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- 2021-04-15 发布
高二本部实验班第二次检测
一、单选题
1.给出下列说法：
①命题“若 ，则 ”的否命题是假命题；
②命题 ，使 ，则 ；
③“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件；
④命题 “ ，使 ”，命题 “在 中，若 ，则 ”，那么命题 为真命题.
其中正确的个数是（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
C
解 析
①项，命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
因为 ，所以否命题是假命题，①项正确；
②项，命题 ，使 ，含有一个量词的否定在否定结论的同时，要改变量词的属性，存在量词改为全称量词，则 ，②项正确；
③项，充分性：当 时，函数 为偶函数，充分性成立；必要性：若函数 为偶函数，可得 ，必要性不成立，③项错误；
④项，命题 “ ，使 ”，因为 ，所以当 时，，即命题 为假命题；
命题 “在 中，若 ，则 ”，根据正弦定理可知
，则 ，即 ，所以 为真命题，则命题 为真命题，④项正确.
2.用数学归纳法证明“ 能被 整除”的第二步中，当 时，为了使用假设，应将 变形为（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
B
解 析
假设 时命题成立，即： 被 整除，当 时， 为： 故答案选B.
3.若直线 的参数方程为 （ 为参数），则直线 倾斜角的余弦值为（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
B
解 析
把直线 的参数方程为化成普通方程为 ，
所以直线 的倾斜角正切为 ，其余弦值为 ，应选B.
4.在极坐标系中，曲线 与极轴交于 两点，则 两点间的距离等于（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
B
解 析
化极坐标方程为直角坐标方程得 ，
易知此曲线是圆心坐标为 ，半径为 的圆，计算可得 ．
5.方程 的曲线不经过极点，则 的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
C
解 析
当 时， ，若此方程无解，由 ，所以当 时，方程无解.
6.已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 ，则 的面积为（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
B
解 析
由 ，可得 ，焦点 ，
因点 到焦点 的距离为 ，故 点的纵坐标为 ，
可知 点的坐标为 或 ，
所以 .
7.设 分别是椭圆 ： 的左右焦点，点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，若 ，则椭圆的离心率为（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
A
解 析
因为点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
8.直线 绕原点逆时针方向旋转 后与双曲线 ： 的一条渐近线重合，则双曲线 的离心率为（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
C
解 析
直线 绕原点逆时针方向旋转 后得直线 ，
所以 ，双曲线 的离心率 .
9.函数 ，则 的最大值是（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
A
解 析
因为 ，
所以
，
当且仅当 时取等号.
10.已知 ，则 的正负情况是（ ）
A、大于零
B、大于等于零
C、小于零
D、小于等于零
答 案
B
解 析
设 ，所以 ，
根据排序不等式，
又 ，
又 ， ，
所以 .
所以 ，
即 .
11.过双曲线 的右焦点 作其渐近线 的垂线，垂足为点 ．若 （ 为坐标原点），则该双曲线的标准方程为（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
C
解 析
由题意，得 解得
所以双曲线 的标准方程为 .
12.曲线 上的一点 到直线 的距离的取值范围为（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
D
解 析
由 ，得 ，
可知曲线 为椭圆在 轴上方的部分（包括左、右顶点），
作出曲线 的大致图象如图所示，
当点 取左顶点时，所求距离最大，
且最大距离为 ，
当直线 平移至与半椭圆相切时，
切点 到直线 的距离最小，
设切线方程为 ，
联立方程得 ，
消去 ，得 ，
由 ，得 ，所以 ，
由图可知 ，所以最小值为 ，
故所求的取值范围为 .
13.在平面直角坐标系中， 为原点， ， ， ，动点 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
D
解 析
设 ，因为 ，即 两点间的距离为 ，
又 ，利用两点间的距离公式可得 ，
即 在以 为圆心， 为半径的圆上，
可设圆的参数方程为 ， ，
所以
， ；
因为 ，所以原式 ，
所以 的取值范围是 .
14.已知双曲线 的焦点在 轴上，离心率为，点 是抛物线 上的动点， 到双曲线 的上焦点 的距离与到直线 的距离之和的最小值为 ，则该双曲线的方程为（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
B
解 析
设 为抛物线 的焦点，则 ，
抛物线 准线方程为 ，
因此 到双曲线 上的焦点 的距离与到直线 的距离之和等于 ，
因为 ，所以 ，即 ，
∴ ，又，∴ ， ，
即双曲线的方程为 .
15.已知定义在 上的函数 满足 ，且 时， 上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
B
解 析
由题得 ，
令 ，则 为偶函数，
时， ，则 ，则 递增，
由 得：
，即 ，
则 ，所以 .
16.若函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A、
B、
C、
D、
答 案
D
解 析
由题意，函数的定义域为 ，
在 上有两个不相等的实数根，
所以 在 上有两个不相等的实数根，令 ，
则 ，所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，其图象如图所示，
要是 在 上有两个不相等的实数根，则 ，即 ， ，所以实数 的取值范围是 .
二、填空题
17.平面直角坐标系中，若点 经过伸缩变换 后的点为 ，则极坐标系中，极坐标为 的点到极轴所在直线的距离等于 ．
答 案
解 析
∵点 经过伸缩变换 后的点为 ，
∴极坐标系中，极坐标为 的点到极轴所在直线的距离等于 ．
18.已知函数 ，若对任意的 ， 都成立，则 的取值范围为 .
答 案
解 析
∵函数 ，
∴函数 的最小值为 .
∵ 都成立，
∴根据绝对值的几何意义得出 ，即 .
19.平面直角坐标系 中，点 在曲线 ： （ 为参数， ）上，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点 的极坐标分别为 ， ，且点 都在曲线 上，则 .
答 案
解 析
曲线 ： （ 为参数， ）的普通方程为 ，
由点 在曲线 上，得 ，
所以 ，
由 ， ，
得到椭圆的极坐标方程为 ，
即 ，得 ，
依题意，得 .
20.已知正实数 满足 ， ，则实数 的取值范围是 .
答 案
解 析
解法一：
由 得 ，
由 得 ，即 ，
由均值不等式 ，所以 ，即 .
解法二：
由 ，
可将 视为方程 的两个正根，
故 ，解得 .
解法三：
由 ，且 ，
设 ， ，
所以 ，
所以 .
三、解答题
21.在平面直角坐标系中，已知曲线 ： （ 为参数）和定点 ， 是曲线 的左、右焦点，以原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴且取相同单位长度建立极坐标系.
(1)求直线 的极坐标方程；
答 案
曲线 ： （ 为参数），可化为 ，
焦点为 和 ．
经过 和 的直线方程为 ，即 ．
又 ， ，
所以直线 的极坐标方程为 ，即 .
解 析
无
(2)经过点 且与直线 垂直的直线 交曲线 于 两点，求 的值.
答 案
由小问1知，直线 的斜率为 ，
因为 ，所以直线 的斜率为 ，即倾斜角为 ，
所以直线 的参数方程为 （ 为参数），
代入曲线 的方程，得 ，
即 ， ．
因为点 在点 的两侧，所以 .
解 析
无
22.已知函数 .
(1)当 ， 时，求不等式 的解集；
答 案
不等式 等价于 ，
则当 时， ，解得 ；
当 时， ，即 ，不等式无解；
当 时， ，解得 ，
综上所述，不等式 的解集为 .
解 析
无
(2)若 ， 的最小值为 ，求证： .
答 案
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
则
，
因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立.
解 析
无
23.已知函数 .
(1)解不等式 ；
答 案
当 时， ，即 ，无解；
当 时， ，即 ，得 ；
当 时， ，即 ，得 .
故所求不等式的解集为 .
解 析
无
(2)若函数 最小值为 ，且 ，求 的最小值.
答 案
因为 ，
所以 ，则 ，
.
当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值为 .
解 析
无
24.已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
答 案
函数 的定义域为 ， .
∵在 上， ，在 上， .
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
解 析
无
(2)证明： （ ，且 ）.
答 案
由小问1知 ，∴ ，
即 ，当且仅当 时取等号.
从而 ， ， ， ， ，
∴ ，
∴，
∴ .
解 析
无