【百强校】四川成都石室中学2019届高三下学期三诊模拟考试数学（理）试题含答案 9页

‎ ‎ 石室中学高2019届三诊模拟试题（理科）‎ ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置。）‎ ‎1.已知集合，,则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设（是虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若多项式，则（ ）‎ A.9 B.10 C. D.‎ ‎4.一个几何体的三视图如图图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.设，，且，，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若为不等式表示的平面区域，则当从连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（ ）‎ ‎ ‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎7.函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，,是图象与轴的交点，记，则的值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.下列命题中：①若“”是“”的充要条件；‎ ‎②若“，”，则实数的取值范围是；‎ ‎③已知平面，，，直线，，若，，，，则 ‎④函数的所有零点存在区间是.其中正确的个数是（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎9.某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法（ ）‎ A.474种 B.77种 C.462种 D.79种 ‎10.已知函数，方程有四个实数根，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）‎ ‎11.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则等于________‎ ‎12.下图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值.若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有_______个.‎ ‎ ‎ ‎13.已知在平面直角坐标系中，,，为原点，且，（其中，，均为实数），若，则的最小值是_______；‎ ‎14.已知双曲线：（，）的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则双曲线的离心率为_________‎ ‎15.设函数的定义域为，若存在非零实数满足，均有，且，则称为上的高调函数.如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的4高调函数，那么实数的取值范围是_______.‎ 三、解答题（本大题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）；‎ ‎16.已知向量，，函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调减区间；‎ ‎（2）已知，，分别为内角，，的对边，其中为锐角，，，且.求，的长和的面积.‎ ‎17.如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且,.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小.‎ ‎18.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下,3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立.‎ ‎（1）求小王过第一关但未过第二关的概率；‎ ‎（2）用表示小王所获得获品的价值，写出的概率分布列，并求的数学期望.‎ ‎19.各项为正数的数列前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）已知公比为的等比数列满足，且存在满足，，求数列的通项公式.‎ ‎20.已知椭圆：的长轴长是短轴长的两部，焦距为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎（2）设不过原点的直线的椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.‎ ‎21.已知，，且直线与曲线相切.‎ ‎（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，求最大的正整数，使得对（…是自然对数的底数）内的任意个实数，，…，都有成立；‎ ‎（3）求证：.‎ 三诊模拟参考答案（理科）‎ ‎1-10:ABDBB CACAB ‎11-15:,3,,,‎ ‎ ‎ ‎16.已知向量，，函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调减区间；‎ ‎（2）已知，，分别为内角,,的对边，其中为锐角，，，且.求，的长和的面积.‎ 解析：（1）‎ ‎，‎ 单调递减区是 ‎（2）；‎ ‎.‎ ‎17.如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且,.‎ ‎（Ⅰ）求证：;‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积;‎ 理（Ⅲ）求二面角的大小.‎ ‎17.(Ⅰ）证明：平面，，‎ 平面，‎ ‎∴，‎ ‎ ‎ ‎∵在平面内，∴，‎ 又为圆的直径，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）解：由（1）知即，‎ ‎∴三棱锥的高是，‎ ‎∴，‎ 连结、，可知 ‎∴为正三角形，∴正的高是，‎ ‎∴，‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小为 ‎18.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下,3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立.‎ ‎（1）求小王过第一关但未过第二关的概率；‎ ‎（2）用表示小王所获得获品的价值，写出的概率分布列，并求的数学期望.‎ ‎18.解析：（1）设小王过第一关但未过第二关的概率为，‎ 则.‎ ‎(2)的取值为0，1000，3000，6000，则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎∴的概率分布列为 ‎0‎ ‎1000‎ ‎3000‎ ‎6000‎ ‎ ‎ ‎∴的数学期望.‎ ‎19.各项为正数的数列前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）已知公比为的等比数列满足，且存在满足，，求数列的通项公式.‎ ‎19.解析：（1）∵，∴‎ 两式相减得：，‎ 即 ‎∴，‎ ‎∴为首项为1，公差为2的等差数列，故 ‎（2），依题意得，相除得 ‎∴或，代入上式得或，‎ ‎∴或 ‎20.已知椭圆：的长轴长是短轴长的两部，焦距为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎（2）设不过原点的直线的椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.‎ ‎20.解析：（1）由已知得 ‎∴方程：…‎ ‎（2）由题意可设直线的方程为：（，）‎ ‎ ‎ 联立消去并整理，得：‎ 则，‎ 此时设、∴，‎ 于是 又直线、、的斜率依次成等比数列，‎ ‎∴‎ 由得：.又由得：‎ 显然（否则：，则，中至少有一个为0，直线、中至少有一个斜率不存在，矛盾！）‎ 设原点到直线的距离为，则 故由得取值范围可得面积的取值范围为 ‎21.已知，，且直线与曲线相切.‎ ‎（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，求最大的正整数，使得对（…是自然对数的底数）内的任意个实数，，…，都有成立；‎ ‎（3）求证：.‎ ‎21.解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有 ‎. (*)‎ ‎∵，∴. （**）‎ ‎ ‎ 由（*）、（**）两式，解得，.‎ 由整理，得，‎ ‎∵，∴要使不等式恒成立，必须恒成立.‎ 设，，‎ ‎∵，∴当时，，则是增函数，‎ ‎∴，是增函数，，.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∵，∴在上是增函数，在上的最大值为.‎ 要对内的任意个实数，，…，都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，‎ ‎∵当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值.‎ ‎∴，解得.因此，的最大值为13.‎ ‎(3)证明：当时，根据（1）的推导有，时，，‎ 即.令，得，‎ 化简得，‎ ‎.‎