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- 2021-04-15 发布
理科数学第 1 页,共 5 页
四川省达州市普通高中 2020 届第一次模拟考试
理科数学参考答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试
题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再得分。
3．解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题不给中间分。
一、选择题：
1. D 2. B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.B 8. A 9.D 10. D 11.C 12.A
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．1 14． 3 15． 3 2 0或3 4 1 0x y x y 16． 4
3
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：(1)∵ 12nnaa( *)Nn ，
∴ 1
1
2nnaa ，………………………………………………………………2 分
∵ 1 1a ，
∴数列{}na 是以1为首项，以 1
2 为公比的等比数列，………………………………3 分
所以， () 111 2
n
na ，…………………………………………………………………5 分
即数列 的通项公式为 1
1
2n na ．…………………………………………………6 分
(2)∵ ， 1
n
n
bna
，
∴ 12n
nbn，…………………………………………………………………………7 分
∴ 12nnS b b b
( ) ( ) 0 1 12 2 2 1 2n n
( ) ( )
1 1 2 1
1 2 2
n nn……………………………………………………………10 分
2112122
n nn．
所以， 2112122
n
nS n n ． ………………………………………………………12 分
18．解：(1)根据条件， 22列联表如下，
……………………………………………3 分
入围 未入围 合计
男 24 76 100
女 20 80 100
合计 44 156 200
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∴ 2K 的观测值 ().
2200 24 80 20 76 200 2 70644 156 100 100 429k ， …………………………5 分
所以，没有 %90 的把握认为脑力考试后是否入围与性别有关． …………………6 分
(2) 由(1)可知，用分层抽样的方法，以性别为分层依据在入围人员中随机抽取 11 人，
其中男性 6 人，女性 5 人．然后从这 11 人中随机确定 3 人，其 中女性人数为 X ，则 X
可能取值为 , , ,0 1 2 3．……………………………………………………………………7 分
∴ ()
3
6
3
11
40 33
CPX C
， ()
21
65
3
11
15 51 33 11
CCPX C
，
()
12
65
3
11
12 42 33 11
CCPX C
， ()
3
5
3
11
23 33
CPX C
．…………………………………9 分
∴求 的分布列为
…………………………………………………10 分
所以， () 4 5 4 2 150 1 2 333 11 11 33 11EX ．…………………………………12 分
19．(1)证明：∵ 23AB ， 2BC ， 4AC ，
∴ 2 2 2AB BC AC ，
∴ BC BA． ………………………………………………………………………1 分
∵ 1AA 平面 1 1 1A B C ，平面 ∥ABC 平面 ，
∴ 平面 ABC ． …………………………………………………………………2 分
∵ BC 平面 ，
∴ 1AA BC ． …………………………………………………………………………3 分
∵ AB ， 1AA 是平面 11AA B B内两相交直线，
∴ BC 平面 ． ………………………………………………………………4 分
∵ AD 平面 ，
∴ BC AD ． ………………………………………………………………………5 分
(2)解：根据条件， 11∥AA BB ，
∴ 1BB 平面 ．
∴ 1BB BA． …………………………………………………………………………6 分
分别以直线BA ， 1BB ， BC 为 x 轴， y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
B xyz ． ………………………………………………………………………………7 分
∵ 1 4AA ， 11A D DB ，
∴ ( , , )000B ， ( , , )2 3 0 0A ， ( , , )3 4 0D ， ( , , )1 042C ．
∴ ( , , ) 2 3 0 0BA ， ( , , )3 4 0AD ， ( , , )1 3 0 2DC ．…………………………8 分
设 ( , , ) x y zn 是平面 1ADC 的一个法向量，
则 ADn ， 1DCn ，
∴ 0ADn ， 1 0DCn ，
∴ ,
.
3 4 0
3 2 0
xy
yz ，
0 1 2 3
P
4
33 5
11 4
11 2
33
A
B
C
D
1A
1B
1C
x
y
y
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不妨取 8x ，得 ( , , ) 8 2 3 3n ．
又 ( , , ) 2 3 0 0BA 是平面 11BB C C 的 一 个 法 向 量 ， 且 cos
| | | |
， BABA
BA
nn
n
8 2 3 8 85
8585 2 3
，
所以，平面 1AC D 与平面 所成锐二面角的余弦值为 8 85
85 ． ……………12 分
20．解：(1)设点 M的坐标为( , )xy，因为点 A是( , ) 20，所以，直线AM 的斜率 AMk
()
2
2
y x
x
；………………………………………………………………………2 分
同理， BM 的斜率 BMk ()
2
2
y x
x
． …………………………………………3 分
由已知有 ()
1 2222
yy x
xx
，……………………………………………4 分
化简，得 的轨迹C 的方程为 ()
2
2 122
x yx ．………………………………5 分
(2)由(1)知，轨迹 是以 ( , )10F 与( , )10 为左，右焦点，除去长轴端点的椭圆． …6 分
设 D， E 两点的坐标分别为( , )11xy ，( , )22xy，
由方程组
,
.
2
2 12 1
2
x y
y x b
得， 223 4 4 4 0x bx b .……………………………………7 分
∴( ) ( ) 224 4 3 4 4 0bb，且 12
4
3
bxx ，
∴ () 1 2 1 2
14223
by y x x b ，………………………………………………………8 分
∴ ( , ) ( , ) 1 2 1 2
44
33
bbOD OE x x y y ． …………………………………………9 分
∵直线 2l 的方向向量是 OD OE ，
∴直线 的斜率是 1．
由于直线 经过点 ，所以，直线 的方程是 1yx．………………………10 分
∴点G 的坐标是 ，是轨迹 的上顶点． ………………………………………11 分
所以，△FGH的周长为42． ………………………………………………………12 分
21．(1) 解：函数 ( ) ln 1f x x x 的定义域是( , )0 ， ……………………………1 分
且 () 111 xfx xx
， ………………………………………………………………2 分
∴当 01x 时， () 0fx ， ()fx递减；当 1x 时， () 0fx ， 递增．……4 分
所以， ()fx增减区间是( , ]01，递增区间是[ , )1 ． ………………………………5 分
(2)证明：（方法一）由(1)知，当 时， ( ) ( )10f x f ，即 ln 10xx ，
∴ ln 10xx．………………………………………………………………………6 分
∵ 02a ，
∴ ln 2 2 0x a x ．……………………………………………………………………8 分
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又当 1x 时， 222 2 1 5x x a ，
∴
3
221
1
xx ax
，
即 3 2 221x x a x a ．………………………………………………………………10 分
∴ ln 3 2 22 2 2 1x x a x a x a x ，即 ( ) ln 3 2 22 1 3x a x a x a ，
所以，当 02a 时， 对一切 ( , ) 1x 恒成立．…12 分
（方法二）设 ( ) ( ) ln 3 2 221g x x a x a x a ，则 0x ，
且 ()()
3261x a x agx x
．…………………………………………………………6 分
设 ( ) ( ) 3261h x x a x a，则 () 2218 1h x x a ．
∵ ， 1x ，
∴ () 2218 1 0h x x a ，……………………………………………………………8 分
∴当 时， 在区间( , )1 上递增，
∴当 ， 1x 时， ( ) ( ) 221 7 2 2 7 0h x h a a ．
∴ () 0gx ，即 ()gx在区间 上递增，…………………………………………10 分
∴ ( ) ( )13g x g ，
所以，当 时， 对一切 恒成立．…12 分
22.解：(1) 分别将 2 2 2xy ， cos x ， sin y 代入 cos sin 2 2 4 4 得，
222 4 4x y x y ，
∴圆C 的直角坐标方程为( ) ( ) 221 2 1xy ．……………………………………2 分
∴圆 的圆心坐标为 ( , )12C ．
∵圆心C 在直线 : 3l y mx 上，
∴ 23m ，即 1m ， ……………………………………………………………3 分
直线l 的参数方程为 ,
41
31．
xt
yt (t 为为参数) ．
消去参数t 得直线 的普通方程为 3 4 7 0xy ． …………………………………5 分
(2) 将直线 向左平移 () 0nn 个单位后，得到直线 : ( ) 3 4 7 0l x n y ，
即 : 3 4 7 3 0l x y n ． ……………………………………………………………7 分
由题意得， () =
+
22
｜3 1 4 2 7 3｜ 2
34
n ， ………………………………………………9 分
解得， 2n （负值已舍）． …………………………………………………………10 分
23.解：(1) ∵ ( ) | | | | 4f x x a x ， 1a ，
∴ ( ) | | | | 14f x x x ，即
,,
( ) , ,
,
2 5 1
31≤ ≤4
2 5 4．
xx
f x x
xx
…………………………………1 分
当 1x 时，由 ()f x x 得， 25xx，解得， 5
3x ，舍． ……………………2 分
当1≤ ≤4x 时，由 得， 3x ，解得， 3 ≤4x ． ………………………3 分
当 4x 时，由 得， 25xx，解得， 45x ．…………………………4 分
所以，不等式 的解集为( , )35 ． ……………………………………………5 分
(2)当 ≥4a 时， () 4≥ 1fx a
恒成立． ………………………………………………6 分
当 4a 时， ( ) | ( ) ( ) | ≥ 44f x x a x a
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∴ min() =4f x a ， ……………………………………………………………………7 分
∴ 44 ≥ 1a a
． ………………………………………………………………………8 分
解得， 0a 或 1≤ 4a ． …………………………………………………………9 分
综上所述，实数a 的取值范围( , ) [ , ) 01 ．……………………………………10 分