【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第九章第二讲　圆的方程及直线、圆的位置关系作业 11页

第二讲　圆的方程及直线、圆的位置关系 ‎1.[2020贵阳市高三摸底测试]“m=‎4‎‎3‎”是“直线x - my+4m - 2=0与圆x2+y2=4相切”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.[2020湖北武汉部分学校测试]已知A( - 1,0),B(1,0)两点以及圆C:(x - 3)2+(y - 4)2=r2(r>0),若圆C上存在点P,满足AP·PB=0,则r的取值范围是(　　)‎ A.[3,6] B.[3,5] C.[4,5] D.[4,6]‎ ‎3.[2019陕西四校联考]直线ax - by=0与圆x2+y2 - ax+by=0的位置关系是(　　)‎ A.相交　　　B.相切　　　C.相离　　　D.不能确定 ‎4.[2019开封高三定位考试]已知圆(x - 2)2+y2=9,则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的长之和为(　　)‎ A.4 B.6 C.8 D.10‎ ‎5.[2019浙江名校第四次联考]设圆x2+y2 - 2x - 3=0截x轴和y轴所得的弦分别为AB和CD,则四边形ACBD的面积是(　　)‎ A.8‎3‎ B.4‎3‎ C.8 D.4‎ ‎6.[原创题]已知圆C:x2+y2+2x - 4y+1=0,若点A,B在圆C上,满足|AB|=2‎3‎,且AB的中点M在直线2x+y+k=0上,则实数k的取值范围是(　　)‎ A.[ - 2‎5‎,2‎5‎] B.[ - 5,5] C.( - ‎5‎,‎5‎) D.[ - ‎5‎,‎5‎]‎ ‎7.[2019河北省衡水中学高三调考]若圆x2+y2 - ax+2y+1=0和圆x2+y2=1关于直线y=x - 1对称,过点C( - a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程是(　　)‎ A.y2 - 4x+4y+8=0 B.y2+2x - 2y+2=0‎ C.y2+4x - 4y+8=0 D.y2 - 2x - y+1=0‎ ‎8.已知圆C的圆心在y轴上,点M(3,0)在圆C上,且直线2x - y - 1=0经过线段CM的中点,则圆C的标准方程是(　　)‎ A.x2+(y - 3)2=18 B.x2+(y+3)2=18‎ C.x2+(y - 4)2=25 D.x2+(y+4)2=25‎ ‎9.[2019浙江杭州七校第三次联考]已知P(x,y)是不等式组‎2x+y - 1≥0,‎x - y≤1,‎x+y≤1‎表示的平面区域内的任意一点,Q是圆C:(x - 2)2+(y - 2)2=4上的动点,则|PQ|的最大值为(　　)‎ ‎ A.‎5‎ - 2 B.‎5‎+2 C.‎65‎‎3‎ - 2 D.‎65‎‎3‎+2‎ ‎10.[2019合肥高三第三次质检]已知直线l:x - ‎3‎y - a=0与圆C:(x - 3)2+(y+‎3‎)2=4交于点 M,N,点P在圆C上,且∠MPN=π‎3‎,则a的值为 (　　)‎ A.2或10 B.4或8 C.6±2‎2‎ D.6±2‎‎3‎ ‎11.[2020湖北孝感模拟]在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2).若存在点P,使得|PA|=‎2‎|PB|,|PC|=|PD|,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ ‎12.[2020山东省质检]过直线x+y+1=0上一点P作圆C:x2+y2 - 4x - 2y+4=0的两条切线,切点分别为A,B,若四边形PACB的面积为3,则点P的横坐标为　　　　. ‎ ‎13.[2019长春市第二次质量监测]若直线l:y=‎3‎‎3‎x+2与圆C:x2+y2=4相交于A,B两点,则线段AB的中点的坐标为　　　　. ‎ ‎14.[2019江苏无锡一中模拟]直线l的斜率为2,它被圆x2+y2=80截得的弦长小于10‎3‎,则l在y轴上的截距的取值范围是　　　　. ‎ ‎15.[2019湖南省岳阳市第一中学高三二检]若函数f(x)= - ‎1‎beax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是　　　　. ‎ ‎16.[2019河北省衡水中学高三模拟]已知圆C经过原点O(0,0)且与直线y=2x - 8相切于点P(4,0).‎ ‎(1)求圆C的方程.‎ ‎(2)在圆C上是否存在两个点M,N关于直线y=kx - 1对称,且以线段MN为直径的圆经过原点?若存在,写出直线MN的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎17.[2020江西九江模拟]已知两个不相等的实数a,b满足关系式b2cos θ+bsin θ+2=0和a2cos θ+asin θ+2=0,则经过A(a2,a),B(b2,b)两点的直线l与圆x2+y2=4的位置关系是(　　)‎ A.相交 B.相离 C.相切 D.与θ的取值有关 ‎18.[2020惠州市一调]双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线与圆(x - 2)2+y2=3的公共点的个数为(　　)‎ A.1 B.2 C.4 D.0‎ ‎19.[2019太原高三二模]已知点P是圆x2+(y - 2)2=1上的动点,点Q是椭圆x‎2‎‎9‎+y2=1上的动点,则|PQ|的最大值为(　　)‎ A.‎3‎‎6‎‎2‎+1 B.‎13‎+1 C.2‎3‎+1 D.4‎ ‎20.[2019安徽合肥二模]在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点(0,1),(0,3),且与x轴的正半轴相切,若圆C上存在点M,使得直线OM与直线y=kx(k>0)关于y轴对称,则k的最小值为(　　)‎ A.‎2‎‎3‎‎3‎ B.‎3‎ C.2‎3‎ D.4‎‎3‎ ‎21.[2019柳州市高三模拟]已知直线ax+y - 1=0与圆C:(x - 1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的取值为(　　)‎ A. - 1或‎1‎‎2‎ B.1或 – 1 C.2或 - 2 D.1‎ ‎22.[2020石家庄重点高中高三摸底考试]圆心在直线y= - 2x上,并且经过点A(2, - 1),与直线x+y=1相切的圆C的方程是　　　　　　　　. ‎ ‎23.[2020合肥市调研检测]设直线l:x - ‎3‎y+m=0上存在一点P,使得点P到点A(3,0),O(0,0)的距离之比为2,则实数m的取值范围为　　　　. ‎ ‎24.[2019广东六校第一次联考]已知点P( - 1,2)及圆(x - 3)2+(y - 4)2=4,一光线从点P出发,经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T,则|PQ|+|QT|的值为　　　　　. ‎ ‎25.[2019四川省宜宾市高三适应性考试]若动点P在直线a:x - 2y - 2=0上,动点Q在直线b:x - 2y - 6=0上,记线段PQ的中点为M(x0,y0),且(x0 - 2)2+(y0+1)2≤5,则x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎的取值范围为　　　　. ‎ ‎26.[2019广东省茂名市五校联考]已知圆C:x2+y2 - 8x - 6y+F=0与圆O:x2+y2=4相外切,切点为A,过点P(4,1)的直线与圆C交于点M,N,线段MN的中点为Q.‎ ‎(1)求点Q的轨迹方程;‎ ‎(2)若|AQ|=|AP|,点P与点Q不重合,求直线MN的方程及△AMN的面积.‎ ‎27.[2019湖北省部分重点中学模拟]已知圆C经过点A(‎7‎‎4‎,‎17‎‎4‎),B( - ‎31‎‎8‎,‎33‎‎8‎),直线x=0平分圆C,直线l与圆C相切,与圆C1:x2+y2=1相交于P,Q两点,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点). ‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)求直线l的方程.‎ ‎28.[2020四省八校高三第二次质检][创新题]平面内到两定点A,B的距离之比等于常数λ(λ>0且λ≠1)的动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆.已知A(0,0),B(3,0),|PA|=‎1‎‎2‎|PB|,则点P的轨迹围成的平面图形的面积为(　　)‎ A.2π B.4π C.‎9‎‎4‎π D.‎3‎‎2‎π ‎ 29.[创新题]在平面直角坐标系xOy中,已知A( - 1,0),B(2,0),若动圆C:(x - a)2+(y - 1+a)2=‎9‎‎4‎上总存在点P使得PA2+PB2=‎13‎‎2‎,则实数a的取值范围是　　　　　. ‎ ‎30.[交汇题]已知圆O:x2+y2=1,直线l:ax+by+c=0,若a2+b2=2c2,且圆O与直线l交于点M,N,则OM·MN=　　　　. ‎ ‎31.[双空题]已知圆C:x2+y2 - 2x - 6y+4=0与直线l:x+y+b=0,若直线l与圆C交于A,B两点,且∠AOB=90°(O为坐标原点),则b=　　　　,|AB|=　　　　. ‎ 第二讲　圆的方程及直线、圆的位置关系 ‎1.A　由直线x - my+4m - 2=0与圆x2+y2=4相切,可知圆心到直线的距离等于半径,可得到‎|4m - 2|‎‎1+‎m‎2‎=2,即(2m - 1)2=1+m2,解得m=0或m=‎4‎‎3‎,所以“m=‎4‎‎3‎”是“直线x - my+4m - 2=0与圆x2+y2=4相切”的充分不必要条件.‎ ‎2.D　因为AP·PB=0,所以AP⊥PB,‎ 所以点P在以原点为圆心,AB为直径的圆上,且该圆的方程为x2+y2=1.‎ 又点P在圆C上,所以两圆有公共点.‎ 因为两圆的圆心距d=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=5,‎ 所以|r - 1|≤5≤r+1,解得4≤r≤6.‎ 故选D.‎ ‎3.B　将圆的方程化为标准方程得(x - a‎2‎)2+(y+b‎2‎)2=a‎2‎‎+‎b‎2‎‎4‎,‎ ‎∴圆心坐标为(a‎2‎, - b‎2‎),半径r=a‎2‎‎+‎b‎2‎‎2‎,‎ ‎∵圆心到直线ax - by=0的距离d=a‎2‎‎+‎b‎2‎‎2‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎2‎=r,则圆x2+y2 - ax+by=0与直线ax - by=0的位置关系是相切.故选B.‎ ‎4.D　圆(x - 2)2+y2=9的圆心为(2,0),半径为3,所以过点M的最长弦的长为6,最短弦的长为2‎3‎‎2‎‎ - [‎‎(2 - 1‎)‎‎2‎+(0 - 2‎‎)‎‎2‎‎]‎‎2‎=4,所以过点M的最长弦与最短弦的长之和为10,故选D.‎ ‎【技巧点拨】　过圆内某点的最长弦为圆的直径,最短弦为过该点且和该点与圆心连线垂直的弦.‎ ‎5.B　把圆的方程x2+y2 - 2x - 3=0化成标准方程为(x - 1)2+y2=4,所以该圆的圆心坐标为(1,0),半径为2,所以该圆截x轴所得的弦AB的长|AB|=4,截y轴所得的弦CD的长|CD|=2‎4 - 1‎=2‎3‎,所以四边形ACBD的面积S=‎1‎‎2‎|AB|×|CD|=‎1‎‎2‎×4×2‎3‎=4‎3‎.故选B.‎ ‎6.D　圆C的方程可化为(x+1)2+(y - 2)2=4,易知圆心C的坐标为( - 1,2),半径r=2,连接CM,因为|AB|=2‎3‎,所以|CM|=r‎2‎‎ - (‎‎|AB|‎‎2‎‎)‎‎2‎=1,因此点M在以C( - 1,2)为圆心、1为半径的圆上.又点M在直线2x+y+k=0上,故直线2x+y+k=0与圆(x+1)2+(y - 2)2=1有公共点,于是‎| - 2+2+k|‎‎5‎≤1,解得 ‎ - ‎5‎≤k≤‎5‎.故选D.‎ ‎【素养落地】　本题的实质是考查直线与圆的位置关系,解题关键是对问题进行转化,体现了直观想象与逻辑推理等核心素养.‎ ‎7.C　∵圆x2+y2=1的圆心关于直线y=x - 1的对称点是(1, - 1),且点(1, - 1)是圆x2+y2 - ax+2y+1=0的圆心,∴a=2,∴点C的坐标为( - 2,2),设点P(x,y),则有‎(x+2‎)‎‎2‎+(y - 2‎‎)‎‎2‎=|x|,即y2+4x - 4y+8=0.故选C.‎ ‎8.C　设圆C的圆心坐标为(0,b),则线段CM的中点坐标为(‎3‎‎2‎,b‎2‎),因为直线2x - y - 1=0经过线段CM的中点,所以2×‎3‎‎2‎‎ - ‎b‎2‎ - 1=0,解得b=4,所以圆C的圆心坐标为(0,4),半径r=|CM|=‎(0 - 3‎)‎‎2‎+(4 - 0‎‎)‎‎2‎=5,所以圆C的标准方程是x2+(y - 4)2=25,故选C.‎ ‎9.D　作出不等式组表示的平面区域如图D 9 - 2 - 2中阴影部分所示,易知A(0,1),B(‎2‎‎3‎, - ‎1‎‎3‎),D(1,0).圆C:(x - 2)2+(y - 2)2=4的圆心为C(2,2),又点A,B,D到圆心C的距离分别为‎5‎,‎65‎‎3‎,‎5‎,所以易知|PQ|的最大值为‎65‎‎3‎+2,故选D.‎ 图D 9 - 2 - 2‎ ‎【素养落地】　试题需要考生作出图形,将问题转化为不等式组表示的平面区域内的点到圆心的距离的最大值问题,然后结合图形解题,体现了直观想象核心素养.‎ ‎10.B　因为圆的半径r=2,圆心坐标是C(3, - ‎3‎),∠MPN=π‎3‎,且P在圆C上,所以∠MCN=‎2π‎3‎,则|MN|=2‎3‎.又C点到直线l的距离d=‎|3+3 - a|‎‎1+3‎‎=‎‎|a - 6|‎‎2‎,(‎|MN|‎‎2‎)2+d2=r2,所以(‎3‎)2+‎(a - 6‎‎)‎‎2‎‎4‎=4,则a=4或a=8.故选B.‎ ‎11.[ - 2‎2‎ - 1,2‎2‎ - 1]　设P(x,y),则由|PA|=‎2‎|PB|,得‎(x - 1)‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎=‎‎2‎·‎(x - 3)‎‎2‎‎+‎y‎2‎,整理得(x - 5)2+y2=8,即动点P在以(5,0)为圆心,2‎2‎为半径的圆上运动.又由|PC|=|PD|,知动点P在线段CD的垂直平分线y=a+1上运动,因而问题转化为直线y=a+1与圆(x - 5)2+y2=8有交点,所以|a+1|≤2‎2‎,解得 - 2‎2‎ - 1≤a≤2‎2‎ - 1,即实数a的取值范围是[ - 2‎2‎ - 1,2‎2‎ - 1].‎ ‎12. - 1或1　圆C的方程为(x - 2)2+(y - 1)2=1,可知圆心为C(2,1),半径为1.因为四边形PACB的面积为3,所以|PA|×1=3,即|PA|=3.连接PC,在 Rt△PAC中,|PC|=‎|PA‎|‎‎2‎+|AC‎|‎‎2‎‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎10‎,设P(a, - a - 1),则‎(a - 2)‎‎2‎‎+‎‎( - a - 2)‎‎2‎‎=‎‎10‎,整理得a2=1,解得a= - 1或a=1,即点P的横 坐标为 - 1或1.‎ ‎13.( - ‎3‎‎2‎,‎3‎‎2‎)　解法一　由题意得y=‎3‎‎3‎x+2,‎x‎2‎‎+y‎2‎=4,‎消元得‎4‎‎3‎x2+‎4‎‎3‎‎3‎x=0,解得x=0或x= - ‎3‎,所以A,B 两点的坐标分别为(0,2),( - ‎3‎,1),所以线段AB的中点的坐标为( - ‎3‎‎2‎,‎3‎‎2‎).‎ 解法二　由题意知,圆心C与坐标原点O重合,设线段AB的中点为D,则直线OD与直线l垂直,所以直线OD的方程为y= - ‎3‎x.联立得y=‎3‎‎3‎x+2,‎y= - ‎3‎x,‎解得x= - ‎3‎‎2‎,‎y=‎3‎‎2‎,‎所以线段AB的中点的坐标为( - ‎3‎‎2‎,‎3‎‎2‎).‎ ‎14.( - 20, - 5)∪(5,20)　设直线方程为y=2x+b,圆心(0,0)到直线2x - y+b=0的距离d=‎|b|‎‎5‎,‎ 所以弦长为2‎80 - ‎b‎2‎‎5‎,由题意知0<2‎80 - ‎b‎2‎‎5‎<10‎3‎,‎ 所以250,b>0),所以f '(x)= - abeax,所以f '(0)= - ab,又f(0)= - ‎1‎b,所以在x=0处的切线的方程为y+‎1‎b= - abx,即ax+by+1=0.因为切线与圆x2+y2=1相切,所以圆x2+y2=1的圆心到切线的距离d=‎1‎a‎2‎‎+‎b‎2‎=1,即a2+b2=1,因为a>0,b>0,所以a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,所以a+b≤‎2‎,所以a+b的最大值是‎2‎.‎ ‎16.(1)由已知,得圆心在经过点P(4,0)且与直线y=2x - 8垂直的直线y= - ‎1‎‎2‎x+2上,圆心还在线段OP的中垂线x=2上,所以求得圆心C的坐标为(2,1),半径为‎5‎.所以圆C的方程为(x - 2)2+(y - 1)2=5.‎ ‎(2)假设存在两点M,N关于直线y=kx - 1对称,则直线y=kx - 1通过圆心C(2,1),求得k=1,所以可设直线MN的方程为y= - x+b,代入圆的方程,消去y,得2x2 - (2b+2)x+b2 - 2b=0,设M(x1, - x1+b),N(x2, - x2+b),则x1+x2=b+1,x1x2=b‎2‎‎ - 2b‎2‎,所以OM·ON=2x1x2 - b(x1+x2)+b2=b2 - 3b=0,解得b=0或b=3,这时Δ>0,符合题意,所以存在符合条件的M,N,直线MN的方程为y= - x或y= - x+3.‎ ‎17.C　由题意,点A,B的坐标都满足xcos θ+ysin θ+2=0,所以直线l的方程为xcos θ+ysin θ+2=0,‎ 由xcosθ+ysinθ+2=0,‎x‎2‎‎+y‎2‎=4‎可得y2+(4sin θ)y+4sin2θ=0,‎ 因为Δ=16sin2θ - 4×4sin2θ=0,所以直线l和圆x2+y2=4相切.故选C.‎ ‎18.B　双曲线x‎2‎a‎2‎‎ - ‎y‎2‎b‎2‎=1的一条渐近线的方程为y=bax.由离心率e=ca=2得c‎2‎a‎2‎=4,即a‎2‎‎+‎b‎2‎a‎2‎=4,得ba‎=‎‎3‎,所以这条渐近线的方程为y=‎3‎x.由y=‎3‎x,‎‎(x - 2‎)‎‎2‎+y‎2‎=3‎消去y整理得4x2 - 4x+1=0,因为Δ=16 - ‎ ‎4×4=0,所以渐近线y=‎3‎x与圆(x - 2)2+y2=3只有一个公共点.由对称性可得该双曲线的渐近线与圆(x - 2)2+y2=3的公共点的个数为2,故选B.‎ ‎19.A　解法一　设Q(x,y),设圆x2+(y - 2)2=1的圆心为点A,则A(0,2),|QA|=x‎2‎‎+‎‎(y - 2)‎‎2‎.又Q(x,y)为椭圆上一点,所以x‎2‎‎9‎+y2=1,所以x2=9 - 9y2,且y∈[ - 1,1],所以|QA|=x‎2‎‎+‎‎(y - 2)‎‎2‎‎=‎‎ - 8y‎2‎ - 4y+13‎,y∈[ - 1,1],故当y= - ‎1‎‎4‎时,|QA|max=‎3‎‎6‎‎2‎,所以|PQ|的最大值为‎3‎‎6‎‎2‎+1,故选A.‎ 解法二　设Q(3cos θ, sin θ),设圆x2+(y - 2)2=1的圆心为点A,则A(0,2),|QA|=‎9cos‎2‎θ+‎‎(sinθ - 2)‎‎2‎‎=‎9cos‎2‎θ+sin‎2‎θ - 4sinθ+4‎=‎8cos‎2‎θ - 4sinθ+5‎=‎8(1 - sin‎2‎θ) - 4sinθ+5‎=‎‎ - 8sin‎2‎θ - 4sinθ+13‎,所以当sin θ= - ‎1‎‎4‎时,|QA|max=‎3‎‎6‎‎2‎,所以|PQ|的最大值为‎3‎‎6‎‎2‎+1,故选A.‎ ‎20.D　由圆C经过点(0,1),(0,3)可知,圆心的纵坐标为‎1+3‎‎2‎=2,又圆C与x轴的正半轴相切,所以圆的半径为2,则圆心的横坐标为‎2‎‎2‎‎ - (‎‎3 - 1‎‎2‎‎)‎‎2‎‎=‎‎3‎,即圆心为点(‎3‎,2),由此可得圆C的方程为(x - ‎3‎)2+(y - 2)2=4.‎ 由直线OM与直线y=kx(k>0)关于y轴对称知直线OM的方程为y= - kx(k>0),由y= - kx,‎‎(x - ‎3‎‎)‎‎2‎+(y - 2‎)‎‎2‎=4‎消去y得(1+k2)x2+(4k - 2‎3‎)x+3=0,则Δ=(4k - 2‎3‎)2 - 4(1+k2)×3≥0,即4k2 - 16‎3‎k≥0,解得k≥4‎3‎.‎ 故k的最小值为4‎3‎.故选D.‎ ‎21.B　由题意可知△ABC为等腰直角三角形,所以圆心C(1, - a)到直线ax+y - 1=0的距离d=sin π‎4‎‎=‎‎2‎‎2‎,即‎|a - a - 1|‎‎1+‎a‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎,整理得1+a2=2,即a2=1,解得a= - 1或1,故选B.‎ ‎22.(x - 1)2+(y+2)2=2　设所求圆的圆心坐标为(a, - 2a),由条件得‎(a - 2)‎‎2‎‎+‎‎( - 2a+1)‎‎2‎‎=‎‎|a - 2a - 1|‎‎2‎,化简得a2 - 2a+1=0,∴a=1,∴圆心为(1, - 2),半径r=‎(1 - 2)‎‎2‎‎+‎‎( - 2+1)‎‎2‎‎=‎‎2‎,∴所求圆的方程为(x - 1)2+(y+2)2=2.‎ ‎23.[ - 3,5]　设点P(x,y),则‎|PA|‎‎|PO|‎=2,即|PA|2=4|PO|2,所以(x - 3)2+y2=4(x2+y2),整理,得(x+1)2+y2=4,即点P(x,y)在圆心为( - 1,0),半径为2的圆上.由题意知直线l:x - ‎3‎y+m=0与圆(x+1)2+y2=4有公 共点,所以‎| - 1+m|‎‎1‎‎2‎‎+( - ‎‎3‎‎)‎‎2‎‎=‎‎|m - 1|‎‎2‎≤2,解得 - 3≤m≤5,即实数m的取值范围是[ - 3,5].‎ ‎24.4‎3‎　点P关于x轴的对称点为P'( - 1, - 2),如图D 9 - 2 - 3,连接PP',P'Q,易知P',Q,T三点共线,P'Q=PQ,则直线P'Q与圆相切于点T,|PQ|+|QT|=|P'T|.圆(x - 3)2+(y - 4)2=4的圆心为A(3,4),半径r=2,连接AP',AT,则|AP'|2=( - 1 - 3)2+( - 2 - 4)2=52,|AT|=r=2,所以|PQ|+|QT|=|P'T|=‎|AP’ ‎|‎‎2‎ - |AT‎|‎‎2‎=4‎3‎.‎ 图D 9 - 2 - 3‎ ‎25.[‎16‎‎5‎,16]　由题意知,直线a:x - 2y - 2=0与直线b:x - 2y - 6=0平行,‎ 因为动点P在直线a上,动点Q在直线b上,‎ 所以PQ的中点M在与直线a,b平行,且到直线a,b的距离相等的直线上,‎ 设该直线为l,则直线l的方程为x - 2y - 4=0.‎ 因为线段PQ的中点为M(x0,y0),且(x0 - 2)2+(y0+1)2≤5,‎ 所以点M(x0,y0)在圆(x - 2)2+(y+1)2=5的内部或在圆上,‎ 设直线l交圆于点A,B,则点M在线段AB上运动.‎ 联立直线l的方程与圆的方程,得x - 2y - 4=0,‎‎(x - 2‎)‎‎2‎+(y+1‎)‎‎2‎=5,‎解得x=4,‎y=0‎或x=0,‎y= - 2,‎不妨令A(4,0),B(0, - 2).‎ 因为x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎=|OM|2,x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎表示的几何意义为AB线段上的点到原点的距离的平方,‎ 所以当OM⊥AB时,x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎最小,最小值为(‎| - 4|‎‎1+( - 2‎‎)‎‎2‎)2=‎16‎‎5‎,当点M与点A重合时,x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎取得最大值,最大值为16,‎ 所以x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎的取值范围是[‎16‎‎5‎,16].‎ ‎26.(1)圆C的标准方程为(x - 4)2+(y - 3)2=25 - F,圆心C(4,3),半径为‎25 - F,‎ 由圆C与圆O相外切知‎25 - F+2=‎16+9‎,所以F=16.‎ 圆C:(x - 4)2+(y - 3)2=9,点P(4,1)在圆C内,弦MN过点P,Q是MN中点,则CQ⊥MN,所以点Q的轨迹是以CP为直径的圆,方程为(x - 4)2+(y - 2)2=1.‎ ‎(2)连接OC,线段OC与圆O的交点为A,联立y=‎3‎‎4‎x与x2+y2=4,解得点A(‎8‎‎5‎,‎6‎‎5‎).‎ 若|AQ|=|AP|,则P,Q是以点A为圆心,AP为半径的圆与点Q的轨迹的交点,由(x - ‎8‎‎5‎)2+(y - ‎ ‎6‎‎5‎‎)2=(‎8‎‎5‎ - 4)2+(‎6‎‎5‎ - 1)2与(x - 4)2+(y - 2)2=1得3x+y - 13=0,所以直线MN的方程为3x+y - 13=0.‎ 点C(4,3)到直线MN的距离d=‎|12+3 - 13|‎‎10‎‎=‎‎2‎‎10‎,|MN|=2‎9 - ‎d‎2‎.‎ 点A到直线MN的距离h=‎|‎24‎‎5‎+‎6‎‎5‎ - 13|‎‎10‎‎=‎‎7‎‎10‎,‎ 所以△AMN的面积S=‎1‎‎2‎|MN|·h=‎7‎‎10‎‎86‎.‎ ‎27.(1)依题意知圆心C在y轴上,可设圆心C(0,b),圆C的方程为x2+(y - b)2=r2(r>0). 因为圆C经过A,B两点,‎ 所以(‎7‎‎4‎)2+(‎17‎‎4‎ - b)2=( - ‎31‎‎8‎)2+(‎33‎‎8‎ - b)2,‎ 即‎7‎‎16‎‎+‎289‎‎16‎ - ‎‎17‎‎2‎b+b2=‎31‎‎64‎‎+‎1 089‎‎64‎ - ‎‎33‎‎4‎b+b2,解得b=4,进而可得r=‎2‎‎2‎.‎ 所以圆C的方程为x2+(y - 4)2=‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时,由l与C相切得l的方程为x=‎2‎‎2‎或x= - ‎2‎‎2‎,此时直线l与C1交于P,Q两点,不妨设P在Q点上方,则P(‎2‎‎2‎,‎2‎‎2‎),‎ Q(‎2‎‎2‎, - ‎2‎‎2‎)或P( - ‎2‎‎2‎,‎2‎‎2‎),Q( - ‎2‎‎2‎, - ‎2‎‎2‎),则OP·OQ=0,所以OP⊥OQ,满足题意.‎ 当直线l的斜率存在时,易知其斜率不为0,纵截距不为0,故可设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 将直线l的方程与圆C1的方程联立,得y=kx+m,‎x‎2‎‎+y‎2‎=1,‎ 消去y,整理得(1+k2)x2+2kmx+m2 - 1=0,则Δ=4k2m2 - 4(1+k2)(m2 - 1)=4(k2 - m2+1)>0,即1+k2>m2,x1+x2= - ‎2km‎1+‎k‎2‎,x1x2=m‎2‎‎ - 1‎‎1+‎k‎2‎,‎ y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k‎2‎‎(m‎2‎ - 1)‎‎1+‎k‎2‎‎ - ‎‎2‎k‎2‎m‎2‎‎1+‎k‎2‎+m2=m‎2‎‎ - ‎k‎2‎‎1+‎k‎2‎,‎ 又OP⊥OQ,所以OP·OQ=0,即x1x2+y1y2=m‎2‎‎ - 1‎‎1+‎k‎2‎‎+‎m‎2‎‎ - ‎k‎2‎‎1+‎k‎2‎=0,故2m2=1+k2,满足Δ>0,符合题意.‎ 因为直线l:y=kx+m与圆C:x2+(y - 4)2=‎1‎‎2‎相切, 所以圆心C(0,4)到直线l的距离d=‎|m - 4|‎‎1+‎k‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎,可得m2 - 8m+16=‎1+‎k‎2‎‎2‎, ‎ 故m2 - 8m+16=m2,得m=2,故1+k2=2×22,得k=‎7‎或k= - ‎7‎,‎ 故直线l的方程为y=‎7‎x+2或y= - ‎7‎x+2.‎ 综上,直线l的方程为x=‎2‎‎2‎或x= - ‎2‎‎2‎或y=‎7‎x+2或y= - ‎7‎x+2.‎ ‎28.B　设P(x,y),则AP=(x,y),BP=(x - 3,y),由题意得x‎2‎‎+‎y‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎‎(x - 3‎)‎‎2‎+‎y‎2‎,即点P的轨迹方程为(x+1)2+y2=4,故点P的轨迹围成的平面图形的面积为4π.故选B.‎ ‎29.[ - 1,‎1‎‎2‎]∪[1,‎5‎‎2‎]　设P(x,y),因为PA2+PB2=‎13‎‎2‎,所以(x+1)2+y2+(x - 2)2+y2=‎13‎‎2‎,化简得(x - ‎1‎‎2‎)2+y2=1,设M(‎1‎‎2‎,0),则点P在以M为圆心,1为半径的圆上.又点P在圆C:(x - a)2+(y - 1+a)2=‎9‎‎4‎上,所以圆C与圆M有公共点,连接CM,所以‎1‎‎2‎≤CM≤‎5‎‎2‎,即‎1‎‎2‎≤‎(a - ‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+(1 - a‎)‎‎2‎≤‎5‎‎2‎,解得 - 1≤a≤‎1‎‎2‎或1≤a≤‎5‎‎2‎.‎ ‎【解题关键】　解答本题的关键是根据条件得到动点P的轨迹方程,将问题转化为圆与圆的位置关系问题进行处理.‎ ‎30. - 1　点O到直线l的距离d=‎|c|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎,由勾股定理得,‎|MN|‎‎2‎‎=‎1 - ‎‎1‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎,所以|MN|=‎2‎,连接ON,则△OMN为等腰直角三角形,OM·MN=1×‎2‎×( - ‎2‎‎2‎)= - 1.‎ ‎【素养落地】　该题揭示了平面向量和平面几何之间的关系,使“数”与“形”有机结合,考查考生将平面向量知识迁移到代数情境和平面几何情境中的能力,体现逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.‎ ‎31. - 2　4　由x‎2‎‎+y‎2‎ - 2x - 6y+4=0,‎x+y+b=0,‎得2x2+2(b+2)x+b2+6b+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得x‎1‎‎+x‎2‎= - b - 2,‎x‎1‎x‎2‎‎=b‎2‎‎+6b+4‎‎2‎.‎因为∠AOB=90°,所以OA⊥OB,所以OA·OB=x1x2+y1y2=0,即x1x2+( - x1 - b)( - x2 - b)=0,即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,所以b2+6b+4+b( - b - 2)+b2=0,解得b= - 2.易知圆C的圆心为(1,3),半径为‎6‎,故圆心到直线x+y - 2=0的距离为‎|1+3 - 2|‎‎2‎‎=‎‎2‎,所以|AB|=2×‎6 - 2‎=4.‎ ‎【方法总结】　挖掘几何图形的性质是求解有几何背景的问题的主要思路,如本题中利用∠AOB=90°得到OA·OB=0.‎