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- 2021-04-15 发布
2017-2018学年湖南省醴陵市第二中学高二下学期开学考试理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． “是假命题”是“为真命题”的是 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．与椭圆共焦点, 离心率互为倒数的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
4 ．函数的单调递增区间是 （ ）
A． B. C． D．
5． 若曲线在点(0, b)处的切线方程是, 则（ ）
A． B.
C． D．
6．若动点到定点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
7．已知命题：“是的充要条件”， 命题：“”. 则下列结论正确的是 （ ）
A． 为假 B． 为真 C．为假 D．
均为真
8.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）
A．12 B．4 C． D．
9．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10． 已知是椭圆的两个焦点, 过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点, 若△是正三角形, 则这个椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
11．设函数是定义在R上的偶函数, 为其导函数. 当时, , 且, 则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
12.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）
13．命题的否定是 .
14．定积分 .
15.已知双曲线的渐近线方程是，且过点，
则双曲线的标准方程是 。
16．已知函数的自变量取值区间为, 若其值域也为, 则称区间为的保值区间. 若函数的保值区间是, 则的值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）
已知命题命题
若命题“”是真命题, 求实数的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知的内角的对边分别为, 且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积为，且．求的值．
19.（12分）
如图，在直棱柱
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)求直线所成角的正弦值.
.
20．（12分）已知正项等比数列中，
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）数列满足，求数列的前项和．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，且椭圆经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线与椭圆相交于两点，以为直径的圆恒过原点，试问原点到直线的距离是否为定值？若是，求出其定值，若不是，请说明理由．
（第21题图）
22. （12分）已知函数
(1) 若函数在处取得极值, 求曲线在点处的切线方程;
(2) 讨论函数的单调性;
1-5.A D A C A
6-10.C C B B C
11-12 B D
13.
14.
15.
16.
17.解: ……………………………………………………3分
……………………………6分
∵“p或q”为真命题，∴p、q中至少有一个真命题………………………8分
即或 或
“”是真命题时, 实数的取值范围是………10分
18.解（Ⅰ）
·····················2分
即 ·····················4分
∵ ····················6分
（Ⅱ）]
·······························8分
··························12分
19.解：(1)易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)．
因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0.解得或(舍去)．.................. ...................................... ....................... ............ ....................3分
于是＝(，3，－3)，＝(，1,0)．
因为·＝－3＋3＋0＝0，所以⊥，即AC⊥B1D．.........6分
(2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则
即
令x＝1，则n＝(1，，)．.........9分
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则
sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为...........12分
（Ⅱ）数列满足，求数列的前项和．
20.解：（Ⅰ）设数列的首项为，公比为.
则 ································2分
解得： ··································5分
·································6分
21.
22.解: (1) 由得或(舍去)
经检验, 时, 函数在处取得极值…………………………..3分
时,
所以所求切线方程为………………….6分
(2) 的定义域为
令 得 当时, ..…8分
① 当时,
在定义域上单调递增; …………………………………….9分
② 当时, 在上单调递减, 在上单调递增;
………………………………….……………………………………..11分
① 当时, 在和上单调递增, 在上单调递减. ………………………………….………………………....12分