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- 2021-04-15 发布
数学试卷
一、选择题：
1.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数运算法则求解即可.
【详解】 ．故选 D．
【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想
解题．
2.“ ”是“ ”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 与 互相推出的结果判断出 是 的何种条件.
【详解】因为 时， ，所以 不一定成立，
又因为 时， ，所以 一定成立，
所以 是 的必要非充分条件.
故选 B.
【点睛】根据若 则 的形式，如果 ，则 是 的充分条件，反之则是非充分条件；
如果 ，则则 是 的必要条件，反之则是非必要条件.
3.已知空间向量 1， ， ，且 ，则
A. B. C. 1 D. 2
(1 i) 2iz + = z =
1 i− − 1+i− 1 i− 1+i
( )
(
2i 2i 1 i 1 i1 i 1 i 1 i)( )z
−= = = ++ + −
2a < 2 2 0a a− <
2a < 2 2 0a a− < 2a < 2 2 0a a− <
2a < 2 2 0 0 2a a a− < ⇔ < < 2 2 0a a− <
2 2 0a a− < 0 2a< < 2a <
2a < 2 2 0a a− <
p q p q⇒ p q
q p⇒ p q
(3,a = 0) ( ), 3,1b x= − a b⊥ (x = )
3− 1−
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于 x 的方程，即可求解 x 的值．
【详解】由题意知，空间向量 1， ， ，且 ，
所以 ，所以 ，即 ，解得 .
故选 C．
【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记
向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，
属于基础题.
4.设等差数列 的前 项之和为 已知 ，则 （ ）
A. 12 B. 20 C. 40 D. 100
【答案】B
【解析】
分析：由等差数列的通项公式可得 ，由 可得 ，从
而可得结果.
详解：由等差数列的前 项和的公式得：
，
即 ，
从而 ，故选 B.
点睛：本题主要考查数列的通项公式与求和公式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基
础题.
5.抛物线 的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
a (3, = 0) ( )b x, 3,1= − a b⊥
a b 0⋅ = 3 1 ( 3) 0 1 0x + × − + × = 3x 3 0− = x 1=
{ }na n ,nS 10 100S = 4 7a a+ =
4 7a a+ 12 9a d= + 10 100S = 12 9 20a d+ =
n
10 1
10 910 1002S a d
×= + =
12 9 20a d+ =
4 7 1 1 13 6 2 9 20a a a d a d a d+ = + + + = + =
2y x=
1(0, )2
1(0, )4
1( ,0)2
1( ,0)4
焦点坐标是 ,选 B.
6.数列 的前 项和为 ，若 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将数列 的通项公式化简变形,结合裂项法即可求得 .
【详解】数列 的前 项和为 ,若
则
所以
故选:C
【点睛】本题考查了裂项求和法的应用,属于基础题.
7.设 .若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比中项定义,可得 等量关系.结合基本不等式中“1”的代换,即可求得 的最小值.
2x y= 10, 4
{ }na n nS 1
( 1)na n n
= + 2019S
2018
2019
2017
2019
2019
2020
2018
2020
{ }na 2019S
{ }na n nS 1
( 1)na n n
= +
1 1
1na n n
= − +
2019 1 2 3 2018 2019S a a a a a= + + +⋅⋅⋅ +
1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2018 2019 2019 2020
= − + − + − ⋅⋅⋅+ − + −
1 20191 2020 2020
= − =
0, 0a b> > 2 2a 4b 1 1
a b
+
3 2 2+ 3 6 2 5 2
,a b 1 1
a b
+
【详解】根据等比中项定义,可知
化简可得
所以
因为 .
则
当且仅当 时取等号,即
故选:A
【点睛】本题考查了等比中项定义简单应用,基本不等式求最值,属于中档题.
8.已知双曲线 ，双曲线 的左、右焦点分别为 、
，双曲线 、 的离心率相同.若 是双曲线 一条渐近线上的点，且 （
为原点），若 ，则双曲线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线 可求得其离心率,两个双曲线的离心率相等可得双曲线 中 的关系;由双曲
( )2
2 24a b⋅ =
22 2a b+ =
2 1a b+ =
0, 0a b> >
1 1
a b
+
( )21 1 ba ab
= + ⋅ +
23 b a
a b
= + +
23 2 3 2 2b a
a b
≥ + ⋅ = +
2b a
a b
= 22 1, 1 2a b= − = −
2
2
1 : 14
xC y− = 2 :C ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 1F
2F 1C 2C M 2C 2OM MF⊥ O
2
16OMFS∆ = 2C
22
136 9
x y− =
2
2 14
x y− =
22
116 4
x y− =
22
164 16
x y− =
1C 2C ,a c
线的渐近线方程,结合点到直线距离公式可求得 ,表示出 ,再根据 求得
的关系,结合双曲线中 解方程组即可求得 ,进而得双曲线 的方程.
【详解】双曲线
则其离心率为
设 ,双曲线 的一条渐近线方程为 ,即
则
由 可得 ,所以
又因为双曲线 、 的离心率相同
则 , 解方程组可得
所以双曲线 的方程为
故选:D
【点睛】本题考查了双曲线性质的简单应用,双曲线标准方程的求法,属于中档题.
二.填空题：
9.命题 ： . 则 为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据全称量词的否定,即可得解.
2MF OM 2
16OMFS∆ =
,a b 2 2 2c a b= + 2 2,a b 2C
2
2
1 : 14
xC y− =
1
4 1 5
4 2e
+= =
( )2 ,0F c 2C by xa
= 0bx ay− =
2 2 2
bcMF b
a b
= =
+
2 2OM c b a= − =
2
16OMFS∆ = 1 162 ab = 32ab =
1C 2C
2
2 2 2
5
2
32
ce a
c a b
ab
= =
= +
=
2 264, 16a b= =
2C
22
164 16
x y− =
p 2(0, ), 2 1x x x∀ ∈ +∞ ≥ + p¬
2(0, ), 2 1x x x∃ ∈ +∞ < +
【详解】命题 ：
由全称量词的否定可得命题 :
故答案为:
【点睛】本题考查了全称命题的否定形式,属于基础题.
10.已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线为 2x﹣y=0，则该双曲线的离心率
为 ．
【答案】 或
【解析】
试题分析：当双曲线焦点在 x 轴上时，可设标准方程为 （a＞0，b＞0），此时渐近
线方程是 ，与已知条件中的渐近线方程比较可得 b=2a，最后用平方关系可得 c= a，
用公式可得离心率 e= = ；当双曲线焦点在 y 轴上时，用类似的方法可得双曲线的离心率为
．由此可得正确答案．
解：（1）当双曲线焦点 x 轴上时，
设它 标准方程为 （a＞0，b＞0）
∵双曲线的一条渐近线方程是 2x﹣y=0，
∴双曲线渐近线方程是 ，即 y=±2x
∴ ⇒b=2a
∵c2=a2+b2
∴ = = a
所以双曲线的离心率为 e= =
（2）当双曲线焦点在 y 轴上时，
设它的标准方程为 （a＞0，b＞0）
在
的
p 2(0, ), 2 1x x x∀ ∈ +∞ ≥ +
p¬ 2(0, ), 2 1x x x∃ ∈ +∞ < +
2(0, ), 2 1x x x∃ ∈ +∞ < +
采用类似（1）的方法，可得 ⇒
∴ = =
所以双曲线的离心率为 e= =
综上所述，该双曲线的离心率为 或
故答案为 或
考点：双曲线的简单性质．
11.已知等比数列 中， ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
先将式子通分化简，结合等比数列通项公式化简，可得关于 的一元二次方程.解得 的值，代
入 中检验 值是否符合要求，舍去不符合要求的解.
【详解】等比数列 中， ，
通分可得 ，
即 ，
所以由等比数列通项公式可知 ，
化简可得 ，
解得 或 ，
当 时 ，与 矛盾，
当 时， ，解得 ，
综上可知， ，
{ }na 2
1 2 3
2 1 1 9, 2Sa a a
+ = = q =
1
2
q q
2
9
2S = q
{ }na
1 2 3
2 1 1
a a a
+ =
2 3 3 2
2 3 2 3
1 1
1 31 21
2a a a a a a
a a a a a a a a a
+ =
12 3 3 212a a a a a a+ =
2 3 2 2 2
1 1 12a q a q a q+ =
22 1 0q q+ − =
1
2q = 1q = −
1q = − 2 1 2 1 1 0S a a a a q= + = + = 2
9
2S =
1
2q = 2 1 2 1 1
94 2S a a a a= + = + = 1 3a =
1
2q =
故答案为: .
【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用，注意检验所求的公比是否符合题意，属
于基础题.
12.以下五个命题中：
①若 ，则 的取值范围是 ；
②不等式 ，对一切 x 恒成立，则实数 的取值范围为 ；
③若椭圆 的两焦点为 、 ，且弦 过 点，则 的周长为 16；
④若常数 ， ， ， 成等差数列，则 ， ， 成等比数列；
⑤数列 的前 项和为 = +2 －1，则这个数列一定是等差数列.
所有正确命题的序号是_____________.
【答案】④
【解析】
【分析】
对于①由不等式性质可判断;对于②讨论当 和 两种情况,即可判断;对于③根据椭
圆方程求得 ,求得 的周长, 即可作出判断;对于④由等差中项与等比中项定义和性质,
即可判断;对于⑤根据数列中 ,结合首项即可判断数列 是否为等差数列.
【详解】对于①, ,则 ,所以 ,故①错误;
对于②,当 时,不等式变为 ,对一切 x 恒成立,所以 成立;当 时,由二
次函数的性质可知 ,解得 .综上可知 ,故②错误;
对于③,椭圆 .则 .弦 过 点,则 的周长为 ,故③错
1
2
3
2 4
π α β π< < < α β−
4 4
π πα β− < − <
2 2 1 0ax ax− + > R∈ a 0 1a< <
2 2
5 116 2
x y+ = 1F 2F AB 1F 2ABF∆
0m > a b c am bm cm
{ }na n nS 2n n
0a = 0a ≠
a 2ABF∆
1n n na S S −= − { }na
3
2 4
π α β π< < <
0
3
2 4
3
2 4
α β
π α π
π β π
− <
< <
< <
04
π α β− < − <
0a = 1 0> R∈ 0a = 0a ≠
2
0
4 4 0
a
a a
>
∆ = − < 0 1a< < 0 1a≤ <
2 2
5 116 2
x y+ = 5a = AB 1F 2ABF∆ 4 4 5 20a = × =
误;
对于④, , , 成等差数列则 .常数 ,则 ,所
以 , , 成等比数列,故④正确;
对于⑤,数列 的前 项和为 ,当 时,代入解得 .当 时,由
可得 ,化简可得 .且
,所数列 是从第二项开始的等差数列.故⑤错误.
综上可知,正确的为④.
故答案为: ④
【点睛】本题考查了不等式性质的简单应用,一元二次不等式恒成立问题,椭圆中焦点三角形的
周长求法,等差中项与等比中项的简单应用,根据 求通项公式及等差数列的判断,
综合性强,属于中档题.
13.《张丘建算经》卷上第 题中 “女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，
而且每天增加的数量相同.已知第一天织布 尺， 天共织布 尺，则该女子织布每天增加
______________尺.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知,该女子每天织布的量成等差数列,由等差数列的前 n 项和公式即可求得解.
【详解】由题意可知, 该女子每天织布的量成等差数列,
设该女子每天织布增加 尺.
由等差数列的前 n 项和公式
代入可得
解得
所以该女子织布每天增加 尺
a b c 2b a c= + 0m > ( )22a c a c b bm m m m m+⋅ = = =
am bm cm
{ }na n 2 2 1nS n n= + − 1n = 1 2S = 2n ≥
1n n na S S −= − ( ) ( ) ( )22 2 1 1 2 1 1na n n n n = + − − − + − − 2 1na n= +
1 1S a≠ { }na
1n n na S S −= −
22
5 30 390
16
29
d
( )
1
1
2n
n n dS na
−= +
30 29390 30 5 2
d×= × +
16
29d =
16
29
故答案为:
【点睛】本题考查了等差数列前 n 项和公式的简单应用,属于基础题.
14.已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点
和 ,若 是 、 的等比中项, 是 与 的等差中项,则椭圆的离心率是
________.
【答案】
【解析】
【详解】因为椭圆 与双曲线 有相同的焦点，
所 以 ， ① ， ② ， ③ 将
代 入 得 ， 代 入
得 ，再代入 得 ，得 ，故答案
为 .
【 方法点睛】本题主要考查椭圆与双曲线简单性质及椭圆的离心率，属于难题.离心率的求解
在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，
从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④
根据圆锥曲线的统一定义求解．本题的解答，是利用方法①直接求出 ，进而求出离心率
的．
三、解答题：
15.已知递增的等比数列 满足 且 是 的等差中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 是数列 的前 项和，求 的值．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
16
29
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
2 2 1x y
m n
− = ( 0, 0)m n> >
( ,0)c− ( ,0)c c a m 2n 22m 2c
1
2
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
2 2 1x y
m n
− = ( 0, 0)m n> >
2 2 2 2 2c a b m n= − = + 2c am= 2 2 22 2n m c= +
2 2 2 2 2c a b m n= − = + 2 2 22 2 3n m c= + = 2 2 22 3n m n= + 3n m∴ =
2 2 22 2 3n m c= + = 2c m= 2 2c am= = 4a m= 2 1= 4 2
c me a m
= =
1
2
,a c
e ,a c e
,a c e
{ }na 3 8,a = 3 2a + 2 4,a a
{ }na
2 1log ,n n nb a S+= { }nb n 20S
2n
na = 20 230S =
（1）根据等差中项性质,结合等比数列通项公式,解方程组即可求得公比 .由等比数列 为
递增数列舍去不符合要求的 .将符合要求的 代入方程可得 ,进而得数列 的通项公式;
（2）根据对数运算化简即可求得数列 的通项公式,结合等差数列的前 n 项和公式即可求
得 的值.
【详解】（1）等比数列 为递增数列,等差中项性质可得
结合等比数列通项公式可得
解方程组可得 或
当 数列 为递减数列,不符合题意
所以 ,代入可得
所以
即
（2）由（1）可得
则
为数列 的前 项和
所以由等差数列前 n 项和公式可得
即
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用,等差中项的应用,等差数列前 n
项和的简单应用,属于基础题.
16.解关于 不等式：
【答案】当 时， ；当 时， ；当 时， ；当
q { }na
q q 1a { }na
{ }nb
20S
{ }na
( )3 2 42 2a a a+ = +
( )
2
1
1
8
2 8 2 8
a q
a q q
= + = +
1
2q = 2q =
1
2q = { }na
2q = 1 2a =
12 2 2n n
na −= × =
2n
na =
1
1 2n
na +
+ =
1
2 1 2log log 2 1n
n nb a n+
+= = = +
nS { }nb n
20
20 19 120 2 2302S
× ×= × + =
20 230S =
x 2 ( 1) 1 0ax a x− + + < ( )a R∈
0a < 1( , ) (1, )a
−∞ ∪ +∞ 0a = (1, )+∞ 0 1a< < 1(1, )a
时， ；当 时，
【解析】
试题分析：
当 时， ；当 时，
当 时， ；当 时， ；当 时，
考点：解不等式
点评：本题中的不等式带有参数，在求解时需对参数做适当的分情况讨论，题目中主要讨论
的方向是：不等式为一次不等式或二次不等式，解二次不等式与二次方程的根有关，进而讨
论二次方程的根的大小
17.已知抛物线 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，它与双曲线 ： 交
于点 ，抛物线 的准线过双曲线 的左焦点.
（1）求抛物线 与双曲线 的标准方程；
（2）若斜率为 的直线 过点 且与抛物线只有一个公共点，求直线 的方程.
【答案】（1）抛物线方程为 ;双曲线的方程为 .（2）直线 的方程为
或
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线 的准线过双曲线 的左焦点,可知抛物线开口向右,则设抛物线方程为
,代入 即可求得抛物线方程;由抛物线方程可得抛物线的准线方
程,进而得双曲线的 ,由双曲线中 的关系及代入 ,解方程可求得 ,即可得
双曲线的标准方程.
（2）讨论直线 的斜率 和 两种情况:当 时一定成立,由所过定点坐标可得直线
方程;当 时,联立直线与抛物线方程,由判别式 即可求得斜率 ,再由点斜式可得直线
1a = φ 1a > 1( ,1)a
( 1)( 1) 0ax x− − <
0a < 1( , ) (1, )a
−∞ ∪ +∞ 0a = (1, )+∞
0 1a< < 1(1, )a 1a = φ 1a > 1( ,1)a
C 'C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
3( , 6)2A C 'C
C 'C
k l (0,1)P l
2 4y x=
2
2 44 13
yx − = l
1y = 1y x= +
C 'C
( )2 2 , 0y px p= > 3 , 62A
c , ,a b c 3 , 62A
2 2,a b
l 0k = 0k ≠ 0k =
0k ≠ 0∆ = k
方程.
【详解】（1）因为抛物线 的准线过双曲线 的左焦点,
设抛物线方程为
由抛物线过 ,代入可得
解得 ,所以抛物线方程为
抛物线的准线方程为 ,所以双曲线的
同时将 代入双曲线方程,即 解方程组可得
所以双曲线的标准方程为
（2）斜率为 的直线 过点 且与抛物线只有一个公共点
当 时,直线方程为 ,满足题意
当 时,直线 可设为
则 ,化简可得
由与直线 抛物线只有一个公共点
可得
解得 ,所以直线 的方程为
综上可得直线 的方程为 或
【点睛】本题考查了抛物线标准方程与双曲线标准方程的应用,直线与抛物线位置关系的应用,
属于基础题.
18.在如图所示的几何体中，四边形 是菱形， 是矩形，平面 平面
. ， ， 且点 为 的中点．
C 'C
( )2 2 , 0y px p= >
3 , 62A
36 2 2p= × ×
2p = 2 4y x=
1x = − 1c =
3 , 62A
2 2
2 2
1
9 6 14
a b
a b
+ = − =
2 21 3,4 4a b= =
2
2 44 13
yx − =
k l (0,1)P
0k = 1y =
0k ≠ l 1y kx= +
2
1
4
y kx
y x
= +
=
( )2 2 2 4 1 0k x k x+ − + =
l
( ) 2 22 4 4 0k k∆ = − − =
1k = l 1y x= +
l 1y = 1y x= +
ABCD ADNM ADNM ⊥
ABCD 2AD = 1AM = DE AB⊥ E AB
（1） 求证： 平面 ；
（2） 求 与平面 所成角的正弦值；
（3） 在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的
长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析;（2） （3）不存在,理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据菱形与矩形性质,可得 , ,因而 .所以可知四边形
为平行四边形.由中位线定理可证明 ,即可由线面平行判断定理证明
平面 ;
（2）根据题意建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得 和平面 的法向量 ,
即可求得 与 夹角的余弦值,即为 与平面 所成角的正弦值;
（3）假设线段 上存在点 ,使二面角 的大小为 .设出点 的坐
标,并求得平面 和平面 的法向量,根据夹角为 及向量数量积运算,求得 的值,再判
断是否符合在线段 上,即可说明.
【详解】（1）证明:因为四边形 是菱形, 是矩形,
所以 ,
所以
所以四边形 为平行四边形
AN / / MEC
ME MBC
AM P P EC D− −
3
π
AP
6
8
/ /AD BC / /AD NM / /BC NM
BCNM / /OE AN AN / /
MEC
ME MBC m
ME m ME MBC
AM ( )3, 1,P a− P EC D− −
3
π
P
PEC ECD 3
π a
AM
ABCD ADNM
/ /AD BC / /AD NM
/ /BC NM
BCNM
设对角线的交点为 ,连接
由点 为 的中点,点 为 的中点
根据中位线定理可得 ,
又因 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
（2）因为 是矩形,且平面 平面 .
所以 平面 .
又因
所以
则以 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系
因为 且点 为 的中点
则
则 ,
设平面 的法向量为
则 ,代入可得
令 ,解得
所以
设直线 与平面 所成角为
为
为
O OE
E AB O BN
/ /OE AN
OE ⊂ MEC AN ⊄ MEC
AN / / MEC
ADNM ADNM ⊥ ABCD
ND ⊥ ABCD
DE AB⊥
DE DC⊥
D
DE AB⊥ E AB
( ) ( )0,0,0 , 3,0,0 ,D E ( ) ( )0,2,0 , 3, 1,1 ,C M − ( )3,1,0 ,B
( )0,1, 1ME = − ( ) ( )0,2, 1 , 3,1,0MB BC= − = −
MBC ( ), ,m x y z=
0
0
MB m
BC m
⋅ =
⋅ =
2 0
3 0
y z
x y
− =− + =
1x = 3, 2 3y z= =
( )1, 3,2 3m =
ME MBC α
则
即直线 与平面 所成角的正弦值为
（3）假设线段 上存在点 ,使二面角 的大小为 .设
则
设平面 的法向量为
则 ,代入可得
令 ,则
又因为平面 的法向量为
所以由二面角 大小为
可得
解得
因为 ,所以不合题意
所以线段 上不存在点 ,使二面角 的大小为
【点睛】本题考查了线面平行的判定,空间向量在求线面夹角中的应用,根据面面夹角判断是否
满足某种条件的点是否存在,属于中档题.
19.已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列 中， ，满足
.
的
sin s ,co ME mME m
ME m
α ⋅=
⋅
=
3 2 3 6
82 4
−= =
×
ME MBC 6
8
AM P P EC D− −
3
π ( )3, 1,P a−
( ) ( )3, 2,0 , 0, 1, ,CE EP a= − = −
PEC ( )1 1 1 1, ,n x y z=
1
1
0
0
CE n
EP n
⋅ = ⋅ =
3 2 0
0
x y
y az
− =− + =
3y a= ( )1 2 , 3 , 3n a a=
ECD ( )2 0,0,1n =
P EC D− −
3
π
1 21 2 21 2
3 1, 27 3
cos n nn n
n n a
⋅= = =
⋅ +
3 7
7a =
3 7 17
>
AM P P EC D− −
3
π
{ }na n nS 1 1a = 2 1n na S= + { }nb 1 1b =
1( 1, )1n n
nb b n n Nn
∗
−= > ∈−
（1） 求出 ， 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求使得 时，对所有的
恒成立的最大正整数 值.
【答案】（1） , （2）6
【解析】
【分析】
（1）根据 ,结合递推公式作差,即可证明 为等比数列,结合 即可得 的通
项公式;将 变形,结合累乘法即可求得数列 的通项公式.
（2）由（1）可得数列 的通项公式.由错位相减法可求得数列 的前 项和 .根据
的单调性可求得 的最小值,代入解不等式即可求得最大正整数 值.
【详解】（1）由题意
则 ,（ ）
两式相减可得
化简可得
由
所以数列 是以 为首项,以 为公比的等比数列
则
数列 中, ,满足 .
即
{ }na { }nb
n n nc a b= ⋅ { }nc n nT 21 ( 5 )6nT m m≥ − n ∗∈N
m
12n
na -= nb n=
2 1n na S= + { }na 1a { }na
11n n
nb bn −= −
{ }nb
{ }nc { }nc n nT nT
nT m
2 1n na S= +
1 12 1n na S− −= + 2n ≥
12 2n n na a a−− =
1
2n
n
a
a −
=
1 1a =
{ }na 1 1a = 2q =
12n
na -=
{ }nb 1 1b = 1( 1, )1n n
nb b n n Nn
∗
−= > ∈−
1 1
n
n
b n
b n−
= −
1
2
1
2
n
n
b n
b n
−
−
−= −
等式左右两边分别相乘可得
而
所以
（2） ,由（1）可得
数列 的前 项和为
则
两式相减可得
所以
即
因为 为递增数列,所以
故 只需
2
3
2
3
n
n
b n
b n
−
−
−= −
⋅⋅⋅
4
3
4
3
b
b
=
3
2
3
2
b
b
=
1
2 2
1
b
b
=
1 1
nb n
b
=
1 1b =
nb n=
n n nc a b= ⋅ 12n
nc n −= ⋅
{ }nc n nT
1 2 3 2 1n n n nT c c c c c c− −= + + + ⋅⋅⋅ + +
( ) ( )1 2 3 2 11 2 2 3 2 2 2 1 2 2n n n
nT n n n− − −= + × + × + ⋅⋅⋅ − × + − × + ×
( ) ( )1 2 3 2 12 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2n n n
nT n n n− −= × + × + × + ⋅⋅⋅ − × + − × + ×
1 2 3 2 11 2 2 2 2 2 2n n n
nT n− −− = + + + + ⋅⋅⋅ + − ×
2 1 2n n
nT n− = − − ×
2 2 1n n
nT n= × − +
( )1 2 1n
nT n= − × +
( )1 2 1n
nT n= − × + ( ) 11 2 1 1n
nT n T= − × + ≥ =
21 ( 5 )6nT m m≥ − 211 ( 5 )6 m m≥ −
变形可得
所以
即最大正整数 值为
【点睛】本题考查了根据递推公式求数列的通项公式,累乘法在求数列通项公式中的应用,错位
相减法求数列的前 n 项和,不等式中的恒成立问题,综合性强,属于中档题.
20.已知椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0)，且离心率为 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程；
(Ⅱ)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0，y0)，
求 y0 的取值范围．
【答案】(1) ＋ ＝1. (2)
【解析】
【详解】试题分析：解：(Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意，得 c＝1.
因为椭圆 C 的离心率为 ，
所以 a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.
故椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.
(Ⅱ)当 MN⊥x 轴时，显然 y0＝0.
当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为
y＝k(x－1)(k≠0)．
由
消去 y 并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段 MN 的中点为 Q(x3，y3)，
则 x1＋x2＝ .
( )( )1 6 0m m+ − ≤
1 6m− ≤ ≤
m 6
2
2
x
a
2
2
y
b
1
2
2
4
x 2
3
y 3 3,12 12
−
1
2
2
4
x 2
3
y
2 2
1?
14 3
y k x
x y
= −
+ =
2
2
8
3 4
k
k+
所以 x3＝ ＝ ，y3＝k(x3－1)＝ .
线段 MN 的垂直平分线的方程为
y＋ ＝－ .
在上述方程中，令 x＝0，得 y0＝ ＝ .
当 k<0 时， ＋4k≤－4 ；当 k>0 时， ＋4k≥4 .
所以－ ≤y0<0 或 0