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- 2021-04-15 发布
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育才学校 2020 届高三年级上学期第三次月考
文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。请在答题卷上作答。
第 I 卷 （选择题 共 60 分）
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。)
1.已知 i 是虚数单位， ，则
A. 10 B. C. 5 D.
2.已知全集 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知偶函数 的图象经过点 ，且当 时，不等式 恒成立，则使得 成立
的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 为数列 的前 项和,其中 表示正整数 的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有 ，则 ；
的因数有 ，则 .那么 （ ）
A. B. C. D.
5.已知 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 ，则 AB 边上的中线的长为
A. B. C. 或 D. 或
6.执行如图所示的程序框图,则输出的 n 值是（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
7.已知函数 ，若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根， 则实数 的取值范围是
A. B. ， C. ， D. ，
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8.关于函数 2 3 14y sin x
，下列叙述有误的是( ）
A. 其图象关于直线
4x 对称
B. 其图象关于点 ,112
对称
C. 其值域是 1,3
D. 其图象可由 214y sin x
图象上所有点的横坐标变为原来的 1
3
得到
9.若函数 是幂函数，且其图象过点 ，则函数 的单调增区间为（ ）
A. B. C. D.
10.函数 ， 的图象大致是（ ）
11.记不等式组
6
20
xy
xy
…
表示的平面区域为 D ，命题 : ( , ) ,2 9p x y D x y … ；命题
: ( , ) ,2 12q x y D x y „ .给出了四个命题：① pq ；② pq ；③ pq ；④ pq ，这四个命题
中，所有真命题的编号是（ ）
A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ③④
12.设函数 是定义在 上周期为 的函数，且对任意的实数 ，恒 ，当 时，
．若 在 上有且仅有三个零点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第 II 卷（非选择题 90 分）
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。)
13.在 中，角 所对的边分别为 ，且 ， ， ， ，
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则 _________.
14.记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 2
1 4 6
1
3a a a， ，则 S5=____________．
15.已知 ，则 ______．
16.已知命题 “ ”.若命题 是假命题，则实数 的取值范围是_____________.
三、解答题 (共 6 小题 ,共 70 分。)
17. （12 分）已知集合 ；设 ，
若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
18. （12 分）在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 ．
求 的值；
若 ，求 的面积 S 的最大值．
19. （12 分）已知函数 fx的图象与函数 1h x x x 的图象关于点 0,1A 对称.
（1）求函数 fx的解析式；
（2）若 g x xf x ax，且 gx在区间 0,4 上为减函数，求实数 a 的取值范围.
20. （10 分）某工厂加工一批零件，加工过程中会产生次品，根据经验可知，其次品率 与日产量 （万件）
之间满足函数关系式 ，已知每生产 1 万件合格品可获利 2 万元，但生产 1 万件次品将亏损
1 万元.(次品率=次品数/生产量）.
（1）试写出加工这批零件的日盈利额 （万元）与日产量 （万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少？
21. （12 分）已知数列 为等比数列，其前 n 项和为 若 ，且 是 ， 是的等比中
项．
求数列 的通项公式；
若 ，求数列 的前 n 项和 ．
22.（12 分）已知函数 23 xf x e x， 91g x x.
（1）求函数 4xx xe x f x 的单调区间；
（2）比较 fx与 gx的大小，并加以证明。
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参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B C C C C A B B D A C
13.
14.
15.0
16.
17.
解 分别求出关于 M，N 的范围，根据集合的包含关系得到关于 a 的不等式组，解出即可．
∵log2（2x﹣2）＜1，
∴0＜2x﹣2＜2，解得：1＜x＜2，
故 M={x|1＜x＜2}，
∵x2+（3﹣a）x﹣2a（3+a）＜0，a＜﹣1，
∴（x+a+3）（x﹣2a）＜0，
∵a＜﹣1，∴2a＜﹣3﹣a，
故 N={x|2a＜x＜﹣3﹣a}，
∵p 是 q 的充分不必要条件，
∴ ，
①②中等号不同时成立，
即 a≤﹣5．
18.（1） ；（2） .
解 ，B，C 是三角形的内角，且满足 ，
，
．
则 ；
．
，b，c 是 的边，且 ，
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．
的面积 S 的最大值为 ．
19.（1） 1 2x x；（2） , 10 .
解（1）∵ fx的图象与 hx的图象关于点 0,1A 对称，设 fx图象上任意一点坐标为 ,B x y ，其
关于 0,1A 的对称点 ,B x y ，
则
02{
12
xx
yy
∴{ 2
xx
yy
∵ ,B x y 在 hx上，∴ 1yxx
.
∴ 12 yxx ，∴ 1 2yxx ，
即 1 2f x x x .
（2）∵ g x xf x ax 2 21x a x 且 gx在 0,4 上为减函数，
∴ 2 42
a ，
即 10a .
∴ a 的取值范围为 , 10 .
20.（1） （2）当日产量为 4 万元时可获得最大利润 万元
解 (1)当 时，
当 时，
所以函数关系为 ；
(2) 当 时，
所以当 时 取得最大值 2
当 时， ，
所以在 函数单调递减，所以当 时， 取得最大值 ，
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又 所以当日产量为 4 万元时可获得最大利润 万元.
21.（1） ；（2） .
解 数列 为公比为 q 的等比数列．
若 ，且 是 ， 是的等比中项，
可得 ，
即为 ，解得 舍去 ，
则 ；
，
则前 n 项和 ，
，
两式相减可得
，
化简可得 ．
22.（1） x 在 ,ln2 上单调递增，在 ln2,2 上单调递减，在 2, 上单调递增.（2） f x g x
解（1） ' 2 2xx x e ，
令 '0x ，得 1 ln2x ， 2 2x ；
令 '0x ，得 ln2x 或 2x ；
令 '0x ，得ln2 2x.
故 x 在 ,ln2 上单调递增，在 ln2,2 上单调递减，在 2, 上单调递增.
（2） f x g x .
证明如下：
设 h x f x g x 23 9 1xe x x ，∵ ' 3 2 9xh x e x 为增函数，
∴可设 0'0hx ，∵ ' 0 6 0h ， ' 1 3 7 0he ，∴ 0 0,1x .
当 0xx 时， '0hx ；当 0xx 时， '0hx .
∴ 0minh x h x 0 2
003 9 1xe x x ，
又 0
03 2 9 0xex ，∴ 0
03 2 9xex ，
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∴ 2
0 0 0min 2 9 9 1h x x x x 2
0011 10xx 001 10xx .
∵ 0 0,1x ，∴ 001 10 0xx ，
∴ min 0hx ， f x g x .