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- 2021-04-15 发布
数学试卷
一、选择题
1.集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是( )
A. 7 B. 8 C. 16 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
首先用列举法表示集合，含有个元素的集合的真子集的个数是个.
【详解】，集合含有3个元素，
真子集的个数是，
故选A.
【点睛】本题考查集合的真子集个数的求解，属于基础题型，一个集合含有个元素，其子集个数是个，真子集个数是个.
2.已知集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|y=lg（x﹣2）}，则A∩（∁RB）=（ ）
A. （2，4） B. （﹣2，4） C. （﹣2，2） D. （﹣2，2]
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得集合B,再进行补集和交集的运算即可．
【详解】B={x|x＞2}；
∴∁RB={x|x≤2}；
∴A∩（∁RB）=（﹣2，2]．
故选D．
【点睛】本题考查描述法表示集合，交集和补集的运算．
3.若函数，则（）
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
结合分段函数解析式，判断各自变量所在的区间及所对应的解析式运算即可.
【详解】解：由分段函数解析式可得，
又，即，
故选A
【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了运算能力，属基础题.
4.已知函数，若，则实数=（ ）
A. -3 B. -1 C. -3或-1 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，从而，对，讨论，分别代入分段函数即可求出实数的值．
【详解】解：∵函数，
当时，，解得，不成立，
当时，，解得．
∴实数的值等于−3．
故选A．
【点睛】本题考查已知函数值求自变量，注意对分段函数要进行分类讨论，是基础题．
5. 下列哪组中两个函数是相等函数（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得，选项A中：函数的定义域为，函数的定义域为，所以不是相同的函数；选项B中，函数的定义域为且，函数的定义域为，所以不是相同的函数；选项C中，函数的定义域为，的定义域为且，所以不是相同的函数，故选D.
考点：相等函数的概念.
6.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据求具体函数的基本原则：分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数中真数为正数列不等式解出的取值范围，即为函数的定义域．
【详解】由题意可得，即，解得，
因此，函数的定义域为，故选D.
【点睛】本题考查具体函数的定义域的求解，求解原则如下：
（1）分式中分母不为零；
（2）偶次根式中被开方数非负；
（3）对数中真数大于零，底数大于零且不为；
（4）正切函数中，；
（5）求定义域只能在原函数解析式中求，不能对解析式变形.
7.若函数满足,则的解析式是( )
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：设
,故选B.
考点：换元法求解析式
8.设是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用求得，从而得到时解析式，利用求得结果.
【详解】是定义在上的奇函数 ，解得：
当时，
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据函数奇偶性求解函数值，关键是利用奇函数在处有意义时，求得函数解析式.
9.在同一坐标系中，函数与的图象都正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把两个函数的解析式运用指数运算的公式和对数运算的公式，化简为指数函数和对数函数的解析式形式，然后选出正确答案.
【详解】因为，所以函数单调递减，排除B，D.
因为，所以函数单调递减.排除C.
故本题选A.
【点睛】本题考查了对数的运算公式和指数的运算公式，考查了指数函数图象和对数函数图象的识别.
10.已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由f（﹣x）＝f（x）可得f（x）为偶函数，结合函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）上递减，进而又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，分析可得答案．
【详解】解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，
又由函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f（x）在（0，+∞）上递减，
a＝f（3）＝f（log23），b＝f（2﹣1.2），c＝f（）＝f（2﹣1），
又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，
则b＞c＞a，
故选B．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．
11.是定义在上的减函数，则的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由一次函数的单调性以及端点处的函数值的关系结合分段函数的单调性即可得到的范围.
【详解】解：要使得在上是单调减函数
需满足，解得
故选:B.
【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，属于中档题.
12.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据奇偶性可得，在上单调递减，由可得，解得范围即可
【详解】由题意，是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则在上单调递减，因为，则离轴更近，即，则，即，故选C
【点睛】本题考查偶函数的单调性，根据单调性由函数值的大小关系来判断自变量的大小关系．
二、填空题
13.已知集合，，若则实数的值为________
【答案】1
【解析】
由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．
点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．
（3）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解．
14.若函数是偶函数，则等于____.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用偶函数的定义可得实数的值.
【详解】由于函数是偶函数，
所以即，
所以恒成立，所以.
【点睛】含参数的奇函数、偶函数中参数的确定，可以利用代数式恒成立或取特殊值来求其值，后者注意检验.
15.函数,的图象必过定点______________
【答案】
【解析】
分析】
根据确定函数图象定点.
【详解】因为，所以当时，，即过定点
【点睛】本题考查指数函数性质，考查基本化简应用能力.
16.定义在上的奇函数，若函数在上为增函数，且，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
不等式转化为 或 ，再根据函数的图象求不等式的解集.
【详解】
由题意得到与异号，
故不等式可转化为：或， 根据题意可作函数图象，如图所示：
由图象可得：当时，，；当时，，，
则不等式的解集是．
【点睛】本题考查利用函数性质和图象求解不等式的解集，意在考查数形结合分析问题的思想，属于基础题型.
三、简答题
17.已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.
(1)求A∪B，(∁UA)∩B； (2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
【答案】(1)；；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：(1)根据数轴表示集合的交集，并集，和补集；交集就是两个集合的公共元素组成的集合，并集就是两个集合的所有元素组成的集合，补集就是属于全集，但不属于此集合的元素组成的集合；
（2）同样是利用数轴，表示集合A和C,若有公共元素，表示端点值.
试题解析：解 (1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|18}，
∴(CUA)∩B＝{x|1