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- 2021-04-15 发布
安徽省芜湖市师范大学附属中学 2019-2020 学年
高一下学期期末考试试题
一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．数列 的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．现要完成下列 3 项抽样调查：①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查；②科技报告
厅有 32 排，每排有 40 个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意
见，需要请 32 名听众进行座谈；③某中学共有 160 名教职工，其中一般教师 120 名，行政
人员 16 名，后勤人员 24 名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容
量为 20 的样本．其中较为合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样，系统抽样，分层抽样 B．简单随机抽样，分层抽样，系统抽样
C．系统抽样，简单随机抽样，分层抽样 D．分层抽样，系统抽样，简单随机抽样
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
4．设 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．具有线性相关关系的变量 x、y．一组数据如表所示，y 与 x 的回归直线方程为
，则 a 的值为（ ）
x 0 1 2 3
y -1 1 4 8
A．-1 B．-1.5 C．-2 D．1
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 值为（ ）
1,3, 5,7− −
2 1na n= − ( ) ( )11 2 1n
na n+= − × −
( ) ( )1 2 1n
na n= − × − ( ) ( )1 2 1n
na n= − × +
a b< 2 2ac bc< 0a b> > 1 1
a b
<
a b> 2 2a b> 0a b> > 0c d< < ac bd>
2 0
1 0
0
x y
y
x y
− ≤
− ≤
− ≥
2z x y= −
3y x a= +
A．3 B．7 C．15 D．12
7．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚
五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻
译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进
一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇．这个问题体现了古代对数列
问题的研究，现将墙的厚度改为 130 尺，则在第几天墙才能被打穿？（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．设 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，则 的形状
一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
9．设 ，是等差数列 的前 n 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．当 时，不等式 恒成立，则 k 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，某景区欲在两山顶 A，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高
， ，在水平面上 E 处测得山顶 A 的仰角为 30°，山顶 C 的
仰角为 45°， ，则两山顶 A、C 之间的距离为（ ）
ABC 2 cosa B c= ABC
nS { }na 4
8
1
3
S
S
= 8
16
S
S
=
3
5
3
10
1
2
1
5
x∈R 2 2 0kx kx− + >
( ] ( ),0 8,−∞ +∞ [ )0,+∞
( )0,8 [ )0,8
( )3 kmAB = ( )3 3 kmCD =
150BED∠ = °
A． B．
C． D．
12．已知方程 ，在 上有两个不同的解，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
13．抛掷甲、乙两枚质地均匀且各面分别标有 1，2，3，4，5，6 的骰子，记正面向上的数
字分别为 x，y，则 的概率是__________．
14．函数 的最小值为__________．
15．已知数列 满足 且 ， 为数列 的前项和，则
__________．
16．在 中，已知 ， ，则 面积的最大值是
__________．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 48 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 8 分）
已知函数 ．
（1）当 ， 时，解不等式 ；
（2）当 时，解关于 x 的不等式 （结果用 a 表示）．
( )63 km ( )6 3 km
( )13 km ( )66 km
2 0x bx c+ + = ( )0,2 ( )2 2 2c b c+ +
20, 2
30, 4
( )0,1 ( )0, 2
x y<
( )4 2 01y x xx
= + + >+
{ }na 1
4
2n
n
a a+ = − 1 4a = nS { }na 2020S =
ABC 2 4cos 2 sina C c B= + 2 2b = ABC
( ) ( )2 3 1f x x a x b= − + +
1a = 5b = − ( ) 0f x >
22 2b a a= + ( ) 0f x <
18．（本小题满分 10 分）
某城市 200 户居民的月平均用电量（单位：度），以 ， ， ，
， ， 分组的频率分布直方图如下：
（1）求直方图中 x 的值；
（2）在月平均用电量为 ， ， 的三组用户中，用分层抽样
的方法抽取 20 户居民，则月平均用电量在 的用户中应抽取多少户？
（3）求月平均用电量的中位数和平均数．
19．（本小题满分 10 分）
在 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 ．
（1）求角 C 的大小；
（2）若 ，且 AB 边上的中线长为 5，求 的面积．
[ )160,180 [ )180,200 [ )200,220
[ )220,240 [ )240,280 [ )280,300
[ )220,240 [ )240,260 [ )260,280
[ )220,240
ABC
sin sin
sin
A C a b
B a c
− −= +
4 3c = ABC
20．（本小题满分 10 分）
已知数列 满足 ， ．
（1）证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 n 项和 ．
21．（本小题满分 10 分）
如图，芜湖市城乡规划局将龙窝湖定位为市级滨江湿地公园，现准备在湿地内建造一个观界
台 P，已知射线 AB，AC 为湿地两边夹角为 120°的公路且长度均超过 2 千米，在两条公路
AB，AC 上分别设立游客接送点 M，N，从观景台 P 到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN，
测得 千米， 千米．
（1）求线段 MN 的长度；
（2）若 ，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值．
{ }na 1 1a = ( )1
*
1
2
2
n
n
n n
n
aa n Na
+
+ = ∈+
2n
na
{ }na
( )1n nb n n a= + { }nb nS
2AM = 2AN =
60MPN∠ = °
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B D B C C C B D B C
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分）
13． 14．5 15．2023 16．
三、解答题（本大题共 5 个小题，共 48 分）
17．（本小题满分 8 分）
（1）当 ， 时 ，
∴ 的解集为 ．
（2）当 时， ，
即 ，
①当 时， ，此时不等式的解集为 ，
②当 时， ，此时不等式的解集为 ，
③当 时， ，此时不等式的解集为 ．
18．（本小题满分 10 分）
（1）由直方图的性质可得
，
得： ，所以直方图中 x 的值是 0.0075．
（2）月平均用电量比例为 ，
所以月平均用电量在 的用户中应抽取 （户）．
（3）因为 ，
所以月平均用电量的中位数在 内，设中位数为 a，
由 ，
得： ．
5
12
( )2 2 1+
1a = 5b = − ( ) ( )( )2 4 5 1 5f x x x x x= − − = + −
( ) 0f x > ( ) ( ), 1 5,−∞ − +∞
22 2b a a= + ( ) ( ) ( ) ( )2 23 1 2 2 2 1f x x a x a a x a x a= − + + + = − − +
( ) 0f x < ( ) ( )2 1 0x a x a− − + <
1a > 2 1a a> + ( )1,2a a+
1a = 2 1a a= + φ
1a < 2 1a a< + ( )2 , 1a a +
( )0.002 0.0095 0.011 0.0125 0.005 0.0025 20 1x+ + + + + + × =
0.0075x =
5:3: 2
[ )220,240 520 1010
× =
( )0.002 0.0095 0.011 20 0.45 0.5+ + × = <
[ )220,240
( ) ( )0.002 0.0095 0.011 20 0.0125 220 0.5a+ + × + × − =
224a =
平均数
，
．
19．（本小题满分 10 分）
（1）由正弦定理得 ，化简得 ．
由余弦定理得 ，
由 可得 ．
（2）倍长 AB 边上的中线至 CD，连接 DA，在 中，
由 的余弦定理可得 ，
又由（1）知 即 ，
所以 ，
所以 ．
20．（本小题满分 10 分）
（1）由已知可得 ，
所以 ，即 ，
∴数列 是公差为 1 的等差数列，
∴ ，∴ ．
（2）由（1）知， ，
所以 ，
，
170 0.04 190 0.19 210 0.22 230 0.25 250 0.15 270 0.1 290 0.05x = × + × + × + × + × + × + ×
225.6x =
a c a b
b a c
− −= +
2 2 2a b c ab+ − =
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= =
( )0,πC ∈ π
3C =
DAC
CAD∠
2 2
2 2100 1cos 1002 2
a bCAD a b abab
+ −∠ = = − ⇒ + + =
2 2 2a b c ab+ − = 2 2 48a b ab+ − =
26ab =
1 1 3 13 3sin 262 2 2 2S ab C= = × × =
1
12 2
n n
n n
n
a a
a
+
+ = +
1
1
2 2 1
n n
n na a
+
+
= +
1
1
2 2 1
n n
n na a
+
+
− =
2n
na
( )
1
2 2 1 1 1
n
n
n na a
= + − ⋅ = + 2
1
n
na n
= +
2n
nb n= ⋅
2 31 2 2 2 3 2 2n
nS n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2n
nS n += ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
相减得 ，
∴ ．
21．（本小题满分 10 分）
（1）在 中，由余弦定理得，
，
所以 千米．
（2）设 ，因为 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理得， ，
所以 ， ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 取到最大值 ．
答：两条观光线路距离之和的最大值为 千米．
2 3 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2n n n n
nS n n+ + +− = + + + + − ⋅ = − − ⋅
( ) 11 2 2n
nS n += − +
AMN
2 2 2 2 cos120MN AM AN AM AN= + − ⋅ °
2 2 12 2 2 2 2 122
= + − × × × − =
2 3MN =
PMN α∠ = 60MPN∠ = °
120PNM α∠ = °−
PMN ( ) 4sin sin 120 sin
MN PM PN
MPN α α= = =∠ °−
( )4sin 120PM α= °− 4sinPN α=
( )4sin 120 4sinPM PN α α+ = °− +
3 14 cos sin 4sin2 2
α α α = + +
( )6sin 2 3 cos 4 3sin 30α α α= + = + °
0 120α° < < ° 30 30 150α° < + ° < °
30 90α + ° = ° 60α = ° PM PN+ 4 3
4 3