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- 2021-04-15 发布
铁人中学2018级高二学年·下学期期中考试
数学(文科)试题
试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，则命题为（ ）
A． B．
C． D．
3.三个数，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
B．若p：∀x≥0，，则￢p：∃x0≥0，
C．若复合命题：“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题
D．“x＞2”是x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件
5．设,则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
7.函数的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
8.以下说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；
③线性回归方程必过点；
④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；
⑤在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。
其中错误的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9.若函数在上最小值为-1，则（ ）
A．1或2 B．1 C．1或 D．-2
10.已知函数是幂函数，且在上为增函数，若且则的值（ ）
A．恒等于 B．恒小于 C．恒大于 D．无法判断
11．若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
12.已知，且，若函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题部分
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.函数的单调递增区间为 .
14．曲线在点处的切线的方程为__________．
15.是函数为偶函数的______条件.
（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
16.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）＝f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时，，则
①2是函数f（x）的一个周期；
②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；
③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；
④x＝1是函数f（x）的一个对称轴；
其中所有正确命题的序号是
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(10分）计算：
(1)
(2)
18．（12分）已知命题p：满足，命题q：，若p∨q为真，p∧q为假，求的取值范围.
19．（12分）为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜好体育运动
不喜好体育运动
男生
5
女生
10
已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；
（3）在上述喜好体育运动的6人中随机抽取两人，求恰好抽到一男一女的概率．
参考公式：．
独立性检验临界值表：
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
20．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求的值；
（2）用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
（3）求函数在上的解析式.
21.（12分）已知斜率为1的直线与椭圆交于P，Q两点，且线段PQ的中点为，椭圆C的上顶点为.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设直线与椭圆C交于M，N两点，若直线BM与BN的斜率之和为2，证明：过定点.
22．（12分）已知函数（是自然对数的底数）.
（1）求证：；
（2）若不等式在上恒成立，求正实数的取值范围.
铁人中学2018级高二学年下学期期中考试
数学试题(文)答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
D
C
A
A
B
C
B
C
D
B
二、填空题
13. 14．. 15．充要 16.①②④
三、解答题
17. (1)10 (2)2
18．【答案】m≤﹣2或2≤m＜5
若p真：，即：；
若q真：，
， ；
∵p∨q为真，p∧q为假，
∴①当p真q假时：或，即或；
②当p假q真时：，即；
∴综上得：或.
19．【答案】（1）列联表见解析；（2）能，理由见解析；（3）.
（1）喜好体育运动的人数为：，
列联表补充如下：
喜好体育运动
不喜好体育运动
男生
20
5
女生
10
15
（2）∵．
∴能在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关．
（3）6人中有男生4人，设为，，，，女生2人，设为，，
随机抽取两人所有的情况为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种．
其中一男一女包含8种情况，故概率为．
20．【答案】（1）（2）证明见解析（3）
（1）因为当时，
所以
又因为为奇函数，所以
（2），
则
因为，所以；因为，所以
所以，即
所以函数在上单调递增
（3）当时，
所以
又因为
所以函数在上的解析式为：
21.【答案】（1）（2）见证明
【详解】（1）设点，，由于点为线段的中点
所以，
又两式作差，
所以，即；
（2）由（1）结合上顶点，椭圆的方程为，
设点，
联立得，则韦达定理得，
据题意可得
代入韦达定理得，化简得，
所以直线为，过定点，
综上，直线过定点.
22．【答案】（1）证明见解析；（2）
（1）,可得，
当，解得,
∴当时，为增函数，
当时，为减函数，
的最小值为.
.
（2）∵不等式在上恒成立，
在上恒成立，
即在上恒成立.
令，
,当时，解得,
∴当时，为减函数，
当时，为增函数，
的最小值为，
∴，
则正数的取值范围为.