内蒙古自治区乌海市乌达区2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题 15页

‎2018-2019学年高二年级第一学期质量调研考试文科数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.双曲线的实轴长为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的标准方程，求出a的值，即可求出双曲线的实轴长．‎ ‎【详解】双曲线中，a2＝1，‎ ‎∴a＝1，‎ ‎∴‎2a＝2，‎ 即双曲线的实轴长2．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是正确理解双曲线的标准方程，属于基础题．‎ ‎2.下列四个命题中，真命题是（ ）‎ A. “正方形是矩形”的否命题；‎ B. 若，则；‎ C. “若，则”的逆命题；‎ D. “若，则且”的逆否命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 由题意得，，所以当时，此时，‎ ‎ 所以选项B是正确的，故选B.‎ ‎3.若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为（　　）‎ A. ５ B. ‎３ ‎C. ２ D. １‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：由题意a=3,P点到右焦点的距离为‎2a-5=1‎ ‎4.若命题“”为假，且“”为假，则 A. 或为假 B. 真 C. 假 D. 不能判断的真假 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：命题“”为假，说明与中至少有一个是假命题，“”为假说明为真命题，所以为假命题.‎ 考点：本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假.‎ 点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.‎ ‎5.点和是双曲线的两个焦点，则（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程可求焦距，即可得.‎ ‎【详解】由可知 ‎ 所以，则，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的方程，双曲线的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎6.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. ‎ 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当 时,不能推出 ,比如 ; 当 时, ,能推出 ,所以“ ”是“”的必要不充分条件.选B.‎ ‎7.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，‎ ‎∴m2＞m+2＞0，‎ 解得m＞2或﹣2＜m＜﹣1．‎ 故选A．‎ ‎8.若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由导函数图像可知导函数先负，后正，再负，再正，且极值点依次负，正，正．对应的函数图像应是先减，后增，再减，再增，排除B,D，这两上为先增，再排除C,因为极值点第二个应为正，选A.‎ ‎9.若函数的单调递减区间为，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f′（x）=3x2-a，f（x）的单调递减区间为（-1，1），可得方程3x2-a=0的根为±1，即可得出．‎ ‎【详解】由f′（x）=3x2﹣a，f（x）的单调递减区间为（﹣1，1），‎ 可得方程3x2﹣a=0的根为±1，∴a=3．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数的问题，属于基础题．‎ ‎10.抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为.由渐近线的对称性可知，焦点到两渐近线距离相等.不妨计算焦点到直线即的距离，，选.‎ 考点：1.双曲线、抛物线的几何性质；2.点到直线的距离公式.‎ ‎11.函数在区间上的最小值是（）‎ A. -9 B. ‎-16 ‎C. -12 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求得函数在上的单调区间、极值，比较区间端点的函数值和极值，由此求得最小值.‎ ‎【详解】，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.，，，故最小值为.所以选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最小值.首先利用函数的导数求得函数的单调区间，利用单调区间得到函数的极值点，然后计算函数在区间端点的函数值，以及函数在极值点的函数值，比较这几个函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.本小题属于基础题.‎ ‎12.已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M在双曲线C的右支上|F‎1F2|=2|OM|，△MF‎1F2的面积为‎4a2，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得为直角三角形，且，可得，由双曲线的定义，可得，结合三角形的面积，可得，从而可求双曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ 由可得，‎ 即有为直角三角形，且，‎ 因为的面积为，‎ 所以 又因为，‎ 所以，‎ 由双曲线定义可得，‎ 可得，‎ ‎，‎ ‎∴双曲线的离心率为，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，将正确答案写在题中横线上）‎ ‎13.命题“∃x0∈R，sinx0+2x02＞cosx‎0”‎的否定为_____．‎ ‎【答案】∀x∈R，sinx+2x2≤cosx ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，sinx0+2x02＞cosx‎0”‎的否定为：∀x∈R，sinx+2x2≤cosx．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎14.抛物线的准线方程是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程.‎ ‎【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，‎ 所以：，即，所以，‎ 所以准线方程为：，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.‎ ‎15.已知双曲线（）的离心率为，那么双曲线的渐近线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意得，双曲线的离心率，解得，‎ ‎ 所以双曲线的渐近线方程为，即.‎ ‎16.已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数既有极大值又有极小值，等价于方程有两个不同的根，利用判别式大于零可得结果.‎ ‎【详解】，‎ 因函数 所以，‎ 因为函数既有极大值又有极小值，‎ 所以方程有两个不同的根，‎ 由题意得,‎ 解得或，‎ 即，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，以及转化与划归思想的应用，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出必要的文字说明和解题步骤）‎ ‎17.双曲线的离心率等于2，且与椭圆有相同的焦点，求此双曲线方程 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵ 椭圆的焦点坐标为（－4，0）和（4，0），‎ 则可设双曲线方程为（a＞0，b＞0），‎ ‎∵ c＝4，又双曲线的离心率等于2，即，∴ a＝2．‎ ‎∴＝12．故所求双曲线方程为．‎ 考点：本题考查双曲线的基本性质和标准方程．‎ 点评：解答的关键在于学生对双曲线基础知识的把握，要注意椭圆与双曲线中a、b、c关系式的不同，属于基础题型．‎ ‎18.近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： ‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎5‎ 女 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为 ．‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；‎ 下面的临界值表供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式 其中）‎ ‎【答案】（1）20|25|15|25|30|20；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意补充列联表．‎ ‎（2）根据独立性简单求得K2值，再与标准值比较即可判断．‎ ‎【详解】（1）补充列联表如下图：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（2）因为 ，所以K2≈8.333‎ 又P（k2≥7.789）=0.005=0.5%．那么，我们有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关 ‎【点睛】本题考查了独立性检验方法的简单应用，属于基础题．‎ ‎19.已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R）．‎ ‎（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间．‎ ‎【答案】（1）9x+y﹣1＝0；（2）f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先求函数的导函数f'（x），再求所求切线的斜率即f'（0），由于切点为（0，1），故由点斜式即可得所求切线的方程；‎ ‎（2）利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．‎ ‎【详解】（1）由题意f'（x）＝3x2﹣6x﹣9，k＝f'（0）＝﹣9，f（0）＝1‎ 所以函数在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝﹣9x，即9x+y﹣1＝0；‎ ‎（2）令f'（x）＝3x2﹣6x﹣9＞0，解得x＜﹣1或x＞3‎ 令f'（x）＝3x2﹣6x﹣9＜0，解得﹣1＜x＜3‎ 故：函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3）.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎20.《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：‎ 月份 违章驾驶员人数 ‎（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；‎ ‎（2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.‎ 参考公式： ,参考数据：.‎ ‎【答案】（1）；（2）49.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得的值，得到回归直线方程；‎ ‎（2）令，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.‎ ‎【详解】（1）由表中数据知， ，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴所求回归直线方程为.‎ ‎（2）令，则人.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准确计算，求得的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点P．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A.B两点，求弦AB的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先设椭圆的方程，再利用的椭圆C的离心率为，且过点（），即可求得椭圆C的方程；（2）设出A、B的坐标，由椭圆方程求出椭圆右焦点坐标，得到A、B所在直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得A、B横坐标的和与积，代入弦长公式求弦AB的长．‎ ‎【详解】(1) 设椭圆方程为，椭圆半焦距为c，‎ ‎∵椭圆C的离心率为，‎ ‎∴，∴，①‎ ‎∵椭圆过点（），‎ ‎∴②‎ 由①②解得：b2=，a2=4‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎(2) 设A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）．‎ 由椭圆的方程知a2=4，b2=1，c2=3，‎ ‎∴F（，0）．‎ 直线l的方程为y=x﹣．‎ 联立，得5x2﹣8x+8=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∴|AB|=‎ ‎==．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎22.已知函数f（x）＝a（x2﹣1）﹣lnx．‎ ‎（1）若y＝f（x）在x＝2处的切线与y垂直，求a的值；‎ ‎（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）f（x）的定义域为（0，+∞），令f'（2）＝0，解得a；‎ ‎（2），对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．‎ ‎【详解】（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），，‎ ‎∴f'（2）＝0，即．‎ ‎（2）∵，‎ ‎①当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴当x＞1时，f（x）＜f（1）＝0矛盾．‎ ‎②当a＞0时，，‎ 令f'（x）＞0，得；f'（x）＜0，得．‎ ‎（i）当，即时，时，f'（x）＜0，即f（x）递减，‎ ‎∴f（x）＜f（1）＝0矛盾．‎ ‎（ii）当，即时，x∈[1，+∞）时，f'（x）＞0，即f（x）递增，‎ ‎∴f（x）≥f（1）＝0满足题意．‎ 综上：．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线斜率，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．‎