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- 2021-04-15 发布
指数与指数幂运算
学习目标
1
．理解分数指数幂的含义．
(
难点
)
2
．掌握根式与分数指数幂的互化．
(
重点、易错点
)
3
．掌握有理数指数幂的运算性质．
(
重点
)
学习任务一
掌握下列知识要点
1.
分数指数幂
（
1
）
正分数指数幂
(
a
＞
0
，
m
，
n
∈
N
*
，且
n
＞
1)
．
（
2
）
负分数指数幂
(
a
＞
0
，
m
，
n
∈
N
*
，且
n
＞
1)
．
（
3
）
性质
0
的正分数指数幂等于
0,
0
的负分数指数幂
没有意义
.
2.
有理数指数幂的运算性质
(1)
a
r
a
s
＝
a
r
＋
s
(
a
＞
0
，
r
、
s
∈
Q)
；
(2)(
a
r
)
s
＝
a
rs
(
a
＞
0
，
r
、
s
∈
Q)
；
(3)(
ab
)
r
＝
a
r
b
r
(
a
＞
0
，
b
＞
0
，
r
∈
Q)
．
3.
无理数指数幂
一般地，无理数指数幂
a
α
(
a
＞
0
，
α
是无理数
)
是一个确定的
实数
，
有理数指数幂
的运算性质同样适用于无理数指数幂．
学习任务二
完成
自主学习检测的
题目
C
D
D
A
情境导入
新知讲解
0
没有意义
有理数
a
r
＋
s
a
rs
a
r
b
r
合作探究
探究一：
根式与分数指数幂的互化
思考
思考
任何有意义的根式都能化为分数指数幂的形式吗？
合作探究
【
思考
】
在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定
a
＞
0?
【
提示
】
底数
a
大于零是必要的，否则会造成混乱，如
a
＝－
1
，则
(
－
1)
α
是
1
还是－
1
就无法确定了，规定后就清楚了
.
[
知识点拨
]
三条运算性质的文字叙述：
(1)
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(2)
幂的乘方，底数不变，指数相乘；
(3)
积的乘方等于乘方的积．
典例精析
例
1
、
题型一：根式与分数指数幂的互化
[
思路分析
]
(1)
关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．
(2)
运用分数指数幂的运算性质进行化简．
典例精析
分组练习
A
组
B
组
【练习
2
】
【练习
1
】
我来
我来
我来
我来
小组展示
解析一览
合作探究
探究二：
利用分数指数幂的运算性质化简求值
2
．
分数指数幂运算中对结果的要求
在计算与化简中，对于结果，若无特殊要求，就用分数指数幂的形式；若有要求，则根据要求给出结果，但结果不能同时含有分数指数和根号，也不能既有负指数又有分母．
典例精析
例
2
、
题型二：利用分数指数幂的运算性质化简求值
[
思路分析
]
将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．
典例精析
[
规律总结
]
1.
幂的运算的常规方法
(1)
化负指数幂为正指数幂；
(2)
化根式为分数指数幂；
(3)
化小数为分数进行运算．
2
．分数指数幂及根式化简结果的具体要求
利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．
分组练习
A
组
B
组
【练习
2
】
【练习
1
】
我来
我来
我来
我来
小组展示
解析一览
合作探究
探究三：
有条件的求值问题
2
、
思考
：
乘法公式除了平方差公式还有哪些？
提示：
完全平方公式、完全和立方公式
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
完全差立方公式
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
立方和公式
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
立方差公式
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
典例精析
例
3
、
题型三：有条件的求值问题
[
思路分析
]
利用完全平方差公式求
(1)(2)
，利用立方差公式求
(3)
．
典例精析
分组练习
A
组
B
组
【练习
2
】
【练习
1
】
我来
我来
我来
我来
小组展示
解析一览
本课小结
分数指数幂运算
有理数指数幂运算
无理数指数幂运算
运算性质
正分数指数幂运算
负分数指数幂运算
随
堂检测
随
堂检测