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- 2021-04-15 发布
第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
2016，全国卷Ⅰ，13,5分(向量的几何意义)
2016，全国卷Ⅱ，3,5分(向量数量积的坐标运算)
2016，全国卷Ⅲ，3,5分(向量夹角问题)
2016，天津卷，7,5分(向量的数量积和线性运算)
2015，全国卷Ⅰ，15,5分(向量的数量积运算)
高考对本节内容的考查以向量的长度、夹角及数量积为主，以向量数量积的运算为载体，综合三角函数、解析几何等知识进行考查，是一种新的趋势，复习时应予以关注。以客观题为主，有时出现在解答题中。分值5～12分。
微知识 小题练
自|主|排|查
1．平面向量的数量积
(1)向量的夹角
①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角。
②范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°。
③共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向共线；若θ＝180°，则a与b反向共线；若θ＝90°，则a与b垂直。
(2)平面向量的数量积
①定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0。
②几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角。
①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2。
②模：|a|＝＝。
③夹角：cosθ＝＝。
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0。
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·。
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)。
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)。
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)。
微点提醒
1．a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别。
2．对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°时，a·b>0，所以a·b>0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b。
3．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|；若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c。但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|；若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c不一定成立，原因是a·b＝|a||b|cosθ，当cosθ＝0时，b与c不一定相等。
4．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(必修4P107例6改编)已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝4，则a与b的夹角θ＝________。
【解析】 因为a·b＝|a||b|·cosθ，
所以cosθ＝＝＝，
又因为0°≤θ≤180°，故θ＝30°。
【答案】 30°
2．(必修4P105例4改编)已知a＝(1,2)，b＝(3,4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k＝________。
【解析】 由已知a＝(1,2)，b＝(3,4)，
若互相垂直，则(a＋kb)·(a－kb)＝0，
即a2－k2b2＝0，
即5－25k2＝0，即k2＝，
所以k＝±。
【答案】 ±
二、双基查验
1．下列四个命题中真命题的个数为( )
①若a·b＝0，则a⊥b；
②若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c；
③(a·b)·c＝a·(b·c)；
④(a·b)2＝a2·b2。
A．4个 B．2个
C．0个 D．3个
【解析】 a·b＝0时，a⊥b，或a＝0，或b＝0。故①命题错。
∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0。
又∵b≠0，∴a＝c，或b⊥(a－c)。故②命题错误。
∵a·b与b·c都是实数，故(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，
∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等。故③命题不正确。
∵(a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤|a|2·|b|2＝a2·b2。故④命题不正确。故选C。
【答案】 C
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 在△ABC中，
cos∠BAC＝＝＝，
∴·＝||||cos∠BAC＝3×2×＝。故选D。
【答案】 D
3．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
【解析】 λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)。
∵λa＋b与a垂直，
∴(λa＋b)·a＝10λ＋10＝0。∴λ＝－1。故选A。
【答案】 A
4．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________。
【解析】 ∵|a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)
＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×＋4＝9
∴|a|＝3。
【答案】 3
5．(2016·大连模拟)若a，b满足|a|＝，a·(a＋b)＝1，|b|＝1，则a，b的夹角为________。
【解析】 因为|a|＝，
所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝2＋a·b＝1，
即a·b＝－1。
设a，b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝－。
因为θ∈[0，π]，
所以θ＝π。
【答案】 π
第一课时 平面向量的数量积
微考点 大课堂
考点一
平面向量数量积运算
【典例1】 (1)已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为( )
A. B.
C. D.
(2)(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A．－ B.
C. D.
【解析】 (1)|a|cosθ＝＝＝＝。故选C。
(2)如图，设＝m，＝n。根据已知得，＝m，所以＝＋＝m＋n，＝m－n，
·＝·(m－n)＝m2－n2－m·n＝－－＝。故选B。
【答案】 (1)C (2)B
反思归纳 1.当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ。
2．当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2。
【变式训练】 (1)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4。若点M，N满足＝3
eq o(MC,sup10(→))，＝2，则·＝( )
A．20 B．15
C．9 D．6
(2)(2016·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点。·的最大值为________。
【解析】 (1)在平行四边形ABCD内，易得，
＝＋，＝－，
所以·＝·
＝·
＝＝×36－×16＝12－3＝9。故选C。
(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，
设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，＝(t，－1)，＝(1,0)，所以·＝t≤1。
【答案】 (1)C (2)1
考点二
平面向量的模与夹角问题
【典例2】 (1)(2017·长沙模拟)已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝2，则|b|等于( )
A. B．2
C．5 D．25
(2)(2016·东北三校联考)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于( )
A．150° B．90°
C．60° D．30°
【解析】 (1)由a＝(1,2)，可得a2＝|a|2＝12＋22＝5。
因为|a－b|＝2，
所以a2－2a·b＋b2＝20，
所以5－2×5＋b2＝20，
所以b2＝25，所以|b|＝5。故选C。
(2)解法一：由于a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a||b|cos60°＝4＋2×2×＝6，|a＋2b|＝＝＝＝2，所以cos〈a，a＋2b〉＝＝＝，所以〈a，a＋2b〉＝30°。故选D。
解法二：∵|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12，
∴|a＋2b|＝2，
∴a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ
＝2×2cosθ＝4cosθ。
又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6，
∴4cosθ＝6，cosθ＝，θ∈[0°，180°]，
∴θ＝30°。故选D。
【答案】 (1)C (2)D
反思归纳 1.平面向量夹角的求法
若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosθ＝(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。
2．平面向量的模的解题方法
(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|＝。
(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解。
【变式训练】 (1)(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
(2)(2016·衡水中学二调)已知单位向量a，b，若a·b＝0，且|c－a|＋|c－2b|＝，则|c＋2a|的取值范围是( )
A．[1,3] B．[2，3]
C. D.
【解析】 (1)由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°。故选A。
(2)不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，所以c－a＝(x－1，y)，c－2b＝(x，y－2)，所以＋＝，即(x，y)到A(1,0)和B(0,2)的距离和为，即表示点(1,0)和 (0,2)之间的线段，|c＋2a|＝，表示(－2，0)到线段AB上点的距离，最小值是点(－2，0)到直线2x＋y－2＝0的距离，|c＋2a|min＝＝，最大值为(－2,0)到(1,0)的距离是3，所以|c＋2a|的取值范围是。故选D。
【答案】 (1)A (2)D
考点三
平面向量的垂直问题
【典例3】 (1)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A．－ B．0
C．3 D.
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2。若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________。
【解析】 (1)因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3。故选C。
(2)＝－，由于⊥，
所以·＝0，
即(λ＋)·(－)
＝－λ2＋2＋(λ－1)·
＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，λ＝。
【答案】 (1)C (2)
【变式训练】 △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
【解析】 因为＝－＝(2a＋b)－2a＝b，
所以|b|＝2，故A错误；
由于·＝2a·(2a＋b)＝4|a|2＋2a·b＝2×2×＝2，
所以2a·b＝2－4|a|2＝－2，
所以a·b＝－1，故B，C错误；
又因为(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×1×2×＋4＝0，
所以(4a＋b)⊥。故选D。
【答案】 D
微考场 新提升
1．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A．－8 B．－6
C．6 D．8
解析 由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D。
答案 D
2．(2017·衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|＝( )
A．2 B．6
C．2 D．12
解析 |4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12。∴|4a－b|＝2。故选C。
答案 C
3．(2016·成都模拟)△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足＝＝2，若||＝2，||＝3，∠BAC＝90°，则·的值为( )
A．1 B．－
C. D．－
解析 由题知＝－，＝－＝－，＝＋＝＋＝＋，
·＝·(－)＝·－2＋2－·＝－＋2＝－。故选B。
答案 B
4．(2016·合肥联考)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a方向上的投影为________。
解析 ∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×＝7，∴|a＋b|＝，cos〈a＋b，a〉＝＝＝。∴a＋b在a方向上的投影为|a＋b|·cos〈a＋b，a〉＝×
＝2。
答案 2
5．在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是________。
解析 设D(x，y)，则(x－3)2＋y2＝1，＋＋＝(x－1，y＋)，故|＋＋|＝，|＋＋|的最大值即为圆(x－3)2＋y2＝1上的点到点(1，－)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心到点(1，－)的距离加上圆的半径，即＋1＝＋1，最小值为－1＝－1，故取值范围为[－1，＋1]。
答案 [－1，＋1]
第二课时 平面向量的应用
微考点 大课堂
考点一
平面向量在函数、不等式中的应用
【典例1】 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b的夹角的大小为________。
【解析】 由题意得|a＋xb|≥|a＋b|⇔a2＋2xa·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2⇔x2＋2a·bx－1－2a·b≥0，
所以Δ＝4(a·b)2－4(－1－2a·b)≤0⇒(a·b＋1)2≤0，所以a·b＝－1，cos〈a，b〉＝＝－，即a与b的夹角为。
【答案】 π
反思归纳 平面向量沟通了几何与代数、函数、不等式的相关知识如：函数单调性、奇偶性、不等式的解法、不等式的证明、不等式的恒成立等问题必然会与平面向量相关联，以考查学生分析和解决问题的能力。
【变式训练】 (1)已知单位向量a，b，满足a⊥b，则函数f(x)＝(xa＋2b)2(x∈R)( )
A．既是奇函数又是偶函数
B．既不是奇函数也不是偶函数
C．是偶函数
D．是奇函数
(2)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2(a>0，b>0)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 (1)因为单位向量a，b，满足a⊥b，所以a·b＝0，所以f(x)＝(xa＋2b)2＝x2＋4xa·b＋4＝x2＋4。又f(－x)＝(－x)2＋4＝x2＋4＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数。故选C。
(2)因为A，B，C三点共线，所以(a－1)×(－2)＝1×b，所以2a＋b＝2。因为a>0，b>0，所以＋＝·＝2＋＋≥2＋2 ＝4(当且仅当＝，即a＝，b＝1时取等号)。故选B。
【答案】 (1)C (2)B
考点二
平面向量在平面几何中的应用……母题发散
【典例2】 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
【解析】 由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心。故选C。
【答案】 C
【母题变式】 在本典例中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P
的轨迹一定通过△ABC的________。
【解析】 由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示与，同向的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心。
【答案】 内心
反思归纳 解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系。
【拓展变式】 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆切AC边于D点，O为圆心。若||＝2||＝2，则·＝________。
【解析】 以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(分别以射线CA、CB的方向为x轴、y轴的正方向)，则C(0,0)，O(1,1)，A(3,0)。
设直角三角形的内切圆与AB边切于点E，与CB边切于点F，则由圆的切线长定理可得BE＝BF，AD＝AE＝2，设BE＝BF＝x，在Rt△ABC中，有CB2＋CA2＝AB2，即(x＋1)2＋9＝(x＋2)2，解得x＝3，故B(0,4)。
∴·＝(1，－3)·(－3,0)＝－3。
【答案】 －3
考点三
平面向量在三角函数中的应用……多维探究
角度一：平面向量在三角函数图象与性质中的应用
【典例3】 已知函数f(x)＝sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若
eq o(OA,sup10(→))·＝0，则函数f(x＋1)是( )
A．周期为4的奇函数
B．周期为4的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
【解析】 由题图可得A，B，由·＝0得－3＝0，又ω>0，∴ω＝，
∴f(x)＝sinx，
∴f(x＋1)＝sin＝cosx，它是周期为4的偶函数。故选B。
【答案】 B
角度二：平面向量在解三角形中的应用
【典例4】 (2016·山西四校联考)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C。
(1)求角C的大小；
(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且·(－)＝18，求c边的长。
【解析】 (1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)，
对于△ABC，A＋B＝π－C,00，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A等于( )
A. B.π
C.π D.π
(2)在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 (1)由题意知M，N，又·＝×π－A2＝0，
∴A＝π。故选B。
(2)由(＋)·＝||2，
得·(＋－)＝0，
即·(＋＋)＝0,2·＝0，
∴⊥，∴A＝90°。
又根据已知条件不能得到||＝||，
故△ABC一定是直角三角形。故选C。
【答案】 (1)B (2)C
考点四
平面向量在解析几何中的应用
【典例5】 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝16x D．y2＝4x
【解析】 如图，＝⇒F为线段AB的中点，∵AF＝AC，∴∠ABC＝30°，由·＝48得BC＝4，则AC＝4。∴由中位线性质有p＝AC＝2，故抛物线的方程为y2＝4x。故选B。
【答案】 B
反思归纳 向量在解析几何中的应用：
1．载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题。
2．工具作用：利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题。特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法。
【变式训练】 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0。
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值。
【解析】 (1)设P(x，y)，则Q(8，y)。
由·＝0，得||2－||2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简得＋＝1。
所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1。
(2)·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝2－2＝2－1，
P是椭圆＋＝1上的任一点，设P(x0，y0)，
则有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)，
所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17
＝－(y0＋3)2＋20。
因为y0∈[－2，2]，所以当y0＝－3时，2取得最大值20，故·的最大值为19；
当y0＝2时，2取得最小值为13－4(此时x0＝0)，故·的最小值为12－4。
【答案】 (1)＋＝1
(2)最大值为19，最小值为12－4
微考场 新提升
1．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为( )
A．1 B.
C. D．2
解析 ∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，
∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)，
∴|a－b|＝＝。
∴|a－b|的最大值为。故选B。
答案 B
2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( )
A．a⊥b B．a∥b
C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|
解析 f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b。
依题意知f(x)的图象是一条直线，
∴a·b＝0，即a⊥b。故选A。
答案 A
3．(2016·郴州质检)已知△ABC的外心P满足＝(＋)，则cosA＝( )
A. B.
C．－ D.
解析 取BC的中点D，连接AD，PD，则＝＋＝(＋)＋，
又＝(＋)，
所以＝(＋)。
由·＝(＋)·(－)＝0，
得||＝||。又＝2，所以P又是重心，所以△ABC是等边三角形，所以cosA＝cos60°＝。故选A。
答案 A
4．(2017·唐山模拟)过点A(3,1)的直线l与圆C：x2＋y2－4y－1＝0相切于点B，则·＝________。
解析 由x2＋(y－2)2＝5，可知圆心C(0,2)，半径r＝，所以|AC|＝＝，所以|AB|＝＝，所以∠ACB＝45°，所以·＝××cos45°＝5。
答案 5
5．在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，＝x＋y，且x＋y＝1。若函数f(m)＝|－m|(m∈R)的最小值为，则||的最小值为________。
解析 由＝x＋y，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以||的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f(m)＝|－m|的最小值为，
即点A到BC边的距离为。又AC＝1，所以∠ACB＝120°，从而可得||的最小值为。
答案