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- 2021-04-15 发布
深圳高级中学2019届高三年级12月模拟考试
理 科 数 学
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设，是两个不同的平面，是直线且，“”是“”的（ ）.
A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
5.已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
6.已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C. 或 D．或
7．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
8．若双曲线：的一条渐近线被抛物线所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
9.函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需将的图像( )
A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )
A. B. C. D.
11.记数列的前项和为.已知，，则（ ）
A． B． C. D．
12. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知向量与的夹角为，，，则__________．
14．若，，则__________．
15．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为__________．
16.中，角，，所对边分别为，，.是边的中点，且，，，则面积为 ．
三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列的前项和为，且，，成等差数列，．
（l）求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
18. 在中，内角，，的对边分别为，，且
.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求.
19．如图，四棱锥中，为正三角形，，，，，为棱的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，有，椭圆的离心率为；[来源:学科网]
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，过点作直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，线段的中点为点，记与轴的交点为，求的取值范围．
21.已知函数，其中．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数存在两个极值点，，且，证明：．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以射线
为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）将曲线的参数方程化成普通方程，将直线的极坐标方程化成直角坐标方程；
（2）求直线与曲线相交所得的弦的长．
2019届高三年级12月模拟考试理科数学
答 案
1．B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 10.A 11.A 12,A
8．【解析】双曲线：的一条渐近线方程不妨设为：，与抛物线方程联立，，消去，得，所以，所以所截得的弦长为，化简可得，，，，得或（舍），所以双曲线的离心率．
9.【解析】由图像知，，， ，，得，所以，为了得到的图像，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D．
10.该几何体为如图中的三棱锥C－A1C1E，EC＝EA1＝，A1C＝＝4，
三角形EA1C的底边A1C上的高为：2，
表面积为：S＝24＋24＋44＋24＝
11
12. 有3个不同解，令当时，令，则递减；当递增，则时，恒有得或递减；递增；时，递减，则的极小值为的极大值为结合函数图象可得实数a的取值范围是.[答案]A
二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．
13．【解析】，，与的夹角为，，
又，，故答案为．
14．【解析】由，可得．又，结合，可得，．，故答案为．
15．
根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为，即，，则球心到底面等边得中心的距离，根据球心O与高围成的等腰三角形，可得三棱锥的高，故三棱锥的体积．即答案为．
16.
三．解答题
17．【解析】（1）因为，，成等差数列，所以，①·····2分
所以．②
①－②，得，所以．·····4分
又当时，，所以，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即．·····6分
（2）根据（1）求解知，，，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．·····7分
又因为，，，，，，，，
，，，·····9分
所以
．·····12分
18.（1）由，由正弦定理得，
即，·····3分
所以，∴.·····6分
（2）由正弦定理，可得，，
所以.·····10分
又，，∴，解得.·····12分
19．【解析】（1）取中点，连接，．
为中点，，又，，
为平行四边形，···········2分
．
又为正三角形，，从而，···········3分
又，，平面，···········4分
又平面，平面平面．···········5分
（2），，又，，平面．平面为与平面所成的角，即，．···········7分
以为原点，建系如图，设，则，，，，···········8分[来源:学科网]
，．设为平面的法向量，
则，令，得，···········10分
由（1）知，为平面的一个法向量．···········11分
，即二面角的余弦值为，
即二面角的余弦值为．······12分
20．【解析】（1）因为，所以，所以，
因为，所以， 所以，
所以椭圆的标准方程为．·······4分
（2）由题意可知直线的斜率存在，设：，，，
，
联立直线与椭圆，消去得，
，，·······5分
又，解得：，·····6分
，，
所以，·······7分
所以：，即，
化简得：，·······8分
令，得，即，·······9分
，·······10分
令，则，
所以，
所以．·······12分
21.解：（1）函数定义域为，且，，
令，，·····1分
当，即时，，∴在上单调递减；·····2分
当，即时，由，解得，，
若，则，∴时，，单调递减；
时，，单调递增；时，，单调递减；·····3分
若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；·····4分
综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；
时，的单调递减区间为．·····5分
（2）因为函数定义域为，且，
∵函数存在两个极值点，∴在上有两个不等实根，，
记，则∴，
从而由且，可得，，·····7分
∴，·8分
构造函数，，
则，
记，，则，
令，得（，故舍去），
∴在上单调递减，在上单调递增，·····10分[来源:学*科*网]
又，，
∴当时，恒有，即，
∴在上单调递减，∴，即，
∴．·····12分
22．【解析】（1）曲线的参数方程化成直角坐标方程为，·····2分
因为，，所以的直角坐标方程为．·····4分
（2）直线的倾斜角为，过点，
所以直线化成参数方程为，即，（为参数），5分
代入得，，，
设方程的两根是，，则，，·····8分
所以．·····10分