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- 2021-04-15 发布
南昌二中2019—2020学年度上学期期中考试
高二数学（理）试卷
一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）
1．命题： ， ，则（ ）
A. ：， B. ：，
C. ：， D. ：，
2．在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（ ）
A. B. C. D.
3．设角A,B,C是的三个内角,则“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5．若满足不等式组，则的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．椭圆以点为中点的弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．直线（为参数）被曲线所截的弦长为（ ）
A. B. C. D.
8．设点、分别是双曲线（,）的右顶点和右焦点,直线 交双曲线的一条渐近线于点．若是等腰三角形,则此双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．过抛物线的焦点作两条垂直的弦,则（ ）
A． B． C． D．
10．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
11．已知点是椭圆上非顶点的动点，分别为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，若是的平分线上一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
14．过抛物线的焦点作直线与其交于两点，若，则 .
15．已知在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数且），在以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线的极坐标方程为，则曲线与交点的直角坐标为 .
16．已知曲线（且）与直线相交于两点，且（为原点），则的值为 .
三、解答题（共6小题，共70分）
17． （本小题10分）
已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.
（1）判断直线与曲线的位置关系；
（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．
18．（本小题12分）
设命题：函数的定义域为；命题：关于的方程有实根.
（1）如果是真命题，求实数的取值范围.
（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围.
19．（本小题12分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）若点，设圆与直线交于点，．求的最小值．
20．（本小题12分）
已知直线： 恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.
（1）求定点的坐标与圆的方程；
（2）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
21．（本小题12分）
已知直线与椭圆相交于两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段的长；
（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值．
22．（本小题12分）如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为
（1）求曲线的方程；
（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点．
①求证：不可能是钝角；
②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由．
高二期中考试数学（理）试卷参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号
11
22
23
34
45
46
77
88
99
110
111
112
答案
BD
AB
DA
BA
DD
AC
BC
CD
CD
BB
BB
DB
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13． 14. 15. （2，2） 16.
小题详解：
1．D 由含量词的命题的否定可得选项D成立.
2．B 由题可知：,对于中点M有，同理，对于中点M有 ，所以中点M的参数值为.
3．A 若 ,则若是钝角三角形,则C不一定为钝角,不一定成立,故选A.
4．A 抛物线的焦点坐标为，因此，双曲线的离心率为，所以，因此双曲线的渐近线方程为，故选A.
5．D
6．C 由题意该弦所在的直线斜率存在，设弦的两端点为，
代入椭圆得，，两式相减得直线的斜率为， 因此所求直线方程为，即.
7．C 直线（为参数）化为普通方程：直线．∵曲线，展开为，∴，化为普通方程为，即，∴圆心，．圆心C到直线距离，∴直线被圆所截的弦长=．故选C．
8．D 显然,,所以由是等腰三角形得.易知, ,所以,
. 解得 .故选D.
9．D 由抛物线，可知，设的倾斜角为，则的倾斜角为，过焦点的弦，所以，故选D.
10.B如图所示，根据切线，可有，，所以最小值为13.
11．B 延长交或其延长线于点，∵，∴，又为的平分线，∴且为的中点，∵为
的中点，∴，且．∵ ，∴．∴或，∴．
12．B 因为关于原点对称，所以也在椭圆上，设左焦点为，根据椭圆的定义：，又因为，所以，是直角三角形斜边的中点，所以,，所以，所以，由于，所以.
13．
14. 由题：，焦点坐标为（1,0），运用抛物线定义可得；，
可求出直线的方程为；， 联立方程可得：.
15．（2，2） 由曲线的参数方程为（为参数且），消去参数得到曲线的普通方程为：；曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程得；由方程组：解得，（舍去），故曲线与交点的直角坐标为（2，2）．
16． 则，设，，联立直线的方程和双曲线的方程消去得，
，且，由化简得.
17．（1）直线 的普通方程为 曲线的直角坐标系下的方程为 圆心到直线的距离为 所以直线与曲线的位置关系为相离.
（2）设，则.
18．（1）若命题是真命题，当时定义域为，不合题意
当时，由已知可得故的范围为
（2）若命题是真命题，则关于的方程有实根，令，
∴
若命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假
若真假，则； 若假真，则
综上：实数的取值范围是或.
19．（1）由得，得，即
（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得．
由，故可设，是上述方程的两根，
所以，又直线过点，故结合的几何意义得
，所以的最小值为．
20．（1）由得， ，令，得，即定点的坐标为. 设圆的方程为，
由条件得，解得.
所以圆的方程为.
（2）圆的标准方程为， ， 设点关于圆心的对称点为，则有，解得， ，故点的坐标为. 因为在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，
若点为直角三角形的顶点，则有， ，
若点是直角三角形的顶点，则有， ，
综上， 或.
21．（1），
∴椭圆的方程为 联立，
（2），
整理得．
，
整理得：， 代入上式得
由此得 ，故长轴长的最大值为．
22．（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，
则，而，则，
化简得：，所以曲线的方程为．
（2）①设直线，， 由，得， 则，．
，，
， 则不可能是钝角．
②假设存在这样的点，设的中点为，由①知;
，则，则，
则，
而，由得，， 所以存在点．