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- 2021-04-15 发布
湖南省益阳市第六中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（理）
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．1 B．i C．－1 D．－i
3. 函数的图象与函数的图象的交点个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4. 若向量的夹角为，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C. D．
5. 已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
6.已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
7.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记,
则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9.直线分别与交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
输出
开始
否
结束
是
A． B． C. D．
10. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数是定义在R上的偶函数，设函数的导数为，若对任意的都有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
12.设双曲线的左、右焦点分别为、。若直线与双曲线C交于两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.若实数满足则的最大值是 ．
14. 的展开式中，的系数是 。（用数字填写答案）
15.来自甲，乙，丙3个班级的5名同学站成一排照相，其中甲班有2名同学，乙班有2名同学，丙班有1名同学，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有 。（用数字作答）
16. 已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (10分) 若数列的前项和为，且 ．
（1）求数列的通项公式；
（2）若 ，令，求数列的前项和．
18. （12分）已知函数
（1）求函数在上的单调递减区间；
（2）在锐角中，内角的对边分别为，已知,
,求的面积．
19. （12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入(单位:千元)的数据如下表:
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（1）求关于t的线性回归方程.
（2）利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
.
20.（12分） 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，
，平面，点E在上，。
（1）求证：；
（2）设，若所成的二面角为，求的长．
B E A
C D
21.（12分） 已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为。
（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值;
（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由。
22. （12分）已知函数
（1）若函数处取得极值，求实数的值，并求此时上的最大值;
（2）若函数不存在零点，求实数的取值范围。
2019年益阳市六中高二期中考试试题参考答案
数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集，集合，则（ A ）
A． B． C． D．
2.已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（ A ）
A．1 B．i C．－1 D．－i
3. 函数的图象与函数的图象的交点个数是( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
4. 若向量的夹角为，且，则向量与向量的夹角为（ B ）
A． B． C. D．
5. 已知， ，若不等式恒成立，则m的最大值为（ B ）
A．9 B．12 C．18 D．24
6.已知，且，则等于（ D ）
A． B． C． D．
7.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ C ）
A． B． C． D．
8. 已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记,
则 的大小关系为（ C ）
A． B． C． D．
9.直线分别与交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ A ）
A． B． C. D．
输出
开始
否
结束
是
10. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ D ）
A． B． C． D．
11.已知函数是定义域在R上的偶函数，设函数的导数为，若对任意的都有成立，则（ A ）
A． B．
C． D．
12.设双曲线的左、右焦点分别为、。若直线与双曲线C交于两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（ D ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.若实数满足则的最大值是 2 ．
14. 的展开式中，的系数是 10 。（用数字填写答案）
15.来自甲，乙，丙3个班级的5名同学站成一排照相，其中甲班有2名同学，乙班有2名同学，丙班有1名同学，则仅有一个班的同学相邻的站法种数有 48 。（用数字作答）
16. 已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .
三、解答题（本题共7道题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,第7题12分）
17.若数列的前项和为，首项且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
解：（1）或；（2）．
解析：（1）当时，，则
当时，，
即或
或
（2）由，，
18. 已知函数
（1）求函数在上的单调递减区间；
（2）在锐角中，内角的对边分别为，已知,
,求的面积．
答：（1）
（2）
19. 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程.
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
.
【解析】(1)因为==4,
==4.3,
设回归方程为y=bt+a,代入公式,经计算得
b===,
a=-b=4.3-×4=2.3,
所以,y关于t的回归方程为y=0.5t+2.3.
(2)因为b=>0,所以2007年至2013年该地区人均纯收入稳步增长,预计到2015年,
该地区人均纯收入y=0.5×9+2.3=6.8(千元),
所以,预计到2015年,该地区人均纯收入约6800元左右.