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- 2021-04-15 发布
北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）
数学 （文科）
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
（1）如果，，那么集合
A.空集 B.
C. D.
（2）某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为
A.200 B.100 C.80 D.75
（3）如果，，，那么三个数的大小关系是
A. B.
C. D.
（4）如果过原点的直线 与圆 切于第二象限，那么直线的方程是
A. B.
C. D.
（5）设函数若，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.∪
（6） “”是 “”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件
（7）如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有
A.
B.
C.
D.
（8）如果函数在定义域内存在区间，使在上的值域是，那么称为“倍增函数”．若函数为“倍增函数”，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
开始
结束
是
输出
否
二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)
（9）如果是纯虚数，那么实数 ．
（10）如果执行如图所示的程序框图，那么输出的___．
（11）如果直线l：与双曲线的一条渐近线平
行，那么= __ ．
（12）“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如下图所示
编码方式1
编码方式2
码元0
码元1
信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是____；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是____.
（13）已知中，，且，那么_______，____ ．
（14）已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回. 若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠_________公里.
三、解答题(共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)
（15）（本小题13分）
已知点在函数的图象上.
(Ⅰ) 求的值和最小正周期；
(Ⅱ) 求函数在上的单调减区间.
（16）（本小题13分）
已知数列是等差数列，前项和为，若．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若成等比数列，求的值．
（17）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，且，,
A
B
C
D
P
O
平面.
（I）为棱的中点，求证：平面；
（II）求证：平面平面；
(III) 若，,求四棱锥的体积.
（18）（本小题13分）
某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1
[0.5,1）
20
2
[1,1.5）
40
3
[1.5,2）
80
4
[2,2.5）
120
5
[2.5,3）
60
6
[3,3.5）
40
7
[3.5,4）
20
8
[4,4.5）
20
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；
（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”.假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如右图所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由.
（19）（本小题13分）
已知椭圆的左右两个焦点为，且，椭圆上一动点满足．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；
A
B
C
D
O
F1
x
y
F2
E
（Ⅱ）如图，过点作直线与椭圆交于点，过点作直线，且与椭圆交于点，与交于点，试求四边形面积的最大值.
（20）（本小题14分）
设函数，．
(Ⅰ)若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；
(Ⅱ)已知函数，若在区间内有零点，求的取值范围；
(Ⅲ)设有两个极值点，，试讨论过两点，的直线能否过点，若能，求的值；若不能，说明理由．
北京市东城区2016-2017学年第二学期高三综合练习（一）
数学（文科）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D （2）C （3）A （4）B
（5）B （6）A （7）D （8）D
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）
（11） （12），
（13）， （14）
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解:(Ⅰ) 点 在函数的图象上，
.
.
------------------6分
(Ⅱ)由,
得 ,
函数的单调减区间为
函数在上的单调减区间为
------------------ 13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）等差数列中，,
.
.
数列的通项公式为.
------------------6分
（Ⅱ）数列是等差数列, ,
.
.
,
，．
成等比数列，
．
.
即，
解得.
------------------13分
（17）（共14分）
解：（I） 因为是平行四边形对角线交点，所以为中点
又为棱中点，所以
因为平面，平面，
所以平面 ……………………5分
（II） 因为，
所以
又，，
所以
因为，
所以 ……………………10分
（III）因为是平行四边形对角线交点，所以为中点
又，，可求得
因为，所以
所以 ……………………14分
（18）（共13分）
解答：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表可知，
；
……………………4分
（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，那么
……………………8分
（Ⅲ）因为该小区居民月用水量低于这一标准的比例为35%，
所以由图可知,
小区人均月用水量低于立方米，则称为“节水小区”. ……………………10分
由图可知，三个月后的该小区人均月用水量为
所以三个月后该小区达到了“节水小区”标准. ……………………13分
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）由已知， ，解得.
所以椭圆 的标准方程为 ，离心率 . ……………………4分
（Ⅱ）由题意可知，由此可求得
所以点轨迹为以原点为圆心，半径为的圆，显然点在椭圆的内部
所以
当直线一条为椭圆的长轴，一条与轴垂直时，例如为长轴，时
把代入椭圆方程，可求得，由此，又
所以此时
当直线的斜率都存在时，
设直线，设
联立消去 可得
所以 .
同理，由可求得
综上，四边形面积的最大值为，此时直线一条为椭圆的长轴，一条与轴垂直.
……………………13分
（20）（共14分）
解析：(Ⅰ) 由求得
，代入
令得，
时，，单调递增；
时，，单调递减．
……………………4分
(Ⅱ) 由
求得
时，当时，恒成立，单调递增，又
此时在区间内没有零点；
当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减． 又
此时欲使在区间内有零点，必有．
无解
当时，当时，恒成立，单调递减
此时欲使在区间内有零点，必有．
综上，的取值范围为．
……………………9分
(Ⅲ)不能．原因如下：
设有两个极值点，，则导函数有两个不同的零点
，且，为方程的两根
同理
由此可知过两点，的直线方程为
若直线过点，则
前面已经讨论过若有两个极值点，则，显然不合题意．
综上，过两点，的直线不能过点．
……………………14分