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- 2021-04-15 发布
第15练 直线与圆
[明考情]
直线与圆的考查主要体现在圆锥曲线的考查上，偶有单独命题，单独命题时难度中档偏难.
[知考向]
1.直线方程.
2.圆的方程.
3.直线与圆的位置关系.
考点一 直线方程
方法技巧 (1)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯.
(2)求解直线方程要考虑斜率不存在的情况.
1.设a∈R，则“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行的充要条件为即a＝±1，故a＝－1是两直线平行的充分不必要条件.故选A.
2.已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )
A.0或－ B.或－6
C.－或 D.0或
答案 B
解析 依题意，得＝.
所以|3m＋5|＝|m－7|，
所以(3m＋5)2＝(m－7)2，
所以8m2＋44m－24＝0，
所以2m2＋11m－6＝0，
所以m＝或m＝－6.
3.已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k
的取值范围是( )
A.B.∪[2，＋∞)C.(－∞，1]∪[2，＋∞) D.[1，2]
答案 B
解析 直线kx－y＋1－k＝0恒过点P(1，1)，
kPA＝＝2，kPB＝＝.
若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，结合图象(图略)得k≤或k≥2，故选B.
4.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A.3B.2C.3D.4
答案 A
解析 依题意知AB的中点M的集合是与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，
则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，
根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.
5.已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A.(0，1) B.C.D.
答案 B
解析 由消去x，得y＝，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点，结合图形知××＝，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝.因为a＞0，所以＞0，解得b＜.考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－，故选B.
考点二 圆的方程
方法技巧 求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
6.已知点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，1) B.(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(1，＋∞)
答案 A
解析 ∵点(1，1)在圆的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，
∴－1＜a＜1.
7.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为( )
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案 B
解析 设圆心坐标为(a，－a)，
则＝，即|a|＝|a－2|，
解得a＝1，
故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
8.圆心在曲线y＝(x＞0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A.(x－1)2＋(y－2)2＝5 B.(x－2)2＋(y－1)2＝5
C.(x－1)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y－1)2＝25
答案 A
解析 y′＝－，令－＝－2，
得x＝1，
平行于直线2x＋y＋1＝0的曲线y＝(x＞0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程，得切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线2x＋y＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为＝.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
9.已知圆C关于y轴对称，经过点A(1，0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C
的方程为____________.
答案 x2＋2＝
解析 因为圆C关于y轴对称，所以圆心C在y轴上，可设C(0，b)，
设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.
依题意，得解得
所以圆C的方程为x2＋2＝.
10.在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________.
答案 (x－1)2＋y2＝2
解析 直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2，－1).
当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.
考点三 直线与圆的位置关系
方法技巧 研究直线与圆的位置关系的方法
(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.
(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.
11.过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|等于( )
A.2B.8C.4D.10
答案 C
解析 由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，故选C.
12.(2017·淄博模拟)已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)，若倾斜角为45°的直线l过抛物线y2＝－12x的焦点，且直线l被圆C截得的弦长为2，则a等于( )
A.＋1B.C.2－D.－1
答案 D
解析 ∵抛物线y2＝－12x的焦点为(－3，0)，
故直线的方程为x－y＋3＝0.
∵弦长为2，圆的半径r＝2，
故圆心到直线的距离d＝1，即＝1，
结合a>0，得a＝－1，故选D.
13.(2017·日照一模)圆x2＋y2＋4x－2y－1＝0上存在两点关于直线ax－2by＋2＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值为( )
A.8B.9C.16D.18
答案 B
解析 由圆的对称性，可得直线ax－2by＋2＝0必过圆心(－2，1)，所以a＋b＝1.所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当＝，即2a＝b时取等号，故选B.
14.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A.5－4B.－1C.6－2D.
答案 A
解析 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.
15.(2016·全国Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.
答案 4
解析 设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，|AB|＝2，所以|OM|＝3，解得m＝－，由解得A(－3，)，B(0，2)，则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2，0)，D(2，0)，所以|CD|＝4.
1.直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角α的取值范围是________.
答案 ∪
解析 设直线的斜率为k，则k＝tanα＝－cosθ.
因为－1≤cosθ≤1，所以－≤－cosθ≤.
所以－≤tanα≤.
①当0≤tanα≤时，0≤α≤；
②当－≤tanα＜0时，≤α＜π.故此直线的倾斜角α的取值范围是∪.
2.已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为__________.
答案 5x－y＝0或x＋y－6＝0
解析 设直线在两坐标轴上的截距为a.
当a＝0时，直线过原点.
又直线过点P(1，5)，所以此时直线的方程为5x－y＝0.
当a≠0时，设直线的方程为＋＝1，则＋＝1，
所以a＝6，所以此时直线的方程为x＋y－6＝0.
综上，所求直线的方程为5x－y＝0或x＋y－6＝0.
3.已知过点(2，4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦长为6，则直线l的方程为________________.
答案 x－2＝0或3x－4y＋10＝0
解析 当l斜率不存在时，符合题意；
当l斜率存在时，设l：y＝k(x－2)＋4，C：(x－1)2＋(y－2)2＝10.
由题意可得2＋2＝10，
解得k＝，此时l：3x－4y＋10＝0.
综上，直线l的方程是x－2＝0或3x－4y＋10＝0.
4.直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间距离的最大值为________.
答案 ＋1
解析 △AOB是直角三角形等价于圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离等于，由点到直线的距离公式，得＝，即2a2＋b2＝2，即a2＝1－且b∈[－，].点P(a，b)与点(0，1)之间的距离为d＝＝，因此当b＝－时，dmax＝＝＋1.
解题秘籍 (1)直线倾斜角的范围是[0，π)，要根据图形结合直线和倾斜角的关系确定倾斜角或斜率范围.
(2)求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形.
(3)和圆有关的最值问题，要根据图形分析，考虑和圆心的关系.
1.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0
答案 D
解析 点(x，y)关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，2－x－2y＋1＝0⇒x＋2y－3＝0.
2.已知直线l过直线3x＋4y－2＝0与直线2x－3y＋10＝0的交点，且垂直于直线6x＋4y－7＝0，则直线l的方程为( )
A.2x－3y＋10＝0 B.2x－3y－10＝0
C.4x－6y＋5＝0 D.4x－6y－5＝0
答案 A
解析 易知直线3x＋4y－2＝0与直线2x－3y＋10＝0的交点为(－2，2)，直线l的斜率为.故直线l的方程为y－2＝(x＋2)，即2x－3y＋10＝0.
3.平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B.2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D.2x－y＋＝0或2x－y－＝0
答案 A
解析 设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，
依题意有＝，解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.
4.已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( )
A.(x＋1)2＋y2＝2 B.(x＋1)2＋y2＝8
C.(x－1)2＋y2＝2 D.(x－1)2＋y2＝8
答案 A
解析 根据题意直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1，0).因为圆与直线x＋y
＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝＝，则圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2，故选A.
5.已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a＞0)与直线y＝2x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积为时，实数a的值为( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 由题意得，圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a＞0)的圆心为C(a，a)，半径r＝1，所以圆心到直线y＝2x的距离d＝，所以弦长|PQ|＝2＝2，
所以△CPQ的面积为S＝|PQ|·d＝×2×＝＝，解得a＝.
6.(2017·咸阳二模)已知曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A.B.2C.＋1D.－1
答案 C
解析 因为圆心(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为＝>1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)到直线x－y－1＝0的距离最大值为＋1，到直线x－y－1＝0的距离最小值为点(0，0)到直线x－y－1＝0的距离，为，
所以a－b＝＋1－＝＋1，故选C.
7.已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )
A.2B.4C.6D.2
答案 C
解析 根据直线与圆的位置关系求解.
由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，
∴圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，
∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1).
∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.
∴|AB|＝6.
8.已知⊙M的圆心在第一象限，过原点O被x轴截得的弦长为6，且与直线3x＋y＝0相切，
则圆M的标准方程为____________________.
答案 (x－3)2＋(y－1)2＝10
解析 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(a＞0，b＞0，r＞0)，由题意知，
解得
故⊙M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
9.已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是________________.
答案
解析 因为已知直线过点(－2，0)，
那么圆的方程x2＋y2＝2x配方为(x－1)2＋y2＝1，表示的是圆心为(1，0)，半径为1的圆，
设过点(－2，0)的直线的斜率为k，
则直线方程为y＝k(x＋2)，则圆心到直线的距离等于圆的半径1，即d＝＝1，化简得8k2＝1，
所以k＝±，
然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候，
可知斜率的取值范围是.
10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有三个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的值为________.
答案 ±13
解析 因为圆心到直线12x－5y＋c＝0的距离为，
所以由题意得＝1，c＝±13.
11.(2017·兰州一诊)已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)，t>0，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是______________.
答案
解析 设P(a，b)为圆上一点，由题意知，·＝0，即(a＋t)(a－t)＋b2＝0，a2－t2＋b2＝0，t2＝a2＋b2＝|OP|2，当直线OP过圆C的圆心时，|OP|最大，|OP|max＝2＋1＝3，kOP＝，所以OP所在直线的倾斜角为30°，所以点P的纵坐标为，点P的横坐标为3×＝.
12.圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和圆x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则＋的最小值为________.
答案 1
解析 由题意知两圆外切，
两圆的标准方程分别为(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－2b)2＝1，
∴＝3，
∴a2＋4b2＝9，
∴＋＝×＝≥1，当且仅当＝时取等号.