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- 2021-04-15 发布
四川外语学院重庆第二外国语学校
高2017级高三下第3次月考数学试题（文）
满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：毛君顺 审题人：范正兴
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1、已知集合，，则（ ）
A B C D
2、 复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A 1 B -1 C D
3、已知向量，且，则（ ）
A -9 B 9 C 6 D -6
4、下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
A y＝sin(2x＋) B y＝cos(2x＋) C y＝sin2x＋cos2x D y＝sinx＋cosx
5、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A B C. D
6、长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的三条棱长
分别为3，4，5，则该球面的表面积为（ ）
A B C. D
7、已知抛物线的准线与双曲线相交于
A,B两点，点F为抛物线的焦点，为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A 3 B 2 C D
8、道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为（ ）
A 0.95 B 0.05 C. 0.47 D 0.48
9、如果执行如右图所示的程序框图，那么输出的（ ）
A 119 B 600 C 719 D 4949
10、将函数
的图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点
对称，则函数在上的最小值为（ ）
A B C D
11、曲线上的点到直线的距离最大值为，最小值为 ，则的值为 （ ）
A B 2 C D
12、已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A B C D
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13、已知，则
14、若变量x，y满足则的最大值是
15、已知函数且，则
16、在中，角的对边分别是，若，，则面积是
三、解答题 （本大题共6小题，共70分）
17、等比数列中，，，是等差数列的前项和，，
（I）求数列，的通项公式
（II）设，求数列的前项和
18、某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：
（I）现从乙班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求至少有一名成绩为90分的同学被抽中的概率；
（II）学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关” 附：参考公式及数据
19、如图，正三棱柱的所有棱长均为2，，分别为和的中点
（I）证明：平面；
（II）求点到平面的距离.
20、平面直角坐标系中，已知椭圆
的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点的直线与椭圆相交于不同两
点M，N.
（i）求证：；
（ii）求面积的最大值.
21、已知函数
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（II）求证：当时，
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22、选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程是（为参数，）
（I）求曲线的直角坐标方程；
（II）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求
23、选修4-5：不等式选讲
已知函数，且的解集为
（I）求的值；
（II）若都是正实数，且，求证：
高2017级高三下第3次月考数学试题（文）
参考答案
一、选择题：ABBAD BADCB CA
二、填空题：(13) (14) 6 (15) (16)1
三、解答题：
(17)解：（1）因为，，，所以，所以，所以；
因为，，解得，所以，即．
（2）因为，所以，所以
+
．
(18)
解: （I）乙班数学成绩不低于分的同学共有名,其中成绩为分的同学有两名,
画数状图(略)知,从中随机抽取两名同学共有种,至少有一名成绩为分的同学被抽中的事件数为种,所求概率为
(Ⅱ)如图所示
由知, 可以判断：有把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
（19）
（I）证明：由知
又平面平面，所以平面
而平面，∴
在正方形中，由分别是和的中点知
而，∴平面
(Ⅱ)解法1: 由（I）平面,过点作，
交和分别于点和,则平面,即的长为到平面的距离，
在正方形中,易知，
即,得，
故到平面的距离为.
解法2：如图，连接，在三棱锥中，设到平面的距离为，
则，
将，
代入得，得，
故到平面的距离为.
（20）
解: 解：（1）, 又,…………………………（2分）
所以.
所以椭圆的标准方程为……………………………（5分）
（II）（i）当AB的斜率为0时，显然，满足题意
当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程
整理得,则，所以
， ………………………………（7分）
【来源：全,品…中&高*考+网】
，即………………………………（9分）
（ii）
当且仅当，即.（此时适合△＞0的条件）取得等号.
三角形面积的最大值是………………………………（12分）
(21)
（I）解:∵ ∴ 得
切点为,斜率为,所求切线方程为,即.
(Ⅱ)证明:法1： ,即
∵ ∴只要证明即可
令，则
注意到，当时，；当时，，
即在上是减函数，在是增函数，
综上知, 当时，.
法2：由知, ,令
则
注意到，当时，；当时，，
即在上是减函数，在是增函数，，所以,
即.
综上知, 当时，.
(22)
解: （I）曲线,即,于是有,
化为直角坐标方程为:
（II）方法1:
即
由的中点为得,有,所以
由 得
方法2:设,则
,
∵,∴,由 得.
方法3: 设,则由是的中点得
,
∵,∴,知
∴,由 得.
方法4:依题意设直线,与联立得,
即
由得 ,因为 ,所以.
（23）
解: （I）依题意,即,
∴
（II）方法1:∵
∴【来源：全,品…中&高*考+网】
当且仅当,即时取等号
方法2: ∵
∴由柯西不等式得
整理得
当且仅当,即时取等号.