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- 2021-04-15 发布
2017—2018学年下学期南昌十中高二期中考试
数学试题（理科）
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1.已知为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为
A. 2 B. 1 C. D.
2.已知函数，则的值为
A. B. 0 C. D. 1
3．某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有( )
A．24种 B．52种C．10种 D．7种
4.设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A． B． C． D．
5．设m=,n=则m, n, p的大小顺序为（ ）
A. m>p>n B. p>n>m C. n>m>p D. m>n>p
6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若则
7.在正方体中，E是AD的中点，则异面直线与BC所成的角的余弦值是
A. B. C. D.
8.设则（ ）
A． 都小于 B．都大于
C.至少有一个不小于 D．至少有一个不大于
9.已知是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱的中点点到平面的距离
A. B. C. D.
10.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为
A. 1 B. C. D. 2
11．设函数，．若f(x)的三个零点为，且，则 ( )
A．x1＜－2 B．x2＞0 C．x3＜1 D．x3＞2
12.已知三棱锥D-的四个顶点都在同一球面上，和所在的平面互相垂直，,则此球的体积等于( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.设复数,______ ；
14.如上图，直角梯形中，,将该梯形绕边旋转一周，则所形成的几何体的表面积等于；
第16题
15．给出以下数对序列
（1，1）
（1，2），（2，1）
（1，3），（2，2），（3，1）
（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）
…………
记第m行的第n个数对为，如，则=；
16.如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面平面，已知，，且当规定主（正）视方向垂直平面时，该几何体的左（侧）视图的面积为．若、分别是线段、上的动点，则的最小值为．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝CD＝4，AD1＝5，M是B1D1的中点．
(1)求证：BM∥平面D1AC；
(2)求直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值．
18.已知函数在点处取得极值.
(1)求，的值；
(2)若有极大值，求在上的最小值．
19.如图，在三棱柱中，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点．
证明：平面；
求二面角的平面角的正切值．
20.已知双曲线C：及直线l：．
若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
若l与C交于两点，且AB中点横坐标为，求AB的长．
21.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，且平面平面ABCD．
Ⅰ求证：；
Ⅱ在线段PA上是否存在一点M，使二面角的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
22.已知函数．
(1)若a=1，求曲线在点(1，)处的切线方程；
(2)若函数在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
(3)求证：
南昌十中高二数学期中考试参考答案
1-5 D B A D D 6-10 D C C A C 11-12 D A
13. 14.(3+) 15.(5，16) 16.3
17.解：(1)证明：在长方体ABCD A1B1C1D1中，
∵AD＝4，AD1＝5，
∴ --------1分
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设AC的中点为N，联结ND1，
根据题意得A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，B1(4，4，3)，D1(0，0，3)，B1D1的中点为M(2，2，3)，AC的中点为N(2，2，0)．
∴＝(－2，－2，3)，＝(－2，－2，3)，
∴∥，∴BM∥ND1.
∵BM⊄平面D1AC，ND1⊂平面D1AC，
∴BM∥平面D1AC. ------5分
(2)易得DD1＝(0，0，3)，＝(－4，4，0)，＝(－4，0，3)， ------7分
设平面D1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)，根据已知得
取x＝1，得
∴n＝（1，1，）是平面D1AC的一个法向量， ------9分
∴cos〈，n〉＝＝， ------11分
∴直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值等于. ------12分
18.解：(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有即
化简得解得……………………………………4分
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2. ……………………………………………5分
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．…………8分
可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，
f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4. …………12分
19.证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、所在直线分别为x、y、z轴建系．则，
易知，
，
，
，
，
又，
又平面；
解：设平面的法向量为，
由，得，
取，得，
又平面的法向量为，
=，二面角的平面角的正切值
20.解：双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，分
整理得分
，解得且 （5分）
双曲线C与直线l有两个不同交点时，k的取值范围是分
设交点，
由得，即，解得：．
且分
．
分
21. 证明：过B作，交AD于O，连接OP．
四边形OBCD是矩形，
，
．
．
又平面平面，
平面平面OPB，
．
平面平面ABCD，平面平面，
平面ABCD．
以O为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
假设存在点使得二面角的大小为，
则．
设平面BCM的法向量为，则．
，令
得
平面ABCD，
为平面ABCD的一个法向量．
解得．
．
22.