1的对称轴为x=a＞0，f（﹣3）=6a+8>0，f（﹣1）=2a>0, f（0）<0,故其中较小的根为（-1，0）之间，另一个根大于1，f（1）<0,要使A∩B恰有一个整数，
即这个整数解为2，
∴f（2）≤0且f（3）＞0，即,
解得： ，即≤a＜，
则a的取值范围为．故答案为A.
12.已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，
圆的圆心坐标为,，半径为3，
由图象可知，当三点共线时，取得最小值，
且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，
即，
故选D．
二､填空题(共4题，每题5分)
13.已知直线，若，则 __________．
【答案】
【解析】.
14.若等比数列各项均为正数，且， .
【答案】.
【解析】∵等比数列的各项均为正数，且，∴，∴，
∴，故答案为
.
15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为________．
【答案】32
【解析】
如图所示，
则△ABC的面积为，
即ac=2a+2c，得，
得，
当且仅当，即3c=a时取等号；
∴的最小值为32.故答案为：32.
16.在数列中，，当时，．则数列的前项和是_____.
【答案】
【解析】当时，．
所以，，，，，.
上述等式全部相加得，.
，
因此， 数列的前项和为，故答案为.
三､解答题(17题10分，18-22题12分，共70分)
17.在中，角，，所对的边分别为，，，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
解：（1）在中，由条件及正弦定理得
∴
∵，∴
∵，∴.
（2）∵，
由余弦定理得
∴.
∴.
18.在公差是整数的等差数列中，，且前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，则，
由题意知，的最小值为，则，
，所以，解得，，，
因此，；
（2）.
当时，，则，；
当时，，则，.
综上所述：.
19.若直线与轴，轴的交点分别为，圆以线段为直径.
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线过点，与圆交于点，且，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】 (1)令方程中的，得，令，得.
所以点的坐标分别为.
所以圆的圆心是，半径是，
所以圆的标准方程为.
(2)因为，圆的半径为，所以圆心到直线的距离为.
若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意.
若直线的斜率存在，设其直线方程为，即.
圆的圆心到直线的距离，解得.
则直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
20.如图，在四边形中，，，.
（1）若，求的面积；
（2）若，，求的长.
解：（1）因为，，，
所以，即，
所以.
所以.
（2）设，，则，
在中，由正弦定理得：，
所以；在中，，所以.
即，化简得：，
所以，
所以，，
所以在中，.
即，解得或（舍）.
21.已知等比数列满足，，且，，为等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围.
解：（1）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，即有，解得，故.
（2）∵ ，
∴ ，①
，②
②-①，得
∵ ，
∴ 对任意正整数恒成立，
∴ 对任意正整数恒成立，即恒成立，
∴ ，即的取值范围是.
22.已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）过圆O1：上任一点P作圆C的两条切线，切点分别为Q，T，求四边形PQCT面积的取值范围.
解：（1）由题意设圆心为，半径为，
则圆的标准方程为．
由题意得，解得，
所以圆的标准方程为．
（2）由圆的切线的性质得，
而．由几何知识可得，
又，所以，故，
所以，
即四边形面积的取值范围为．