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- 2021-04-15 发布
河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年
高二下学期周练(5.3)(文)
一.选择题(共50分)
1.下列说法错误的个数是( )
①在线性回归模型y=bx+a+e中,预报变量y除了受解释变量x的影响外,可能还受到其它因素的影响,这些因素会导致随机误差e的产生
②在线性回归模型y=bx+a+e中,随机误差e是由于计算不准确造成的,可以通过精确计算避免随机误差e的产生
③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病
④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,若K2从统计量中求出有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有1%的可能性使得判断出现错误
⑤在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,若K2的观测值k>6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病.
A.2 B.3 C.4 D.5
2.根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
y
4.0
2.5
﹣0.5
0.5
﹣2.0
得到的回归方程为.若a=7.9,则x每增加1个单位,y就( )
A.增加1.4个单位 B.减少1.4个单位
C.增加1.2个单位 D.减少1.2个单位
3.已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示,根据该折线图可知,下列说法错误的是( )
A.该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高
B.该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低
C.该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元
D.该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益
4.在平面中,与正方形ABCD的每条边所成角都相等的直线与AB所成角的余弦值为.将此结论类比到空间中,得到的结论为:在空间中,与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的每条棱所成角都相等的直线与AB所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.将自然数按如下规律排数对:
(0,1),(1,0),(0,2),(1,1),(2,0),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,1),…,则第58个数对是( )
A.(6,4) B.(5,5) C.(4,6) D.(3,7)
6.下面使用类比推理正确的是( )
A.直线a∥b,b∥c,则a∥c,类推出:向量,则
B.同一平面内,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.类推出:空间中,直线a,b,
c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b
C.实数a,b,若方程x2+ax+b=0有实数根,则a2≥4b.类推出:复数a,b,若方程x2+ax+b=0有实数根,则a2≥4b
D.以点(0,0)为圆心,r为半径的圆的方程为x2+y2=r2.类推出:以点(0,0,0)为球心,r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r2
7.要证:a2+b2﹣1﹣a2b2≥0,只要证明( )
A.2ab﹣1﹣a2b2≥0 B.(a2﹣1)(b2﹣1)≤0
C.﹣1﹣a2b2≥0 D.a2+b2﹣1﹣≤0
8.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( )
A.4 B.5 C.2 D.3
9.用反证法证明“至少存在一个实数x0,使>0成立”时,假设正确的是( )
A.不存在实数x0,使成立
B.至多存在一个实数x0,使成立
C.至少存在两个实数x0,使成立
D.任意实数x,3x>0恒成立
10.在数学解题中,常会碰到形如“”的结构,这时可类比正切的和角公式.如:设a,b是非零实数,且满足=tan,则=( )
A.4 B. C.2 D.
二.填空题(共20分)
11.用反证法证明“∀x∈R,2x>0”,应假设为
12.已知复数z=(其中i是虚数单位,满足i2=﹣1)则z的共轭复数是
13.已知复数z1=2+ai(a∈R),z2=1﹣2i,若为纯虚数,则|z1|=
14.观察下列几个三角恒等式
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1
②tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1
③tan5°tan100°+tan100°tan(﹣15)°+tan(﹣15)°tan5°=1.
一般的,若tanα,tanβ,tanγ均有意义,你可以归纳出结论:
三.解答题(共30分)
15.某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数(AQI)的监测数据,结果统计如表:
API
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,300]
>300
空气质量
优
良
轻度污染
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
6
14
18
27
20
15
(Ⅰ)若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季,其中有8 天为严重污染.根据提
供的统计数据,完成下面的2×2 列联表,并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”?
非重度污染
严重污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
100
(Ⅱ)已知某企业每天的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x 的关系式为y=试估计该企业一个月(按30 天计算)的经济损失的平均数.
参考公式:K2=
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
16.为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关,现收集了7组观测数据列于下表中,并做出了散点图,发现样本点并没有分布在某个带状区域内,两个变量并不呈现线性相关关系,现分别用模型①与模型;②作为产卵数y和温度x
的回归方程来建立两个变量之间的关系.
温度x/℃
20
22
24
26
28
30
32
产卵数y/个
6
10
21
24
64
113
322
t=x2
400
484
576
676
784
900
1024
z=lny
1.79
2.30
3.04
3.18
4.16
4.73
5.77
26
692
80
3.57
1157.54
0.43
0.32
0.00012
其中,,zi=lnyi,,
附:对于一组数据(μ1,ν1),(μ2,ν2),…(μn,νn),其回归直线v=βμ+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,
(1)根据表中数据,分别建立两个模型下y关于x的回归方程;并在两个模型下分别估计温度为30℃时的产卵数.(C1,C2,C3,C4与估计值均精确到小数点后两位)(参考数据:e4.65≈104.58,e4.85≈127.74,e5.05≈156.02)
(2)若模型①、②的相关指数计算分别为
.,请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.
17.已知数列{an}中,a2=a+2(a为常数),Sn是{an}的前n项和,且Sn是nan与na的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}是首项为1,公比为的等比数列,Tn是{bn}的前n项和,问是否存在常数a,使a10•Tn<12恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
参考答案
1.解:对于①,y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响,故①正确;
对于②,随机误差不是由于计算不准造成的,故②不正确.
对于③,不表示有每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病,故③不正确.
对于④,从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,是指有1%的可能性使推断出现错误,④正确.
对于⑤,不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病,故⑤不正确.
故选:B.
2.解:设变量x,y的平均值为:,,
∴==5,
=0.9,
∴样本中心点(5,0.9),
∴0.9=5×b+7.9
∴b=﹣1.4,
∴x每增加1个单位,y就减少1.4.
故选:B.
3.解:由折线图可知,该超市2019年的12个月中的7月份的收入﹣支出的值最大,所以收益最高,故选项A正确;
由折线图可知,该超市2019年的12个月中的4月份的收入﹣支出的值最小,所以收益最低,故选项B正确;
由折线图可知,该超市2019年7至12月份的总收益为60+40+30+30+50+30=240,2019年1至6月份的总收益为20+30+20+10+30+30=140,所以
该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元,故选项C错误,选项D正确;
故选:C.
4.解:与正方形ABCD的每条边所成角都相等的直线为正方形对角线所在直线,
与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的每条棱所成角都相等的直线为正方体对角线所在直线,
∴与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的每条棱所成角都相等的直线与AB所成角为∠ABD1,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,
则AB=1,AD1=,BD1=,
∵AB⊥AD1,
∴与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的每条棱所成角都相等的直线与AB所成角的余弦值为:
cos∠ABD1===.
故选:B.
5.解:根据题意,通过观察发现:各数对中两个数的和为1的有两个,分别为(0,1)、(1,0);
和为2的有3个,分别为(0,2),(1,1),(2,0);
和为3的有4个,分别为(0,3),(1,2),(2,1),(3,0);
…
以此类推,
得到和为9时,有数对10个,
此时一共出现了=54个数对,
则第58个数对是两个数的和为10的数对中的第4个,为(3,7);
故选:D.
6.解:对于A,=时,不正确;
对于B,空间中,直线a,b, c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b或a⊥b或相交,故不正确;
对于C,方程x02+ix0+(﹣1±i)=0有实根,但a2≥4b不成立,故C不正确;
对于D,设点P(x,y,z)是球面上的任一点,由|OP|=r,得x2+y2+z2=r2,故D正确.
故选:D.
7.解:要证:a2+b2﹣1﹣a2b2≥0,只要证明(a2﹣1)(1﹣b2)≥0,
只要证明(a2﹣1)(b2﹣1)≤0.
故选:B.
8.解:模拟执行程序,可得
a=1,A=1,S=0,n=1
S=2
不满足条件S≥10,执行循环体,n=2,a=,A=2,S=
不满足条件S≥10,执行循环体,n=3,a=,A=4,S=
不满足条件S≥10,执行循环体,n=4,a=,A=8,S=
满足条件S≥10,退出循环,输出n的值为4.
故选:A.
9.解:根据反证法的原理,假设是对原命题结论的否定,
故选:A.
10.解:因为tan==tan(+θ),且tanθ=
∴+θ=kπ+,
∴θ=kπ+,
∴tanθ=tan(kπ+)=.
∴=
故选:D.
11.解:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,P(x0)成立的否定是使得P(x0)不成立,即用反证法证明“∀x∈R,2x>0”,应假设为∃x0∈R,≤0
12.解:复数z==﹣2﹣i,则z的共轭复数是﹣2+i.
13.解:∵z1=2+ai(a∈R),z2=1﹣2i,
∴,
由为纯虚数,则,解得a=1,
则z1=2+i,
∴|z1|=.
14.解:观察所给3个等式可得:当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.
故答案为:α+β+γ=90°,则tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.
15.解:(Ⅰ)根据题设中的数据得到如下2×2列联表:
非严重污染
严重污染
总计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
总计
85
15
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算,得:
K2=≈4.575.---------------------------------------------------5分
∵4.575>3.841
∴由95%的把握认为:“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”---------------6分
(Ⅱ)任选一天,设该天的经济损失为X元,则:
P(X=0)=P(0≤x≤100)=
P(X=400)=P(100<x≤300)=,
P(X=2000)=P(x>300)=
∴X=0×+400×+2000×=560.----------------------------------------------9分
∴该企业一个月(按30 天算)的经济损失的平均数为30×560=16800元.--10分
16.解:(1)对于模型①:设t=x2,则,
其中,…(1分)
;…(3分)
所以y=0.43x2﹣217.56,…(4分)
当x=30时,估计产卵数为
;…(5分)
对于模型②:设z=lny,则lny=C3x+C4,
其中,…(6分)
;…(7分)
所以y=e0.32x﹣4.75,
当x=30时,估计产卵数为
;…(8分)
(2)因为,
,
所以模型②的拟合效果更好. …(10分)
17.解:(1)由已知得:2Sn=nan+na,
所以当n≥2时2Sn﹣1=(n﹣1)an﹣1+(n﹣1)a.
两式相减得:2an=nan﹣(n﹣1)an﹣1+a,
整理得:(n﹣1)an﹣1=(n﹣2)an+a.-------------------------------------------2分
当n≥3时,上式可化为:
,---------------------------------3分
于是:
.--------------------------------------4分
又,2a1=a1+a⇒a1=a,a2=a+2均满足上式,
故an=2n+a﹣2(n∈N*)--------------------------------------------------------------5分
(2)因为,
所以.------------------------------------------6分
又a10=a+18,所以a10•Tn<12
可化为,--------------------------------------------7分
整理得:.----------------------------------------------------8分
令,
则当n为奇数时,;
当n为偶数时,.--------------------------------------------------9分
所以,,
故.
故存在常数a,使a10•Tn<12恒成立,
其范围是(﹣∞,﹣6).------------------------------------------------------------10分