【数学】福建省莆田第一中学2020届高三10月月考（理） 12页

福建省莆田第一中学2020届高三10月月考（理）‎ 一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1．已知全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）‎ A． 　　　 B． 　　　 C． 　　　D．‎ ‎3．设满足约束条件则的最小值为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A．8 B．16 C．24 D．48‎ ‎5．下列说法中正确的是（ ）‎ A．若样本数据，，，的平均数为5，则 样本数据，，，的平均数为10‎ B．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60‎ C．某种圆环形零件的外径服从正态分布(单位：)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为，则这批零件不合格 D．对某样本通过独立性检验，得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有的人可能患肺病 ‎6．已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ）‎ A．15 B．22 C．25 D．27‎ ‎7．下列说法正确的是（ ）‎ A．若，则 ‎ B．若，则或 C．“”是“”的充分不必要条件 ‎ D．“，”的否定形式是“，”‎ ‎8．已知函数，则在的图像大致为（ ）‎ ‎9．如图，在平面四边形中，，，．将该四边形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设函数是定义在R上的增函数，则实数 a的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数在区间上单调递减,则的取值范围是（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．已知函数 ，则函数的零点个数为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题(本大题共有4个小题,每题5分,共20分)‎ ‎13．已知向量，，且，则__________． ‎ ‎14．若，则的值为________．‎ ‎15．若实数，，则的最小值是__________．‎ 16． 已知函数，，若成立，则的最小值是__________．‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时要求写出必要文字说明或步骤)‎ ‎17．已知函数（），是偶函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数在区间的最大值．‎ ‎18．如图，在三棱锥中，底面，，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积．‎ ‎19．已知椭圆：的一个顶点为，且焦距为2，直线交椭圆于、两点（点、与点不重合），且满足．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）为坐标原点，若点满足，求直线的斜率的取值范围．‎ ‎20．已知函数（为自然对数的底数）．‎ ‎（I）证明：当时，方程在区间上只有一个解； ‎ ‎（II）设，其中．若恒成立，求的取值范围．‎ 21. 已知函数有两个极值点．‎ ‎（1）求实数的范围；‎ ‎（2）设函数的两个极值点分别为，且，求实数的取值范围．‎ 请从下面所给的22、23中选定一题作答,多答按所答第一题评分.‎ ‎22．【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 以直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的参数方程为（为参数），曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点．‎ ‎（1）求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线与曲线相交于，两点，若，求实数的取值范围．‎ ‎23．【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题： 1-12、CDCBC CBCBD BB 二、填空题：13. 14. 15. 9 16. ‎ ‎ 三、解答题：‎ ‎17.解（1）依题意，……2分 ‎．………3分 因为是偶函数，所以．……5分 又因为，所以．……6分 ‎（2）由（Ⅰ）得，，．……8分 ‎．………10分 时，，‎ 故函数在区间的最大值为．………12分 ‎18.解：（1）在中，由余弦定理得，则．因为为的中点，则．(2分)‎ 因为，则 ‎，所以．(4分)‎ 因为，则．(5分)‎ 因为底面，则，所以平面，从而．(6分)‎ ‎（2）分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 设，则点，，．‎ 所以，．(8分)‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，则，，所以．(9分)‎ 因为为平面的法向量，‎ 则，即．‎ 所以，解得，所以．(11分)‎ 所以．(12分)‎ ‎19.解：（1）依题意，，，则，‎ 解得，所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）当直线垂直于轴时，由消去整理得，‎ 解得或2，此时，直线的斜率为0；‎ 当直线不垂直于轴时，设，，直线：，‎ 由，消去整理得，‎ 依题意，即，‎ 且，，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，解得满足，‎ ‎∴，故．‎ 故直线的斜率，‎ 当时，，此时；‎ 当时，，此时；‎ 综上，直线的斜率的取值范围为．‎ ‎20. （I）设，.‎ ‎，当时，，因此函数在区间上单调递增.‎ 且，.‎ 所以，在区间上只有一个零点，方程在区间上只有一个解.‎ ‎（Ⅱ）设，，定义域为，‎ ‎ ，‎ 令，则，‎ 由（I）知，在区间上单调递增，且只有一个零点，‎ 不妨设的零点为，则，‎ 所以，与在区间上的情况如下：‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ 所以，函数的最小值为，，‎ 由，得，所以.‎ 依题意，即，解得。所以，的取值范围为.‎ ‎21.解：．由得，．‎ 令，则直线与曲线有且只有两个交点。‎ 因为，当时， ，单调递减；当时， ，单调递增。且当时，；当时，。 ‎ 所以。 ‎ ‎（2）依题意得：，（）.‎ 两式相除可得：. 令（），则.‎ 所以，则. ‎ 令（），. 令（），. 所以在单调递减，所以，‎ 即，因此在单调递减，所以，故．‎ 又因为，在单调递减，所以．‎ 21. 解：（1）由题意知，曲线的直角坐标方程为．‎ 设点，．由中点坐标公式得，代入中，‎ 得点的轨迹的直角坐标方程为．‎ ‎（2）直线的普通方程为，由题意可得，解得，‎ 即实数的取值范围是．‎ ‎23．解：（1）当时，，当时，由得 ‎，解得；‎ 当时，无解；当时，由得，解得，所以的解集为．‎ （2） 等价于当时，等价于，由条件得且，即．‎ 故满足条件的的取值范围为．‎