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- 2021-04-15 发布
遵义市南白中学2019——2020学年度第一学期高二年级
数 学 试 题 （理科）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3到4页.
2、答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置.
3、全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4、考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为等差数列的前项和，，，则（ ）
A.2019 B.1010 C.2018 D.1011
3.若向量满足，且，则向量的夹角为（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6.函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
7.已知两直线、和平面，若，，则直线、的关系一定成立的是（ ）
A.与是异面直线 B.
C.与是相交直线 D.
8.已知直线与垂直，则（ ）
A. B. C.-2 D.2
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A.14斛 B.22斛
C.36斛 D.66斛
10.已知圆与圆外切，则（ ） （第11题图）
A. B. C. D.
11.如图所示，已知四棱锥的高为3，底面ABCD为正方形，且，则四棱锥外接球的半径为（ ）
A. B.3 C. D.2
12.己知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，则____________.
14.函数的最小值为____________.
15.已知实数满足，则的最大值为____________. （第16题图）
16.如图，在直角梯形中，，若分别是边上的动点，满足，其中，若，则的值为____________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列满足，前7项和为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.
18.某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
组号
分组
频数
频率
第1组
[50，60)
5
0.05
第2组
[60，70)
0.35
第3组
[70，80)
30
第4组
[80，90)
20
0.20
第5组
[90，100]
10
0.10
合计
100
1.00
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率.
来源:学*科*网]
19.如图，是平行四边形，平面，，，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
20.已知函数的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求b．
21.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥B1C；
（Ⅱ）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．
[]
22.已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；
（Ⅱ）若， 是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.
遵义市南白中学2019——2020学年度第一学期高二年级
数 学 试 题 （理科）[]
（参考答案）
一、 选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A[来源:Z,xx,k.Com]
C
D
B
C
B
D
B
A
D
A
二、填空题：（共4个小题，每小题5分，共20分）
13．4 14． 15． 16．
三、解答题：（共6个小题，共70分）
17.（本大题10分）
解：（Ⅰ）由，得
因为所以·····················································2分
·····················································5分
（Ⅱ）
·····························7分
··········································10分
18.（本大题12分）
（Ⅰ）＝100－5－30－20－10＝35·····································3分
＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30·····································6分
（Ⅱ ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，
所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人································8分
设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，
所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝····················12分
19.（本大题12分）
解：（Ⅰ）证明：，平面，平面
平面.同理可证平面.······································3分
，平面平面.
平面，平面
··········································6分
（Ⅱ）作于点，连接，
平面，平面，.
又，，平面.
则为与平面所成角···································8分
在中，，，，
，，
，························10分
因此，直线与平面所成角的正弦值为.··························12分
20.（本大题12分）
解：（Ⅰ）
········································3分
故函数的最小正周期，解得.··································6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.··························8分
的面积，解得.···············10分
由余弦定理可得
所以.·································································12分
21.（本大题12分）
解：（Ⅰ）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1
由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC····································2分
∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C
∴AE⊥B1C································································5分
（Ⅱ）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC
又∵平面ABC⊥平面ACC1A1
∴EP⊥平面ACC1A1
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．············································9分
由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是··········································12分
22.（本大题12分）
解：（Ⅰ）设点的坐标为
由可得，，
整理可得
所以曲线的轨迹方程为. ············································5分
（Ⅱ）依题意，，则都在以为直径的圆上
是直线上的动点，设
则圆的圆心为，且经过坐标原点
即圆的方程为 ··········································8分
又因为在曲线上
由，可得
即直线的方程为
由且可得，解得
所以直线是过定点
.······································12分