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- 2021-04-15 发布
第2讲 两直线的位置关系
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 两条直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组
的解．
考点2 三种距离公式
1．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝.
2．点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
3．两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)
间的距离d＝.
[必会结论]
1．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；
(2)平行：Ax＋By＋n＝0.
2．与对称问题相关的两个结论：
(1)点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有
可求出x′，y′.
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( )
(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( )
(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )
(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( )
(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．[课本改编]过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
答案 A
解析 设直线方程为x－2y＋c＝0，又经过点(1,0)，故c＝－1，所求方程为x－2y－1＝0.
3．[2018·重庆模拟]若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．1 B．－ C．－ D．－2
答案 D
解析 由a·1＋2·1＝0得a＝－2.故选D.
4．[课本改编]已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A. B．2－
C.－1 D.＋1
答案 C
解析 由题意知＝1，∴|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.
5．[课本改编]平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0的距离是( )
A. B．2 C. D.
答案 B
解析 依题意得，所求的距离等于＝2.
6．[2018·南宁模拟]直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
答案 D
解析 设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y
－3＝0.
板块二 典例探究·考向突破
考向 平行与垂直问题
例 1 (1)直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
答案 C
解析 由可得3x＋2m－n＝0，由于3x＋2m－n＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－，斜率之积不等于－1，故不垂直．
(2)[2018·金华十校模拟]“直线ax－y＝0与直线x－ay＝1平行”是“a＝1”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由直线ax－y＝0与x－ay＝1平行，得a2＝1，即a＝±1，所以“直线ax－y＝0与x－ay＝1平行”是“a＝1”的必要不充分条件．
触类旁通
两直线位置关系问题的解题策略
(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意．
(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
【变式训练1】 (1)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋
7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，
∴m＝3或m＝－2，∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．
(2)[2018·宁夏模拟]若直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则实数m的值为________．
答案 0或
解析 因为直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，－＝或者m＝0，∴m＝或0.
考向 距离公式的应用
例 2 [2018·潍坊模拟]已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得＝2，解得k＝，
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．
由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．
触类旁通
与距离有关问题的常见类型及解题策略
(1)求距离．利用距离公式求解法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离．
(2)已知距离求参数值．列方程求出参数．
(3)求距离的最值．可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值．
【变式训练2】 (1)若直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l2：x＋
ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案 A
解析 ∵直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离为，∴∴n＝－2，m＝2(负值舍去)，∴m＋n＝0.
(2)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
答案 －或－
解析 由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－.
考向 对称问题
命题角度1 点关于点的对称
例 3 过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
解 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题角度2 点关于线的对称
例 4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
答案
解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是
解得故m＋n＝.
命题角度3 直线关于直线的对称
例 5 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
答案 A
解析 设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
则2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
命题角度4 对称问题与物理光学中的对称思想
例 6 [2018·湖南模拟]在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )
A．2 B．1 C. D.
答案 D
解析 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．
则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)．
设△ABC的重心为D，则D点坐标为.
设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴的对称点P1为(－m,0)，因为直线BC方程为x＋y－4＝0，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4－m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，
∴kP1D＝kP2D，即＝，
解得m＝或m＝0.
当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．∴m＝.
例 7 已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
解 (1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，则解得
故A′(－2,8)．
P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(－2，3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)．
触类旁通
解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【变式训练3】 光线从A(－4，－2)点射出，射到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
解 作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，
则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得
A′D′所在直线经过点B与C.
故BC所在的直线方程为＝.
即10x－3y＋8＝0.
核心规律
1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．
2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．
3.光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称．
满分策略
1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若直线无斜率，要单独考虑．
2.使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用；使用两平行线间的距离公式时，一定要注意先把两直线方程中的x，y的系数化成相等.
板块三 启智培优·破译高考
题型技法系列14——巧用直线系求直线方程
[2018·金华模拟]经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
解题视点 利用两条已知直线的方程组成方程组，其解为交点坐标，又直线与3x－4y＋5＝0垂直，利用垂直直线斜率之积为－1，可得直线的斜率，然后求得直线方程．
解析 解法一：由方程组
得即交点P(0,2)．
因l3的斜率为，且l⊥l3，故l的斜率为－.
故直线l的方程为y＝－x＋2，即4x＋3y－6＝0.
解法二：l与l3垂直，
故可设l的方程为4x＋3y＋m＝0.
又由得交点P(0,2)，代入直线l的方程，得m＝－6.故直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
解法三：设经过l1与l2交点的直线系方程为
(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0(λ∈R)，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋(4－2λ)＝0.因l与l3：3x－4y＋5＝0垂直，
故(1＋λ)×3＋(λ－2)×(－4)＝0，
解得λ＝11，故直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
答案 4x＋3y－6＝0
答题启示 1.常见的四大直线系方程
(1)过定点P(x0，y0)的直线系A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在时可视为x＝x0)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(3)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．
(4)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．应用直线系的关注点
利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时，一定要注意系数及符号的变化规律．
跟踪训练
经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0
的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为________．
答案 x－y＝0
解析 解法一：由方程组得两直线的交点(－1，－1)．又因为所求直线与x－y＋4＝0平行，故直线的斜率为1.于是由直线的点斜式方程求得：y－(－1)＝x－(－1)，即x－y＝0.
解法二：因为所求直线与直线x－y＋4＝0平行，所以可设所求直线为x－y＋c＝0.又因为该直线过直线3x－2y＋1＝0与直线x＋3y＋4＝0的交点(－1，－1)，所以－1－(－1)＋c＝0，即c＝0，所以，所求直线方程为x－y＝0.
解法三：因为所求直线经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，所以可设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x－(2－3λ)y＋1＋4λ＝0.又因为所求直线与直线x－y＋4＝0平行，因此＝1，解得λ＝－，所以所求直线方程为3x－2y＋1－(x＋3y＋4)＝0，即x－y＝0.
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2018·四川模拟]设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．
2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )
A．－12 B．－2 C．0 D．10
答案 A
解析 由2m－20＝0得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0，∴p＝－2.
又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，则解得n＝－12.
3．[2018·启东模拟]不论m为何值时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过定点( )
A. B．(－2,0)
C．(2,3) D．(9，－4)
答案 D
解析 由(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，得(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，由得定点坐标为(9，－4)．故选D.
4．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
答案 C
解析 设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．
5．[2018·绵阳模拟]若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为＝≠，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ| 的最小值为
.
6．[2018·合肥模拟]已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
答案 B
解析 因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0.
7．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB 的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 ∵l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0是平行直线，∴可判断AB所在直线过原点且与直线l1，l2垂直时，中点M到原点的距离最小．∵直线l1：x＋y－7＝0，l2：x＋y－5＝0，∴两直线的距离为＝，又原点到直线l2的距离为，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为＋＝3.故选A.
8．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
答案 [－2,2]
解析 b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．
∴b的取值范围是[－2,2]．
9．已知直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则实数a的值是________．
答案 0或1
解析 因为直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a的值为0或1.
10．[2018·银川模拟]点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．
答案 2
解析 直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示．由图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|＝ ＝2，所以点P(2，1)到直线l的最大距离为2.
[B级 知能提升]
1．[2018·东城期末]如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
答案 A
解析 因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选A.
2．[2018·宜春统考]已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )
A．2x＋3y－18＝0
B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
答案 D
解析 依题意，设直线l：y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
则有＝，
因此－5k＋2＝k＋6，或－5k＋2＝－(k＋6)，
解得k＝－或k＝2，
故直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.
3．[2018·淮安调研]已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．
答案 6x－y－6＝0
解析 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
4．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解 (1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.
若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.
∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.
又∵l1过点(－3，－1)，
∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，
∴此种情况不存在，∴k2≠0，
即k1，k2都存在．∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，
∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②联立，解得a＝2，b＝2.
(2)∵l2的斜率存在且l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，
k1＝k2，即＝1－a.③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，④
联立③④，解得或
∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
5．[2018·合肥模拟]已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
解 (1)设A′(x，y)，由已知条件得
解得
∴A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
得M′.
设直线m与直线l的交点为N，则
由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上，
易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，
再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
解法二：∵l∥l′，
∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．
∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，
∴由点到直线的距离公式，得
＝，解得C＝－9，
∴l′的方程为2x－3y－9＝0.
解法三：设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为
P′(－2－x，－4－y)．∵点P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.