2014年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ）解析版 15页

2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1．（ 5 分）设集合 M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则 M∩N=（ ） A． {1} B． {2} C． {0，1} D． {1，2} 考点： 交集及其运算．菁优网版权所有 专题： 集合． 分析： 求出集合 N 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论． 解答： 解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}， ∴M∩N={1，2}， 故选：D． 点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．（ 5 分）设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则 z1z2=（ ） A． ﹣5 B． 5 C． ﹣4+i D． ﹣4﹣i 考点： 复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 根据复数的几何意义求出 z2，即可得到结论． 解答： 解：z1=2+i 对应的点的坐标为（2，1）， ∵复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1）， 则对应的复数，z2=﹣2+i， 则 z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5， 故选：A 点评： 本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础． 3．（ 5 分）设向量 ， 满足| + |= ，| ﹣ |= ，则 • =（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 5 考点： 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题： 平面向量及应用． 分析： 将等式进行平方，相加即可得到结论． 解答： 解：∵| + |= ，| ﹣ |= ， ∴分别平方得 +2 • + =10， ﹣2 • + =6， 两式相减得 4 • =10﹣6=4， 即 • =1， 故选：A． 点评： 本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础． 4．（ 5 分）钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1，BC= ，则 AC=（ ） A． 5 B． C． 2 D． 1 考点： 余弦定理．菁优网版权所有 专题： 三角函数的求值． 分析： 利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC 的值代入求出 sinB 的值，分两种情况考虑：当 B 为钝角时；当 B 为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出 cosB 的值，利用余弦定理求出 AC 的值即 可． 解答： 解：∵钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=c=1，BC=a= ， ∴S= acsinB= ，即 sinB= ， 当 B 为钝角时，cosB=﹣ =﹣ ， 利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即 AC= ， 当 B 为锐角时，cosB= = ， 利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即 AC=1， 此时 AB2+AC2=BC2，即△ ABC 为直角三角形，不合题意，舍去， 则 AC= ． 故选：B． 点评： 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的 关键． 5．（ 5 分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已 知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A． 0.8 B． 0.75 C． 0.6 D． 0.45 考点： 相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 专题： 概率与统计． 分析： 设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得 0.75×p=0.6，由此解得 p 的值． 解答： 解：设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则有题意可得 0.75×p=0.6， 解得 p=0.8， 故选：A． 点评： 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题． 6．（ 5 分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个 底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A． B． C． D． 考点： 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可． 解答： 解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3 高为 2，一个是底面半径为 2，高为 4， 组合体体积是：32π•2+22π•4=34π． 底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π． 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为： = ． 故选：C． 点评： 本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 7．（ 5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，t 均为 2，则输出的 S=（ ） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 考点： 程序框图．菁优网版权所有 专题： 算法和程序框图． 分析： 根据条件，依次运行程序，即可得到结论． 解答： 解：若 x=t=2， 则第一次循环，1≤2 成立，则 M= ，S=2+3=5，k=2， 第二次循环，2≤2 成立，则 M= ，S=2+5=7，k=3， 此时 3≤2 不成立，输出 S=7， 故选：D． 点评： 本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础． 8．（ 5 分）设曲线 y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x，则 a=（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 专题： 导数的概念及应用． 分析： 根据导数的几何意义，即 f′（x0）表示曲线 f（x）在 x=x0 处的切线斜率，再代入计算． 解答： 解： ， ∴y′（0）=a﹣1=2， ∴a=3． 故答案选 D． 点评： 本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确， 就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值， 证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视． 9．（ 5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣y 的最大值为（ ） A． 10 B． 8 C． 3 D． 2 考点： 简单线性规划．菁优网版权所有 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值． 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC）． 由 z=2x﹣y 得 y=2x﹣z， 平移直线 y=2x﹣z， 由图象可知当直线 y=2x﹣z 经过点 C 时，直线 y=2x﹣z 的截距最小， 此时 z 最大． 由 ，解得 ，即 C（5，2） 代入目标函数 z=2x﹣y， 得 z=2×5﹣2=8． 故选：B． 点评： 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基 本方法． 10．（ 5 分）设 F 为抛物线 C：y2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为（ ） A． B． C． D． 考点： 抛物线的简单性质．菁优网版权所有 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过 A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联 立后化为关于 y 的一元二次方程，由根与系数关系得到 A，B 两点纵坐标的和与积，把△ OAB 的面积表示 为两个小三角形 AOF 与 BOF 的面积和得答案． 解答： 解：由 y2=3x，得 2p=3，p= ， 则 F（ ）． ∴过 A，B 的直线方程为 y= ， 即 ． 联立 ，得 ． 设 A（x1，y1）， B（x2，y2）， 则 ， ． ∴ = = ． 故选：D． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直 线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题． 11．（ 5 分）直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BCA=90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 考点： 异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 画出图形，找出 BM 与 AN 所成角的平面角，利用解三角形求出 BM 与 AN 所成角的余弦值． 解答： 解：直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BCA=90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，如图：BC 的中点为 O， 连结 ON， ，则 MN0B 是平行四边形，BM 与 AN 所成角就是∠ANO， ∵BC=CA=CC1， 设 BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO= ，AN= ，MB= = = ， 在△ ANO 中，由余弦定理可得：cos∠ANO= = = ． 故选：C． 点评： 本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用． 12．（ 5 分）设函数 f（x）= sin ，若存在 f（x）的极值点 x0 满足 x0 2+[f（x0）]2＜m2，则 m 的取值范围是（ ） A． （﹣∞，﹣ 6）∪（6，+∞） B． （﹣∞，﹣ 4）∪（4，+∞） C． （﹣∞，﹣ 2）∪（2，+∞） D． （﹣∞，﹣ 1）∪（1，+∞） 考点： 正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由题意可得，f（x0）=± ，且 =kπ+ ，k∈z，再由题意可得当 m2 最小时，|x0|最小，而|x0|最小为 |m|， 可得 m2 ＞ m2+3，由此求得 m 的取值范围． 解答： 解：由题意可得，f（x0）=± ，且 =kπ+ ，k∈z，即 x0= m． 再由 x0 2+[f（x0）]2＜m2，可得当 m2 最小时，|x0|最小，而|x0|最小为 |m|， ∴m2 ＞ m2+3，∴m2＞4． 求得 m＞2，或 m＜﹣2， 故选：C． 点评： 本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.（第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题~第 24 题为选考题，考生根据要求作答） 13．（ 5 分）（x+a）10 的展开式中，x7 的系数为 15，则 a= ． 考点： 二项式系数的性质．菁优网版权所有 专题： 二项式定理． 分析： 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出 r 的值，即可求得 x7 的系数，再根据 x7 的系数为 15，求得 a 的值． 解答： 解：（x+a）10 的展开式的通项公式为 Tr+1= •x10﹣r•ar， 令 10﹣r=7，求得 r=3，可得 x7 的系数为 a3• =120a3=15， ∴a= ， 故答案为： ． 点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质， 属于中档题． 14．（ 5 分）函数 f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 1 ． 考点： 三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有 专题： 三角函数的求值． 分析： 由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为 f（x）=sinx，从而求得函数的最大值． 解答： 解：函数 f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ） =sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ =sin[（x+φ）﹣φ]=sinx， 故函数 f（x）的最大值为 1， 故答案为：1． 点评： 本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题． 15．（ 5 分）已知偶函数 f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若 f（x﹣1）＞0，则 x 的取值范围是 （﹣1，3） ． 考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为 f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论． 解答： 解：∵偶函数 f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0， ∴不等式 f（x﹣1）＞0 等价为 f（x﹣1）＞f（2）， 即 f（|x﹣1|）＞f（2）， ∴|x﹣1|＜2， 解得﹣1＜x＜3， 故答案为：（﹣1，3） 点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为 f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题 的关键． 16．（ 5 分）设点 M（x0，1），若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得∠OMN=45°，则 x0 的取值范围是 [﹣1，1] ． 考点： 直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题： 直线与圆． 分析： 画出图形即可得到结果． 解答： 解：由题意画出图形如图： ∵点 M（x0，1），若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得∠OMN=45°， ∴圆心到 MN 的距离为 1，要使 MN=1，才能使得∠OMN=45°， 图中 M′显然不满足题意，当 MN 垂直 x 轴时，满足题意， ∴x0 的取值范围是[﹣1，1]． 故答案为：[﹣1，1]． 点评： 本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 17．（ 12 分）已知数列{an}满足 a1=1，an+1=3an+1． （Ⅰ）证明{an+ }是等比数列，并求{an}的通项公式； （Ⅱ）证明： + +…+ ＜ ． 考点： 数列的求和；等比数列的性质．菁优网版权所有 专题： 证明题；等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即 =常数，又首项不为 0，所以为等比数列； 再根据等比数列的通项化式，求出{an}的通项公式； （Ⅱ）将 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式． 解答： 证明（Ⅰ） = =3， ∵ ≠0， ∴数列{an+ }是以首项为 ，公比为 3 的等比数列； ∴an+ = = ，即 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 当 n≥2 时， ＜ = ， ∴当 n=1 时， 成立， 当 n≥2 时， + +…+ 1+ …+ = = ＜ ． ∴对 n∈N+时， + +…+ ＜ ． 点评： 本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行； 数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一， 通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题． 18．（ 12 分）如图，四棱柱 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面 AEC； （Ⅱ）设二面角 D﹣AE﹣C 为 60°，AP=1，AD= ，求三棱锥 E﹣ACD 的体积． 考点： 二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （Ⅰ）连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO，只要证明 EO∥PB，即可证明 PB∥平面 AEC； （Ⅱ）延长 AF 至 M 连结 DM，使得 AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出 CD，即可三 棱锥 E﹣ACD 的体积． 解答： （Ⅰ）证明：连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO， ∵O 为 BD 中点，E 为 PD 中点， ∴EO∥PB，（ 2 分） EO⊂平面 AEC，PB⊄平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC；（ 6 分） （Ⅱ）解：延长 AF 至 M 连结 DM，使得 AM⊥DM， ∵四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD， ∴CD⊥平面 AMD，二面角 D﹣AE﹣C 为 60°， ∴∠CMD=60°， ∵AP=1，AD= ，∠ADP=30°， ∴PD=2， E 为 PD 的中点．AF=1， ∴DM= ， CD= = ． 三棱锥 E﹣ACD 的体积为： = = ． 点评： 本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中 档题． 19．（ 12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （Ⅰ）求 y 关于 t 的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地 区 2015 年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， = ﹣ ． 考 点： 线性回归方程．菁优网版权所有 专 题： 计算题；概率与统计． 分 析： （Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和， 代入公式求出 b 的值，再求出 a 的值，写出线性回归方程． （Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的 t 的值，预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入，这 是一个估计值． 解 答： 解：（Ⅰ）由题意， = （1+2+3+4+5+6+7）=4， = （2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3， ∴ = = =0.5， = ﹣ =4.3﹣0.5×4=2.3． ∴y 关于 t 的线性回归方程为 =0.5t+2.3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元． 将 2015 年的年份代号 t=9 代入 =0.5t+2.3，得： =0.5×9+2.3=6.8， 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元． 点 评： 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题 目做对的必备条件，本题是一个基础题． 20．（ 12 分）设 F1，F2 分别是 C： + =1（a＞b＞0）的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N． （1）若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率； （2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|=5|F1N|，求 a，b． 考点： 椭圆的应用．菁优网版权所有 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （1）根据条件求出 M 的坐标，利用直线 MN 的斜率为 ，建立关于 a，c 的方程即可求 C 的离心率； （2）根据直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出 N 的坐标，代入椭圆方 程即可得到结论． 解答： 解：（1）∵M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直， ∴M 的横坐标为 c，当 x=c 时，y= ，即 M（c， ）， 若直线 MN 的斜率为 ， 即 tan∠MF1F2= ， 即 b2= =a2﹣c2， 即 c2﹣ ﹣a2=0， 则 ， 解得 e= ． （Ⅱ）由题意，原点 O 是 F1F2 的中点，则直线 MF1 与 y 轴的交点 D（0，2）是线段 MF1 的中点， 故 =4，即 b2=4a， 由|MN|=5|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|， 设 N（x1，y1），由题意知 y1＜0， 则 ，即 代入椭圆方程得 ， 将 b2=4a 代入得 ， 解得 a=7，b= ． 点评： 本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数发是解决本题的关键，综合性较强，运算 量较大，有一定的难度． 21．（ 12 分）已知函数 f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）设 g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当 x＞0 时，g（x）＞0，求 b 的最大值； （Ⅲ）已知 1.4142＜ ＜1.4143，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001）． 考点： 利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 专题： 压轴题；导数的综合应用． 分析： 对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的； 对第（Ⅱ）问，先验证 g（0）=0，只需说明 g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断 g'（x） ＞0 是否成立”的问题； 对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法寻求 ln2，于是在 b=2 及 b＞2 的情况下分别计算 ， 最后可估计 ln2 的近似值． 解答： 解：（Ⅰ）由 f（x）得 f'（x）=ex+e﹣x﹣2 ， 即 f'（x）≥0，当且仅当 ex=e﹣x 即 x=0 时，f'（x）=0， ∴函数 f（x）在 R 上为增函数． （Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x， 则 g'（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）] =2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）] =2（ex+e﹣x﹣2）（ ex+e﹣x﹣2b+2）． ①∵ex+e﹣x≥2，ex+e﹣x+2≥4， ∴当 2b≤4，即 b≤2 时，g'（x）≥0，当且仅当 x=0 时取等号， 从而 g（x）在 R 上为增函数，而 g（0）=0， ∴x＞0 时，g（x）＞0，符合题意． ②当 b＞2 时，若 x 满足 2＜ex+e﹣x＜2b﹣2 即 时，g'（x）＜0， 又由 g（0）=0 知，当 时，g（x）＜0，不符合题意． 综合①、②知，b≤2，得 b 的最大值为 2． （Ⅲ）由（Ⅱ）知， ． 当 b=2 时，由 ，得 ； 当 时，有 ， 由 ，得 ． 所以 ln2 的近似值为 0.693． 点评： 1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压 轴题． 2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决 本题的一个重要突破口． 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修 4-1： 几何证明选讲】 22．（ 10 分）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点 E，证明： （Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）AD•DE=2PB2． 考点： 与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．菁优网版权所有 专题： 选作题；几何证明． 分析： （Ⅰ）连接 OE，OA，证明 OE⊥BC，可得 E 是 的中点，从而 BE=EC； （Ⅱ）利用切割线定理证明 PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得 AD•DE=2PB2． 解答： 证明：（Ⅰ）连接 OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°， ∵PC=2PA，D 为 PC 的中点， ∴PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA， ∵∠PDA=∠CDE， ∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°， ∴OE⊥BC， ∴E 是 的中点， ∴BE=EC； （Ⅱ）∵PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交于点 B，C， ∴PA2=PB•PC， ∵PC=2PA， ∴PA=2PB， ∴PD=2PB， ∴PB=BD， ∴BD•DC=PB•2PB， ∵AD•DE=BD•DC， ∴AD•DE=2PB2． 点评： 本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档 题． 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 23．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ， θ∈[0， ]． （Ⅰ）求 C 的参数方程； （Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y= x+2 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定 D 的坐 标． 考点： 参数方程化成普通方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的参数方程．菁优网版权所有 专题： 坐标系和参数方程． 分析： （Ⅰ）半圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 （x﹣1）2+y2=1，令 x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，可得 半圆 C 的参数方程． （Ⅱ）由题意可得直线 CD 和直线 l 平行．设点 D 的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线 CD 和直线 l 的斜率 相等求得 cotα 的值，可得 α 的值，从而得到点 D 的坐标． 解答： 解：（Ⅰ）半圆 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ，θ∈[0， ]，即 ρ2=2ρcosθ， 化为直角坐标方程为 （x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]． 令 x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]． 故半圆 C 的参数方程为 ，α∈[0，π]． （Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y= x+2 垂直， ∴直线 CD 和直线 l 平行，故直线 CD 和直线 l 斜率相等． 设点 D 的坐标为（1+cosα，sinα）， ∵C（1，0）， ∴ = ， 解得 tanα= ，即 α= ， 故点 D 的坐标为（ ， ）． 点评： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，注意参数的范围，属于基 础题． 六、解答题（共 1 小题，满分 0 分） 24．设函数 f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）． （Ⅰ）证明：f（x）≥2； （Ⅱ）若 f（3）＜5，求 a 的取值范围． 考点： 绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 专题： 不等式的解法及应用． 分析： （Ⅰ）由 a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得 f（x）≥2 成立． （Ⅱ）由 f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，分当 a＞3 时和当 0＜a≤3 时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的 解集，再取并集，即得所求． 解答： 解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|≥|（x+ ）﹣（x﹣a）|=|a+ |=a+ ≥2 =2， 故不等式 f（x）≥2 成立． （Ⅱ）∵f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5， ∴当 a＞3 时，不等式即 a+ ＜5，即 a2﹣5a+1＜0， 解得 3＜a＜ ． 当 0＜a≤3 时，不等式即 6﹣a+ ＜5， 即 a2﹣a﹣1＞0，求得 ＜≤3． 综上可得，a 的取值范围（ ， ）． 点评： 本题主要考查绝对值三角不等时，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．