2020届二轮复习冲刺提分第6讲　基本不等式作业（江苏专用） 3页

第6讲　基本不等式　‎ ‎1.(2019徐州期中,12)已知正实数a,b满足a+2b=1,则‎1+‎‎1‎a‎2+‎‎1‎b的最小值为　　　　. ‎ ‎2.函数f(x)=2x+‎9‎‎2‎x‎+1‎的最小值是　　　　. ‎ ‎3.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,9)已知正实数a,b满足a+b=1,则‎2a‎2‎+1‎a+‎2b‎2‎+4‎b的最小值为　　　　. ‎ ‎4.(2019镇江期末,12)已知x>0,y>0,x+y=‎1‎x+‎4‎y,则x+y的最小值为　　　　. ‎ ‎5.(2019无锡期中,12)设x,y为正实数,且‎4‎‎1+x+‎3‎‎2+y=1,则xy的最小值为　　　　. ‎ ‎6.已知a,b,c∈(0,+∞),则‎(a‎2‎+b‎2‎+c‎2‎‎)‎‎2‎+5‎‎2bc+ac的最小值为　　　. ‎ ‎7.(2019南通、如皋二模,13)已知正数x,y满足3x+y+‎1‎x+‎2‎y=‎13‎‎2‎,则x-‎1‎y的最小值为　　　　. ‎ ‎8.(2018江苏南京高三上学期第一次段考)已知函数y=x+mx-1‎(m>0).‎ ‎(1)若m=1,求当x>1时函数的最小值;‎ ‎(2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m的值.‎ 答案精解精析　‎ ‎1.答案　18‎ 解析　因为‎1+‎‎1‎a‎2+‎‎1‎b=2+‎1‎b+‎2‎a+‎1‎ab=2+a+2b+1‎ab=2+‎2‎ab,又1=a+2b≥2‎2ab,所以ab≤‎1‎‎8‎,则2+‎2‎ab≥2+2×8=18,当且仅当a=2b,即a=‎1‎‎2‎,b=‎1‎‎4‎时,取等号.‎ ‎2.答案　5‎ 解析　f(x)=(2x+1)+‎9‎‎2‎x‎+1‎-1≥2‎9‎-1=5,当且仅当x=1时取等号,则最小值是5.‎ ‎3.答案　11‎ 解析　‎2a‎2‎+1‎a+‎2b‎2‎+4‎b=2a+‎1‎a+2b+‎4‎b=2+‎1‎a+‎4‎b=2+‎1‎a‎+‎‎4‎b(a+b)=2+5+‎4ab+ba≥7+4=11,当且仅当‎4ab=ba,即b=2a=‎2‎‎3‎时,取“=”.‎ ‎4.答案　3‎ 解析　因为(x+y)2=(x+y)(x+y)=(x+y)‎1‎x‎+‎‎4‎y=5+yx+‎4xy≥5+2yx‎·‎‎4xy=9,当且仅当y=2x时取“=”.‎ 又x>0,y>0,所以x+y≥3.‎ ‎5.答案　27‎ 解析　对于‎4‎‎1+x+‎3‎‎2+y=1,去分母得4(2+y)+3(1+x)=(1+x)·(2+y),即xy=x+3y+9,又x,y为正实数,所以xy≥2‎3xy+9(当且仅当x=3y,即x=9,y=3时,取“=”),‎ 即xy-9≥2‎3xy,两边平方,得(xy)2-30(xy)+81≥0,‎ 解得xy≤3或xy≥27,‎ 由xy≥2‎3xy+9,知xy≤3不成立,‎ 所以xy≥27.‎ ‎6.答案　4‎ 解析　因为a,b,c∈(0,+∞),‎ 所以‎(a‎2‎+b‎2‎+c‎2‎‎)‎‎2‎+5‎‎2bc+ac ‎=a‎2‎‎+‎‎1‎‎5‎c‎2‎‎+‎b‎2‎‎+‎‎4‎‎5‎c‎2‎‎2‎‎+5‎‎2bc+ac≥‎ ‎2a‎2‎c‎2‎‎5‎+2‎‎4‎b‎2‎c‎2‎‎5‎‎2‎‎+5‎‎2bc+ac‎=‎ ‎4‎‎5‎‎(ac+2bc‎)‎‎2‎+5‎‎2bc+ac‎≥‎2‎‎4‎‎5‎‎(ac+2bc‎)‎‎2‎·5‎‎2bc+ac=4,当且仅当a2=‎1‎‎5‎c2,b2=‎4‎‎5‎c2,‎4‎‎5‎(ac+2bc)2=5时取等号,故‎(a‎2‎+b‎2‎+c‎2‎‎)‎‎2‎+5‎‎2bc+ac的最小值为4.‎ ‎7.答案　-‎‎1‎‎2‎ 解析　x-‎1‎y=x-‎1‎y+‎13‎‎2‎-‎13‎‎2‎=x-‎1‎y+3x+y+‎1‎x+‎2‎y-‎13‎‎2‎=4x+‎1‎x+y+‎1‎y-‎13‎‎2‎≥2‎4x·‎‎1‎x+2y·‎‎1‎y-‎13‎‎2‎=-‎1‎‎2‎,当且仅当x=‎1‎‎2‎,y=1时取等号.‎ ‎8.解析　(1)m=1时,y=x+‎1‎x-1‎=x-1+‎1‎x-1‎+1.因为x>1,所以x-1>0,所以y=x-1+‎1‎x-1‎+1≥2‎(x-1)·‎‎1‎x-1‎+1=3,‎ 当且仅当x-1=‎1‎x-1‎,即x=2时取等号,‎ 所以当x>1时函数的最小值为3.‎ ‎(2)因为x<1,所以x-1<0,‎ 所以y=x-1+mx-1‎+1=-‎1-x+‎m‎1-x+1≤-2‎(1-x)·‎m‎1-x+1=-2m+1,‎ 当且仅当1-x=m‎1-x,即x=1-m时取等号,‎ 即函数的最大值为-2m+1,所以-2m+1=-3,解得m=4.‎