2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 16页

集合、简易逻辑与不等式 一、单选题 ‎1．“sin x＝1”是 “cos x＝0”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：当时，由得即；当时，由，得，即，因此由不能得到，因此“sinx=1‎”是“”的充分不必要条件，故答案为A．‎ 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、充分条件、必要条件的应用．‎ ‎2．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：首先求得集合A和集合B，然后结合交集的定义求解交集即可求得最终结果.‎ 详解：求解指数不等式可得：，‎ 求解绝对值不等式可得：，‎ 结合交集的定义可得：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合,再根据并集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，选B ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解法，集合的并集运算，是基础题.‎ ‎4．已知若x，y均为正数，则的最小值是　　‎ A． B． C．8 D．24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，，展开整理后利用基本不等式即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎，y均为正数， 则 当且仅当且即，时取等号， 的最小值是8． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是对应用条件的配凑．‎ ‎5．若，满足约束条件，则的最小值为 （ ）‎ A． B． C．0 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求解目标函数的最小值.‎ 详解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，‎ 由，则，‎ 结合图象可知，平移直线经过点时，直线的截距最大，‎ 此时取得最小值，‎ 由，解得，‎ 所以目标函数的最小值为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了利用线性规划求最小值问题，其中正确作出不等式组所表示的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想解答是求解的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力.‎ ‎6．已知集合A‎={x|x=a+(a‎2‎-1)i}‎(a∈R,i是虚数单位)，若A⊆R，则a=‎( )‎ A．1 B．－1 C．±1 D．0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为A⊆R，所以A中的元素为实数．所以a‎2‎‎−1=0‎即a=±1‎.‎ 考点：1.集合的运算；2.复数的运算.‎ ‎7．“a∥α，则a平行于α内任一条直线”是(　　)‎ A．真命题 B．全称命题 C．特称命题 D．不含量词的命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题 ‎【详解】‎ 当，则不一定与内的所有直线平行，故该命题为假命题，排除 又因为该命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题，排除 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了全称命题和特称命题的判断，掌握全称量词和特称量词是解答本题的关键，属于基础题。‎ 二、填空题 ‎8．若变量满足约束条件，则的最大值是________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 试题分析：满足约束条件的可行域如图阴影部分所示：‎ ‎∵目标函数，∴当过点B时z取得最大值7．‎ 考点：线性规划．‎ ‎9．已知x∈(0, 3)‎，则函数y=‎1‎x+‎‎4‎‎3−x的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：y=‎1‎x+‎‎4‎‎3−x当且仅当即时取得等号 考点：基本不等式 ‎10．命题“”的否定是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：命题“”的否定是．‎ 考点：命题的否定．‎ ‎11．已知满足不等式组，则的最小值等于______‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式组，画出可行域，在可行域内平移目标函数，即可求得最小值。‎ ‎【详解】‎ 根据题意，画出线性约束条件表示的可行域如下图：‎ 平移目标函数，可知在C处取得最小值，因为C(3,0)‎ 将C点坐标代入目标函数可得z=3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划求最值的简单应用，注意画图要标准，属于基础题。‎ ‎12．，若‎|An|‎表示集合An中元素的个数，则‎|A‎5‎|=‎ ，则‎|A‎1‎|+|A‎2‎|+|A‎3‎|+...+|A‎10‎|=‎ ．‎ ‎【答案】11；682．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，，即，，‎ 由于不能整除3，从到，，3的倍数，共有682个，‎ 考点：集合中元素的个数．‎ ‎13．如果,那么 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为 所以 所以 ‎14．在中，分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球面积的最小值为________________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三棱锥补充成长方体，则对角线长分别为，设长方体的长宽高分别为，推导出，从而，由此能求出三棱锥的外接球面积的最小值．‎ ‎【详解】‎ 由题意得三棱锥的对棱分别相等， 将三棱锥补充成长方体， 则对角线长分别为， 设长方体的长宽高分别为， 则， ∴， ∵ ‎ ‎， ∴， ∴三棱锥的外接球面积的最小值为： ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三棱锥外接球的面积的最小值的求法，考查球、圆锥等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ 三、解答题 ‎15．（1）求下列方程组的解集 ‎（2）求下列不等式组的解集 ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）采用代入消元法可求得，进而得到，从而求得解集；（2）将分式不等式转化为一元二次不等式的求解，解一元二次不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得：‎ 代入得：，解得：或 当时，；当时，‎ 方程组的解集为：‎ ‎（2）由得：，解得：或 由得：‎ ‎，解得：或 综上所述：或 不等式组的解集为：或 ‎【点睛】‎ 本题考查二元二次方程组的求解、分式不等式的求解，属于基础题.‎ ‎16．动物园需要用篱笆围成两个面积均为50 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m．‎ ‎（1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；‎ ‎（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？‎ ‎【答案】（1），.（2）当垂直于墙的边长为时，所用篱笆的总长度最小，最小为m.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长，表示出；由且，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得每个长方形平行于墙的边长，‎ 则，‎ 且，‎ ‎，‎ 所以函数的定义域为，；‎ ‎（2），当且仅当，即时取等号，‎ 故当垂直于墙的边长为时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是．‎ ‎【点睛】‎ 此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．‎ ‎17．用列举法表示下列集合：‎ ‎（1）方程组的解集；‎ ‎（2）不大于的非负奇数集；‎ ‎（3）．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）由得，故方程组的解集为．‎ ‎（2）不大于即为小于或等于，非负是大于或等于，‎ 故不大于的非负奇数集为．‎ ‎（3）∵，，∴.此时，即．‎ ‎18．如图（1）是一直角墙角，，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直.是一块长为米，宽为米的板材，现欲用板材与墙角围成一个直棱柱空间堆放谷物. ‎ ‎（1）若按如图（1）放置，如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？‎ ‎（2）由于墙面使用受限，面只能使用米，面只能使用米.此矩形板材可以折叠围成一个直四棱柱空间，如图（2），如何折叠板材才能使这个空间最大？‎ ‎【答案】(1) 板材与墙面成45°角;(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）设，且 因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，利用基本不等式可得；（2）因为直四棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，又的面积为定值，只需寻找面积的最大值，作只需最大即可，设则，可得 ‎，利用二次函数的性质可得结果.‎ 详解：（1）设，且 ‎ 因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大 ‎ ， ‎ 当且仅当取到等号.‎ 即板材放置时，使得板材与墙面成45°角.‎ ‎（2）因为直四棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，又的面积为定值，只需寻找面积的最大值.‎ 又在中，只需寻找AB边上高的最大值即可.‎ 如图：作 设则 ‎ ‎ 当时PH最大,此时 即板材放置时，沿中间折叠，使得PA=PB.‎ 点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及利用基本不等式、二次函数求最值，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.‎ ‎19．命题：“关于的方程有解”，命题：“，恒成立”，若“”为真，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】试题分析：借助复合命题的真假建立不等式求解即可获解.‎ 试题解析：若为真，则，故或.‎ 若为真，则令，则，‎ 令，则，所以在上单调递减；‎ 令，则，所以在上单调递增.‎ 当时，有最小值，.‎ 恒成立，，即.‎ ‎“”为真，为真且为真. 解得.‎ 从而所求实数的取值范围为.‎ 考点：命题的真假及充分必要条件．‎ ‎【易错点晴】本题考查的是复合命题的真假为背景,真正考查函数的最值和解不等式的能力的一道试题.求解时要充分借助题设条件中要求“”为真”,该条件等价于“命题都是真命题”，从而将命题转化为不等式的形式，最后将问题转化为求两个不等式交集的问题,命题中含参数的取值范围问题一般有两条思路，其一是建立不等式求其解集，其二是建立函数求其值域.‎ ‎20．已知.‎ ‎（1）若对任意的，不等式上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）参变分离后可得在上恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而得到参数的取值范围.‎ ‎（2）原不等式可化为，就对应方程的两根的大小关系分类讨论可得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对任意的，恒成立即恒成立.‎ 因为当时，（当且仅当时等号成立）， ‎ 所以即.‎ ‎（2）不等式，‎ 即，‎ ‎①当即时，；‎ ‎②当即时，；‎ ‎③当即时，.‎ 综上：当时，不等式解集为；‎ 当时，不等式解集为；‎ 当时，不等式解集为.‎ ‎【点睛】‎ 含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．一元二次不等式的恒成立问题，参变分离后可以转化为函数的最值进行讨论，后者可利用基本不等式来求.‎