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- 2021-04-15 发布
高二数学（理科）试题
命题教师： 审题教师：
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1.方程 y - y0 = k(x - x0 ) （ ）
A．可以表示任何直线 B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与 y 轴垂直的直线 D．不能表示与 x 轴垂直的直线
2. 设a， b是两个不同的平面， m ， n 是两条不同的直线，且m Ìa， n Ì b（ ） A．若m ， n 是异面直线，则a与b相交 B．若m // b， n //a，则a// b
C．若m ^ n ，则a^ b D．若m ^ b，则a^ b
3. 过点(5, 2) ，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的2 倍的直线方程是 ( )
A． 2x + y -12 = 0
C． x - 2 y -1 = 0
B． 2x + y -12 = 0 或2x - 5 y = 0
D． x - 2 y -1 = 0 或2x - 5 y = 0
4. 给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是 （ ）
A. ②③ B. ①② C. ①②③ D. ②
5. 某几何体的正视图和侧视图如图 1 所示，它的俯视图的直观图是YA' B 'C ' D ' ，如图
2 所示.其中 A ' B ' = 2 A ' D ' = 4 ，则该几何体的表面积为 （ ）
A．16 +12p B．16 + 8p
C．16 +10p
D． 8p
（第 5 题图） （第 6 题图）
6. 如图所示，已知六棱锥 P - ABCDEF 的底面是正六边形， PA ^ 平面 ABC ，
PA = 2 AB ，则下列结论正确的是 ( )
A． PB ^ AD B．平面 PAB ^ 平面 PBC
C．直线 BC // 平面 PAE D．直线 PD 与平面 ABC 所成的角为45o
2
3
2. 已知三棱锥 A - BCD 中， BC ^ CD ， AB = AD = ， BC = 1， CD = ，则该三棱锥的外接球的体积为 ( )
A． 4p B． 8p C． 8 2p D． 36p
3 3 3
3. 点 P( x, y) 在直线 x + y - 4 = 0 上，则 x2 + y2 的最小值是 ( )
2
2
A． 8 B． 2 C． D．16
4. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 ( )
A．1 B. 2 C. 3 D. 4
（第 9 题图） （第 11 题图） （第 12 题图）
10.已知{( x, y ) (m + 3)x + y = 3m - 4}I{( x, y ) 7x + (5 - m) y - 8 = 0} = Æ ，则直线
(m + 3) x + y = 3m + 4 与坐标轴围成的三角形面积是 （ ）
A. 1 B. 2 C.1或 625 D. 2 或 625
14 14
11. 如图，正四面体 D - ABC 的顶点 A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox ， Oy ，
Oz 上，则在下列命题中，错误的是 ( )
A. O - ABC 是正三棱锥 B．直线OB 与平面 ACD 相交
C．直线CD 与平面 ABC 所成的角的正弦值为 3
2
D．异面直线 AB 和CD 所成角是90°
12. 如图，正方体 AC1 的棱长为a ，作平面a (与底面不平行) 与棱A1A ，B1B ，C1C ，D1D
分别交于 E ，F ，G ，H .记 EA ，FB ，GC ，HD 分别为h1 ，h2 ，h3 ，h4 ，若h1 + h2 = 2h3 ，
h1 + h4 = 3h3 ，则多面体 EFGH - ABCD 的体积为 ( )
A. 7 a2h
B. 7 a2h
C. 7 a2h
D. 7 a2h
10 1
8 2 6 3 4 4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.在正三棱锥 P－ABC 中,D,E 分别是 AB,BC 的中点,有下列三个论断：①AC⊥PB；
②AC∥平面 PDE；③AB⊥平面 PDE.其中正确的个数是 .
（第 13 题图） （第 15 题图）
14. 若直线 (m +1)x + (m2 - m - 2) y = m +1 在 y 轴上截距等于 1 ， 则实数 m 的值 .
15. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、 圆锥、球的表面积之比为 .
16. 表面积为20p的球面上有四点 S 、A 、B 、C ，且DABC 是等边三角形,球心O 到
平面 ABC 的距离为1, 若平面 SAB ^ 平面 ABC , 则三棱锥 S - ABC 体积的最大值为 .
三、解答题：本大题共 5 小题，共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答写在答题卡上的指定区域内.
17.（本小题满分 10 分)已知两条直线l1 : ax - by + 4 = 0, l2 : (a -1) x + y + b = 0 ,求分别满足下列条件的a, b 的值.
（1） 直线l1 过点(-3, -1) ,并且直线l1 与直线l2 垂直；
（2） 直线l1 与直线l2 平行, 并且坐标原点到l1 , l2 的距离相等.
18.（本小题满分 10 分)如图，在四棱锥 P - ABCD 中，PA ^ 平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，点O 是对角线 AC 与 BD 的交点，M 是 PD 的中点，且 AB = 2 ，ÐBAD = 60o . (1)求证：平面 PBD ^ 平面 PAC ；
(2)当三棱锥 M - BCD 的体积等于
2 时，求 PB 的长．
4
19.（本小题满分 10 分)已知直线l ： kx - y +1+ 2k = 0(k Î R)
(1) 若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
(2) 若直线l 交 x 轴负半轴于点 A ，交 y 轴正半轴于点 B ， O 为坐标原点，设△ AOB 的面积为 S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．
20.（本小题满分 10 分)如图，在直三棱柱 ABC - A B C 中，ÐBAC = 900 ,
1 1 1
AB = AC =
2, AA1 = 3, D 是 BC 的中点，点 E 在棱 BB1 上运动.
（1） 证明： AD ^ C1E ；
（2） 当异面直线 AC, C E 所成角为600 时，求三棱锥C - A B E 的体积.
1 1 1 1
21.（本小题满分 12 分)如图所示的几何体 ABCDE 中, DA ^ 平面 EAB，CB // DA ,
EA = DA = AB = 2CB ， EA ^ AB ， M 是 EC 的中点.
（1） 求异面直线 DM 与 BE 所成角的大小；
（2） 求二面角 M - BD - A 的余弦值.