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- 2021-04-15 发布
2020届大连市第二十四中学高三最后一次
文科数学
命题人 校对人：大连市第二十四中学高三备课组
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，则满足的集合可以是（ ）
A． B． C． D．
2.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A． B． C． D．
3.等差数列，，，的第四项等于（ ）
A． B． C． D．
4.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( )
A．国防大学，研究生 B．国防大学，博士
C．军事科学院，学士 D．国防科技大学，研究生
5.下列说法正确的是（ ）
A．，“”是“”的必要不充分条件
B．“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件
C．命题“，使得”的否定是：“，”
D．命题“，”，则是真命题
6．已知平面向量，，则与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
7.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A． B． C． D．
8．为两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A . 若,,,则 B．若,,,则
C．若,则 D．若,则
9.我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对“优美曲线”。已知是一对“优美曲线”的焦点，是它们在第一象限的交点，当时时，这一对“优美曲线”中双曲线的离心率是 （ ）
A．2 B． C． D．
10.已知，若对于且都，则
的取值范围是（ ）
A . B． C． D．
11.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12.定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当 时，．记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设且f(2)＝4，则f(－2)＝________．
14.若点在直线上，则的值等于________
15. 已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则
16.如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有______个面，其体积为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求△ABC的面积的最大值．
18. （本小题满分12分）
如图，已知平面多边形PABCD中，AP＝PD，AD＝2DC＝2CB＝4，AD∥BC，AP⊥PD，AD⊥DC，E为PD的中点，现将三角形APD沿AD折起，使PC＝2.
(1)证明：CE∥平面PAB；
(2)求三棱锥PBCE的体积．
19(本小题满分12分)
某高校在2019年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到如下的频率分布表：
组号
分组
频数
频率
第一组
[145，155)
5
0.05
第二组
[155，165)
35
0.35
第三组
[165，175)
30
a
第四组
[175，185)
b
c
第五组
[185，195)
10
0.1
(1)请写出频率分布表中a，b，c的值，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，请估计全体考生的平均成绩；
(2)为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名考生进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少名考生进入第二轮的面试；
(3)在(2)的前提下，学校要求每个学生需从A、B两个问题中任选一题作为面试题目，求第三组和第五组中恰好有2个学生选到问题B的概率．
20. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝xln x－1，g(x)＝(k－1)x－k(k∈R)．
(1)若直线y＝g(x)是曲线y＝f(x)的一条切线，求k的值；
(2)当x>1时，直线y＝g(x)与曲线y＝f(x)＋1无交点，求整数k的最大值．
21. (本小题满分12分)
已知动直线与椭圆C:交于，两个不同点，且的面积=,其中为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)
已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线和直线的普通方程；
（2）若直线交曲线于两点，交轴于点，求的值.
23．(本小题满分10分)
已知函数.
（Ⅰ）当，求的取值范围；
（Ⅱ）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.
高三最后一次
文科数学答案
一．选择题：
BCBCA CADDB DD
一． 填空题：
13. 3 14. 15.256 16. 20，
三.解答题：
17.(1)利用正弦定理，得＝，即＝cos C＋sin C，
则sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Bsin C，又sin C≠0，
所以tan B＝1，又0＜B＜π，∴B＝. ………………………6分
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac，
所以当ac最大时，S最大．
由已知及余弦定理，得2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，
所以ac≤＝2＋，当且仅当a＝c时取等号，所以△ABC的面积的最大值为×(2＋)＝. ………………………12分
18.解：(1)证明：如图，取PA的中点H，连接HE，HB，
∵E为PD的中点，∴HE为△PAD的中位线，
∴HE綊AD，
又BC綊AD，∴HE綊BC，
∴四边形BCEH为平行四边形，∴CE∥BH，
∵BH⊂平面ABP，CE⊄平面ABP，
∴CE∥平面ABP. ………………………5分
(2)由题意知△PAD为等腰直角三角形，四边形ABCD为直角梯形，
取AD的中点F，连接BF，PF，∵AD＝2BC＝4，∴PF＝BF＝2，
∵PF⊥AD，BF⊥AD，PF∩BF＝F，∴DF⊥平面PBF，
∴BC⊥平面PBF，∵PB⊂平面PBF，∴BC⊥PB.
∵在直角三角形PBC中，PC＝2，BC＝2，∴PB＝2，
∴△PBF为等边三角形．
取BF的中点O，连接PO，则PO⊥BF，由DF⊥平面PBF知PO⊥DF，又DF∩BF＝F，
∴PO⊥平面ABCD，PO＝，
∵E为PD的中点，
∴E到平面PBC的距离等于D到平面PBC的距离的一半，
连接BD，则VP－BCE＝VE－PBC＝VD－PBC＝VP－BCD＝×·S△BCD·PO＝×××2×2×＝. ………………………12分
19解：解：(1)由题意知，a＝0.3，b＝20，c＝0.2.＝150×0.05＋160×0.35＋170×0.3＋180×0.2＋190×0.1＝169.5. ………………………4分
(2)第3、4、5组共60名学生，现抽取6名，因此第3组抽取的人数为×6＝3人，第4组抽取的人数为×6＝2人，第5组抽取的人数为×6＝1人．………………………7分
(3)所有的基本事件如下：(A，A，A，A)，(A，A，A，B)，(A，A，B，A)，(A，B，A，A)，(B，A，A，A)，(A，A，B，B)，(A，B，A，B)，(B，A，A，B)，(A，B，B，A)，(B，A，B，A)，(B，B，A，A)，(B，B，B，A)，(B，B，A，B)，(B，A，B，B)，(A，B，B，B)，(B，B，B，B)，所以，基本事件总数为16种．
第三组和第五组中恰好有2个学生选到问题B的基本事件如下：(A，A，B，B)，(A，B，A，B)，(B，A，A，B)，(A，B，B，A)，(B，A，B，A)，(B，B，A，A)，共包含6个基本事件．
故第三组和第五组中恰好有2个学生选到问题B的概率P＝＝.[来源:学.科.网]
………………………12分
20.解（1）由题意知f′(x)＝ln x＋1，设切点为P(x0，x0ln x0－1)，
在点P处的切线方程为y－(x0ln x0－1)＝(1＋ln x0)(x－x0)．
整理得y＝(1＋ln x0)x－(x0＋1)．[来源:学科网ZXXK]
由⇒⇒ln x0＝x0－1.
令h(x)＝ln x－x＋1，h′(x)＝－1＝.
当00，h(x)在(0，1)上单调递增；当x>1，h′(x)<0，h(x)在(1，＋∞)上单调递减．
所以h(x)的最大值为h(1)＝0，即x0＝1，故k＝2. ………………………5分
(2)令F(x)＝xln x－(k－1)x＋k，F′(x)＝ln x＋2－k＝ln x－(k－2)．(x>1)
①当k－2≤0时，F′(x)>0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以F(x)>F(1)＝1，即F(x)在(1，＋∞)上无零点．
②当k－2>0时，由F′(x)＝0，得x＝ek－2.
当1ek－2，F′(x)>0，所以F(x)在(ek－2，＋∞)上单调递增．
F(x)的最小值为F(ek－2)＝(k－1)ek－2－k(ek－2－1)＝k－ek－2.
令m(k)＝k－ek－2，则m′(k)＝1－ek－2<0，
所以m(k)在(2，＋∞)上单调递减，
而m(2)＝2－1＝1，m(3)＝3－e>0，m(4)＝4－e2<0，因此k的最大值为3.
………………………12分
21解（Ⅰ）（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于轴对称，所以
∵在椭圆上，∴ ①又∵=，∴ ②
由①②得，．此时；
（2）当直线的斜率存在时，是直线的方程为，将其代入得
,即，
又，，
∴
∵点O到直线的距离为，
∴，又=，
整理得，
此时，
综上所述结论成立．··············6分
（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知
，，因此．
（2）当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）知
所以
．当且仅当，即时，等号成立．
综合（1）（2）得的最大值为5；················12分
22．（1）曲线的参数方程为（t为参数），
转化为直角坐标方程为.
直线的极坐标方程.
转化为普通方程为：.·····5分
（2）由于直线与轴的交点坐标为（），
所以直线的参数方程为（为参数），
代入得到：，
所以：，，
则：8.………………………10分
23．（Ⅰ），
若，则，得，即时恒成立；
若，则，得，即；
若，则，得，此时不等式无解.
综上所述，的取值范围是.………………………5分
（Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立，
只需.
当时，，.
因为，
所以当时，.
于是，解得.
结合，所以的取值范围是.………………………10分