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- 2021-04-15 发布
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
知识点一 平面向量的数量积
1．数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量____________叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝____________.
2．向量的投影：设θ为a与b的夹角，则______(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
3．数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积．
答案
1．|a||b|cosθ |a||b|cosθ
2．|a|cosθ 3.|b|cosθ
1．判断正误
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)两个向量的夹角的范围是.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝( )
A．－a2 B．－a2
C.a2 D.a2
解析：由菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°得∠BCD＝120°，∠ABD＝30°，在△BCD中，由余弦定理得BD＝a，所以·＝·＝a·acos30°＝a·a·＝a2.
答案：D
3．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为________．
解析：b在a方向上的投影为
|b|cos120°＝3×(－)＝－.
答案：－
知识点二 平面向量数量积的运算律与性质
1．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cosθ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·.
2．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
4．判断正误
(1)(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(2)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
答案：(1)× (2)×
5．(必修④P107例6改编)设a＝(，1)，b＝，则向量a，b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：由题意，得|a|＝＝2.
|b|＝＝，
a·b＝－＝.
设向量a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝.
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.
答案：B
第1课时 平面向量的数量积
热点一 平面向量的数量积运算
【例1】 (1)(2016·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A．－ B.
C. D.
(2)(2017·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB
边上的动点，·的最大值为________．
【解析】 (1)如图，设＝m，＝n，根据已知得，＝m，所以＝＋＝m＋n，＝m－n，·＝(m＋n)·(m－n)＝m2－n2－m·n＝－－＝.
(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，＝(t，－1)，＝(1,0)．所以·＝t≤1.
【答案】 (1)B (2)1
1．在本例题(2)中，试求·的取值范围．
解：由本例题(2)的规范解答知，＝(t，－1)，
＝(t－1，－1)，t∈[0,1]，
所以·＝t(t－1)＋1＝t2－t＋1＝2＋，
因为t∈[0,1]，所以≤·≤1，
即·的取值范围为.
2．本例题(2)中，当E是AB的中点时，试求在上的投影．
解：方法1：如图，过点E作EF⊥DC，垂足为F，由投影的定义知，在上的投影是.
方法2：如图，向量与的夹角是∠EDC，
所以在上的投影是||cos∠EDC＝×＝.
【总结反思】
求向量数量积的方法
(1)定义法；(2)坐标法；(3)由向量数量积的几何意义转化为一个向量在另一个向量上的投影与另一向量模的积.
(1) 已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
(2)(2017·云南昆明质检)设D为△ABC所在平面内一点，||＝2，||＝1，⊥，＝，则·＝( )
A．1 B.
C．－1 D．－
解析：(1)＝(2,1)，＝(5,5)．由定义知在方向上的投影为
＝＝.
(2)在△ABC中，因为⊥，所以BC＝＝，所以||＝，所以·＝(＋)·＝(＋)·＝·＋2＝0＋()2＝，故选B.
答案：(1)A (2)B
热点二 平面向量数量积的性质应用
考向1 平面向量的模
【例2】 已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝. 若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
【解析】 ∵e1·e2＝，
∴|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝60°.
又∵b·e1＝b·e2＝1>0，
∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°.
由b·e1＝1，得|b||e1|cos30°＝1，
∴|b|＝＝.
【答案】
考向2 平面向量的夹角
【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)已知向量＝(，)，＝(，)，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
【解析】 由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°.
【答案】 A
考向3 平面向量的垂直问题
【例4】 (1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A．－8 B．－6
C．6 D．8
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
【解析】 (1)由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D.
(2)＝－，由于⊥，
所以·＝0，
即(λ＋)·(－)
＝－λ2＋2＋(λ－1)·
＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×
＝0，解得λ＝.
【答案】 (1)D (2)
【总结反思】
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
① a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
(1)(2017·云南第一次统测)已知平面向量a＝(3,6)，b＝(x，－1)，如果a∥b，那么|b|＝( )
A. B.
C．3 D.
(2)(2017·新疆维吾尔自治区检测)已知向量a，b满足a⊥b，|a
|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为( )
A. B．－
C．± D．1
(3)(2017·湖南郴州第一次质量检测)已知△ABC的外心P满足＝(＋)，则cosA＝( )
A. B.
C．－ D.
解析：(1)由题意，得6x＝－3，则x＝－，
则|b|＝＝，故选B.
(2)因为a⊥b，所以a·b＝0.
又(3a＋2b)⊥(λa－b)，
所以(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2－3a·b＋2λa·b－2b2＝12λ－18＝0，解得λ＝.
(3)取BC的中点D，连接AD，PD，则
＝＋＝(＋)＋，
又＝(＋)，
所以＝(＋)．
由·＝(＋)·(－)＝0，得||＝||.又＝2，所以P又是重心，所以△ABC是等边三角形，所以cosA＝cos60°＝，故选A.
答案：(1)B (2)A (3)A
1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
4．明确两个结论：
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．