- 291.00 KB
- 2021-04-15 发布
第24课 二倍角的三角函数
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
二倍角的正弦、余弦及正切
√
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
2．二倍角公式的变形及逆用
(1)公式C2α的变形：
①sin2α＝(1－cos 2α)；
②cos2α＝(1＋cos 2α)．
(2)公式的逆用：
①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；
②sin α±cos α＝sin.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对∀α∈R，sin 2α＝2sin α均不成立．( )
(2)sin2－cos2＝cos ＝.( )
(3)sin α＋cos α＝.( )
(4)等式1＋cos α＝2sin2对∀α∈R均成立．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列各式中值为的是________．(填序号)
①2sin 15°cos 15°；②cos215°－sin215°；③2sin215°－1；④sin215°＋cos215°.
② [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，2sin215°－1＝－cos 30°＝－，
sin215°＋cos215°＝1.]
3．若sin α＝，α∈，则tan 2α＝________.
－ [∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝＝，
∴tan α＝2，
∴tan 2α＝＝＝－.]
4．(2017·南京模拟)若tan α＝，则＝________.
[＝＝tan α＝.]
5．(教材改编)函数 f(x)＝sin x＋cos x的最小值为________．
－2 [函数f(x)＝2sin的最小值是－2.]
应用倍角公式求值
(2017·无锡模拟)已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－的值．
[解] (1)cos·cos
＝cos·sin
＝sin＝－，
即sin＝－.
∵α∈，
∴2α＋∈，
∴cos＝－，
∴sin 2α＝sin
＝sincos－cos·sin ＝.
(2)∵α∈，∴2α∈.
又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.
∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.
[规律方法] 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．如本题中＋＝，从而先利用诱导公式变换函数名，进而逆用二倍角公式求值．
[变式训练1] (2017·南京、盐城二模)已知α为锐角，cos＝.
(1)求tan的值；
(2)求sin的值. 【导学号：62172133】
[解] (1)因为α∈，所以α＋∈，
所以sin＝＝，
所以tan＝＝2.
(2)因为sin＝sin＝2sincos＝，
cos＝cos＝2cos2－1＝－，
所以sin＝sin＝sincos－cossin ＝.
应用倍角公式化简
(1)化简：＝________.
(2)化简：.
(1)2cos α [原式＝＝2cos α.]
(2)原式＝
＝＝＝cos 2x.
[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
[变式训练2] 化简sin2＋sin2－sin2α＝________.
[法一：原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α＝1－cos 2α·cos －sin2α＝1－－＝.
法二：令α＝0，则原式＝＋＝.]
三角变换的简单应用
已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 【导学号：62172134】
[解] (1)由已知，有
f(x)＝－
＝－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，
在区间上是增函数，
且f＝－，f＝－，f＝，
所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
2．把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
[变式训练3] 已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性．
[解] (1)f(x)＝sinsin x－cos2x
＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－.
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，
从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．
[思想与方法]
1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．
2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．
3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．
[易错与防范]
1．利用辅助角公式asin x＋bcos x转化时，一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角．
2．计算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．
课时分层训练(二十四)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．已知sin 2α＝，则cos2等于________．
[因为cos2＝
＝＝＝＝.]
2．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________.
【导学号：62172135】
[∵sin 2α＝2sinαcos α＝－sin α，
∴cos α＝－，
又α∈，
∴sin α＝，tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.]
3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan θ＝－，则cos 2θ＝________.
[∵cos 2θ＝＝.
又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝.]
4．已知sin α＝，α∈，则＝________.
－ [
＝
＝cos α－sin α.
∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－.
∴原式＝－.]
5．(2017·苏州模拟)已知sin(α－45°)＝－且0°<α<90°，则cos 2α的值为________. 【导学号：62172136】
[∵sin(α－45°)＝－，
∴sin α－cos α＝－，
∴2sin αcos α＝，
∴sin α＋cos α＝＝，
∴sin α＝，cos α＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝.]
6．(2016·山东高考改编)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x
)的最小正周期是________．
π [法一：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)
＝4
＝4sincos ＝2sin，
∴T＝＝π.
法二：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)
＝3sin xcos x＋cos2x－sin2x－sin xcos x
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin，
∴T＝＝π.]
7．(2017·苏州模拟)若sin＝，则cos＝________.
【导学号：62172137】
－ [cos＝cos
＝－cos＝－
＝－＝－.]
8．化简＋2＝________.
－2sin 4 [＋2
＝＋2
＝＋2
＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.]
9．(2017·南通模拟)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为________．
－ [∵3cos 2α＝sin，
∴3sin＝sin，
∴3×2sincos＝sin.
∴sin≠0，∴cos＝，
即sin α＋cos α＝，
∴sin 2α＝－＝－.]
10．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，
则cos＝______________.
[∵cos4α－sin4α＝cos2α－sin2α＝cos 2α＝，
又α∈，∴2α∈(0，π)．
∴sin 2α＝.
∴cos＝cos 2αcos－sin 2αsin
＝cos 2α－sin 2α
＝×－×
＝.]
二、解答题
11．(2017·盐城期中)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)＝－1，求cos的值．
[解] (1)因为f(x)＝sin 2x－＝sin 2x－－＝sin－，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)因为f(x)＝－1，所以sin－＝－1，即sin＝－，
所以cos＝cos＝sin＝－.
12．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若sin α＝，且α∈，求f.
[解] (1)f＝cos2＋sincos
＝2＋×＝.
(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x
＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin.
所以f＝＋sin
＝＋sin＝＋.
又因为sin α＝，且α∈，
所以cos α＝－，
所以f＝＋
＝.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．函数f(x)＝3sin cos ＋4cos2(x∈R)的最大值等于________．
[由题意知f(x)＝sin x＋4×＝sin x＋2cos x＋2≤＋2＝.]
2．如图241，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则cos2－sincos－的值为________．
图241
[由题意得|OB|＝|OC|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形，∴sin∠AOB＝sin＝，
∴cos2－sin·cos－＝·－－＝－sin α＋cos α＝sin＝sin＝sin＝.]
3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．
[解] ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝＞0，
∴0＜α＜.
又∵tan 2α＝＝＝＞0，
∴0＜2α＜，
∴tan(2α－β)＝
＝＝1.
∵tan β＝－＜0，
∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－.
4．已知函数f(x)＝2sin xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
[解] (1)f(x)＝2sin x＝×＋sin 2x＝sin＋.
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)当x∈时，2x－∈，
sin∈，
f(x)∈.
故f(x)的值域为.